Muon-to-positron conversion from local dimension-nine operators: pion-pole-improved nuclear multipoles

技术摘要：局部九维算符引发的缪子到正电子转换

问题陈述
本文对无中微子缪子到正电子转换过程（$\mu^- + (A, Z) \to e^+ + (A, Z-2)$）进行了系统性研究。该过程违反了轻子数守恒（$\Delta L = 2$）并改变了带轻子味。虽然无中微子双 $\beta$ 衰变（$0\nu\beta\beta$）是探测 $\Delta L = 2$ 相互作用的主要手段，但它主要探测电子味扇区。缪子到正电子转换通道提供了一个互补的探测手段，特别是针对低能有效场论（LEFT）中由九维（dim-9）算符描述的短程相互作用。

现有的该过程理论处理通常依赖于限制精度的近似。具体而言，以往的研究经常采用核子形式因子的“共同动量”近似，忽略了 dim-9 算符中的两个流（currents）可能携带不同的动量转移这一事实。此外，对于末态正电子的处理通常采用简单的费米函数缩放，这无法捕捉库仑修正的空间相位和部分波依赖性，尽管正电子的动量与核半径的倒数处于同一数量级。

方法论
作者构建了一个严谨的框架，用于计算包含标量或伪标量轻子双线性以及两个收缩的矢量或轴矢量夸克流的局部九维算符的核矩阵元。该方法论通过以下步骤进行：

1. 时空与动量形式化： 从一阶跃迁元出发，作者进行了空间归约。他们明确证明了相互作用坐标积分仅强制要求两个流动量的总和满足动量守恒（$q_1 + q_2 = -p_{\text{eff}}$），而非其各自的数值。因此，必须保留核子顶点处两个独立的动量转移，而非假设一个共同动量。
2. 轻子波函数： 结合束缚态缪子的波函数通过主导的 $1s$ 分量的核平均化进行处理。对于末态正电子，作者采用了有效动量近似（EMA）。该方法将库仑归一化和移动的空间动量（$p_{\text{eff}}$）整合进一个有效平面波中，从而在无需求解完整数值狄拉克解的情况下，捕捉到本质的库仑相位和幅度效应。
3. 核流与冲量近似： 夸克流通过冲量近似被归约为单体核子流。作者利用了完整的六个核子形式因子集（矢量、弱磁、诱导标量、轴矢量、诱导伪标量和诱导张量）。为了在保持物理清晰度的同时管理复杂性，他们采用了两种受控的特化处理：
   • 第二类流（诱导标量和诱导张量）被设为零。
   • 强子-极点改进（PI）归约： 剩余的流被归约为泡利算符。至关重要的是，纵向轴矢量流采用了强子-极点改进的处理方式。该方法在收缩之前保留了完整的纵向轴矢量强子-极点流，而不是将其在核质量（$1/m_N$）的逆级数下展开并丢弃高阶项。这确保了由强子极点产生的 $1/m_N^2$ 项得以保留，因为这些项在物理上是显著的。
4. 多极展开： 作者对两体核算符进行了精确的重结合。他们解决了由于不等形式因子参数（$Q_1^2 \neq Q_2^2$）导致的非多项式角依赖性问题，即通过使用 Racah 标准化的谐波将形式因子乘积展开为相对坐标多极子。

主要贡献与结果

• 针对 $0^+ \to 0^+$ 跃迁的精确两体算符： 主要结果是推导出了专门用于 $0^+ \to 0^+$ 核跃迁的精确 PI 两体核算符。虽然标量选择定则消除了外部角动量和磁矩求和，但作者表明，有限动量的内部轨道和自旋张量仍然是非零的。
• 多极结构的泛化： 该工作证明了不等形式因子参数会产生在共同动量近似中不存在的相对坐标多极子。这为描述核响应提供了更准确的模型。
• 直接可收缩性： 最终表达式被公式化为可以直接与电荷改变型两体跃迁密度（TBTDs）进行收缩，便于直接应用于多体核计算。
• 系统性框架： 本文建立了用于局部九维相互作用的时空、轻子波、单核子流和核多极子框架。附录中提供了通用的六形式因子构造和任意角动量跃迁，尽管正文侧重于物理上重要的 $0^+ \to 0^+$ 情况。

意义与主张
本文声称为由短程九维算符驱动的缪子到正电子转换率的精确计算提供了必要的理论基础设施。通过超越共同动量近似并引入强子-极点改进归约，作者解决了以往核计算中的特定缺陷。这项工作被呈现为系列研究的第一部分，在建立基础算符结构的同时，将定量的多体应用和其他机制留待后续研究。作者强调，其方法可以通过替换基本轻子和核子流张量推广到其他局部九维算符，从而为解释来自 Mu2e 和 COMET 等设施的未来实验数据提供强大的工具。