Landau--Ginzburg mirror symmetry for ADE singularities

技术摘要：ADE 型奇异性的 Landau–Ginzburg 镜像对称性

问题陈述
本文研究了针对 ADE 型奇异性的 Landau–Ginzburg (LG) 镜像对称性猜想。具体而言，旨在建立两个与拟齐次奇异性 $f$ 及其对角对称群 $G$ 相关的不同数学理论之间的同构关系：

1. B 侧： 对应于对 $(f, G)$ 的“轨道 Saito 理论”（orbifold Saito theory），该理论推广了 K. Saito 关于原初形式（primitive forms）的理论以包含对称群，从而产生一个 Dubrovin–Frobenius 流形。
2. A 侧： 对应于 Berglund–Hübsch–Henningson (BHH) 对偶对 $(\tilde{f}, \tilde{G})$ 的 Fan–Jarvis–Ruan–Witten (FJRW) 理论，该理论构造了一个上同调场论 (CohFT) 及其相关的零阶 Dubrovin–Frobenius 流形。

虽然该猜想此前已在 $G=\{id\}$ 为平凡对称群的情况下针对 ADE 型奇异性得到了证明，但本研究将证明范围扩展到了 $G$ 为非平凡对角对称群的具体情况。本文聚焦于表 1 中列出的特定 $(f, G)$ 对，这些对代表了由先前工作 [BTW23] 所确定的三变量 ADE 型奇异性的非平凡容许对称群。

方法论
作者采用两步策略来证明表 1 中列出的特定非平凡对称群的镜像同构。该证明依赖于通过重构引理（Lemma 2.2）对 Dubrovin–Frobenius 流形的分类，该引理指出，对于 ADE 型奇异性，流形结构由配对、三点相关函数和四点相关函数唯一确定。

1. 步骤 (i)：将轨道 Saito 理论等价于经典 Saito 理论

   • 本文利用了对 $(f, G)$ 与经典多项式 $\bar{f}$（其中 $G$ 是平凡的）之间的“轨道等价”（orbifold equivalence）概念。这种等价是通过矩阵因子化的范畴等价 $MF_G(f) \cong MF(\bar{f})$ 来建立的。
   • 通过援引负循环同调的 Morita 不变性以及 Saito 理论的范畴化表述（定理 4.3），作者证明了 $(f, G)$ 的半无限 Hodge 结构变分 (VSHS) 与 $\bar{f}$ 的经典 Saito 理论是同构的。
   • 因此，$(f, G)$ 的轨道 Saito 理论的 Dubrovin–Frobenius 流形与 $\bar{f}$ 的经典 Saito 理论是同构的。

2. 步骤 (ii)：将 FJRW 理论等价于经典 Saito 理论

   • 作者对对偶对 $(\tilde{f}, \tilde{G})$（对应于表 1 中的条目）进行了逐例计算。
   • 计算过程中利用了“奇异性之和”（sum of singularities）公理，将复杂的多项式分解为更简单的组件（例如 $A_k$ 或 $D_k$ 型），其 FJRW 理论是已知或更容易计算的。
   • 对于直接分解不足以处理的涉及非平凡群的情况，作者应用 WDVV（Witten–Dijkgraaf–Verlinde–Verlinde）方程和凹性公理（concavity axiom）来计算特定的四点相关函数。
   • 通过识别原初向量并计算必要的相关函数，作者重构了每个对偶对的 Dubrovin–Frobenius 流形，并证明其与相应的 $\bar{f}$ 的经典 Saito 理论是同构的。

主要结果
本文证明了定理 1.1，即 LG-LG 镜像对称性猜想对于表 1 中列出的特定 ADE 型奇异性和非平凡对称群成立。证明过程分为定理 1.2，该定理断言对于该特定列表中的每一个 $(f, G)$ 对：

• (i) $(f, G)$ 的轨道 Saito 理论与特定的多项式 $\bar{f}$ 的经典 Saito 理论同构。
• (ii) 对偶对 $(\tilde{f}, \tilde{G})$ 的 FJRW 理论与同一个 $\bar{f}$ 的经典 Saito 理论同构。

涵盖的具体情况包括带有非平凡对角对称群（例如由元素如 $\frac{1}{2}(0, 1, 1)$ 或 $\frac{1}{3}(1, 2, 0)$ 生成的群）的各种 $A_k$、$D_k$ 和 $E_6$ 型奇异性，详见表 1。

意义与主张
作者声称，这项工作提供了首次关于在 B 模型配备非平凡对称群的情况下，作为 Dubrovin–Frobenius 流形 同构的 LG-LG 镜像对称性证明，特别是在表 1 所列出的情形中。

• Krawitz [K10] 先前的研究在向量空间层面建立了同构。
• 随后的工作由 Francis 等人 [FJJS] 建立了 Frobenius 代数的同构。
• 本文将这些结果扩展到了非平凡群在上述范围内的 Dubrovin–Frobenius 流形的完整几何结构。
• 本文指出，这是第二个具有非平凡 B 模型群的此类镜像对称性同构的已知实例，紧随 [BT22] 的工作之后。

作者明确指出，在本笔记中，轨道 Saito 理论的上同调场论并未按标准方式定义，但可以通过 Givental 的形式体系进行重构，这意味着镜像对称性在上下同调场论层面同样成立，这与 Teleman 的结果一致。这项工作在很大程度上依赖于 [BTW23] 中提供的 ADE 型奇异性的容许对称群分类。