技术摘要：基于反馈的低深度与测量量子优化

问题陈述

基于反馈的量子优化算法 (FALQON) 是一种混合量子-经典算法，旨在解决无需经典参数优化的组合优化问题。虽然它避免了变分量子算法 (VQA) 中固有的训练困难，但标准的 FALQON 受限于极高的电路深度。这种深度源于算法需要一个微小的离散时间步 ($\Delta t$) 以确保问题哈密顿量期望值的单调递减；较大的步长会引入 Trotter 分解误差，导致振荡并阻碍收敛。

为了解决这一问题，Arai 等人提出了二阶 FALQON (SO-FALQON)，它利用了代价函数差值的二阶泰勒展开。这使得使用更大的 $\Delta t$ 成为可能，从而显著降低了电路深度。然而，SO-FALQON 引入了巨大的测量开销，要求在每一层都估计两个额外的复杂哈密顿量 ($B_k$ 和 $C_k$)。这使得每步的测量次数比原始 FALQON 增加了约 2.3 倍，为资源受限的含噪声中规模量子 (NISQ) 设备制造了新的瓶颈。

方法论：BLS-FALQON

作者提出了 BLS-FALQON（回溯线搜索 FALQON），这是一种受回溯线搜索 (BLS) 理论启发而设计的启发式变体。该方法旨在实现 SO-FALQON 的低电路深度的同时，避免其高测量开销。

核心机制

与需要计算复杂哈密顿量测量的二阶控制系数 $\beta^{(SO)}$ 的 SO-FALQON 不同，BLS-FALQON 保留了第一阶控制系数 $\beta^{(FO)}$，并通过回溯机制对其进行动态调整：

1. 初始步骤： 算法计算标准的一阶系数 $\beta^{(FO)}_{k+1} = -A_k$，其中 $A_k$ 是对易子 $[H_d, H_p]$ 的期望值。
2. 监测： 在每一步中，算法还会估计问题哈密顿量的期望值 $E_k = \langle H_p \rangle$。
3. 回溯触发： 如果 $E_k$ 未能实现单调递减（即 $E_k > E_{k-1}$），表明由于 Trotter 误差或噪声导致了潜在的误导方向，算法将触发回溯循环。
4. 修正： 控制系数通过一个负因子 $\tau \in (-1, 0)$ 进行迭代缩放：
   $$\beta^{(FO)}_k \leftarrow \tau \beta^{(FO)}_k$$
   负号反转了控制方向以纠正误导，而幅度的减小则抑制了振荡。系统被重新制备，并重新评估 $E_k$，直到观察到单调递减为止。

测量效率

BLS-FALQON 的一个关键理论优势在于它不需要估计复杂的哈密顿量 $B_k$ 和 $C_k$。对于像 Max-Cut 这样问题哈密顿量 $H_p$ 由 2-local $ZZ$ Pauli 项组成的题目，$E_k$ 的估计可以合并到用于计算 $A_k$ 的现有逐比特对易子集（qubit-wise commuting subsets）中。因此，对于规模 $n \ge 12$ 的问题，BLS-FALQON 的每步测量基组与原始 FALQON 相同，从而避免了 SO-FALQON 2.3 倍的开销。

核心贡献

1. 算法创新： 引入了 BLS-FALQON，它集成了一种改进的回溯线搜索策略来启发式地调整第一阶控制系数，从而消除了对二阶哈密顿量估计的需求。
2. 理论分析：
   • 误差界限： 证明了回溯机制会在有限步内终止，保证了即使初始方向因 Trotter 误差而不正确，也存在有效的下降步。
   • 二次型景观（Quadratic Landscapes）： 分析表明，虽然启发式系数可能不像 SO-FALQON 那样达到精确的最优顶点，但它满足下降条件，确保了收敛稳定性。
3. 资源缩减： 证明了该方法在保持与 SO-FALQON 相当的电路深度的同时，实现了总测量次数的大幅降低。

实验结果

数值模拟

研究使用 Qiskit 框架，在顶点数 $n \in \{8, \dots, 20\}$ 的无权重 3-正则图上进行了模拟。目标近似比为 $r_{GW} = 0.932$ (Goemans-Williamson 界)。

• 测量开销： 与 SO-FALQON 相比，BLS-FALQON 减少了 37.7% 的总测量次数；与标准 FALQON 相比，减少了 88.1%。
• 电路深度： 为了达到目标近似比，BLS-FALQON 所需的层数比 SO-FALQON 仅多出约 2.5%，这一微增归因于回溯系数的启发式性质。然而，该深度仍比标准 FALQON 低约 11 倍。
• 可扩展性： 随着问题规模的增加，测量节省量保持一致。

真实量子硬件实验

实验在 Tianyan-176 量子计算机上进行，使用的是 Zuchongzhi2 超导量子处理器。测试受限于相干时间约束，限制在小规模实例（$n \in \{4, 6, 8\}$）且最大层数 $L=10$。

• 执行时间： 相对于 SO-FALQON，BLS-FALQON 将预计的平均硬件执行时间减少了 43%。这一减少直接归功于每步所需测量基组数量的减少。
• 鲁棒性： 在现实硬件噪声下，BLS-FALQON 取得了三种算法中最高的平均近似比，并在 $n=4$ 和 $n=6$ 时表现出最窄的收敛带。
• 噪声影响： 回溯机制对硬件诱导的噪声产生了纠正作用。当噪声导致 $E_k$ 出现伪增时，$\beta$ 的交替符号缩放能够识别出有效的下降系数，而无需额外的哈密顿量测量，从而部分补偿了控制方向的误导。

重要性与主张

论文声称 BLS-FALQON 成功解决了电路深度与测量开销之间的权衡问题。通过利用回溯线搜索理论，该方法：

• 保持低深度： 它实现了与现有最佳方法 (SO-FALQON) 相当的电路深度，使其适用于相干时间有限的 NISQ 设备。
• 降低测量成本： 与 SO-FALQON 相比，它显著降低了总测量次数，这对于在测量操作耗时的真实硬件上降低总时间复杂度至关重要。
• 增强稳定性： 回溯机制作为一种稳定器，既能对抗 Trotter 分解误差，也能对抗硬件噪声，确保了在标准一阶方法可能发生振荡的情况下实现单调收敛。

作者得出结论，BLS-FALQON 是当前 NISQ 硬件上处理小规模组合优化问题的实用且有效的算法，在电路深度和测量效率之间提供了平衡的提升。他们指出，尽管由于目前的设备限制，硬件结果与理想模拟之间仍存在差距，但该算法的设计是鲁棒且可扩展的。