Dimensionally consistent surrogate modelling through dimensional analysis and harmonic expansions
本文提出了一种通过将白金汉 群与截断谐波展开相结合来构建量纲一致代理模型的数据驱动方法，证明了与无约束基准模型相比，该方法在各种物理系统中具有更高的条件性、鲁棒性和样本效率。
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在物理世界中，自然法则并不在意我们使用何种语言来描述它们。无论科学家是以米还是英里来测量距离，或是以秒还是小时来测量时长，这些量之间的底层关系始终保持不变。这一被称为“量纲齐次性”（dimensional homogeneity）的原则，是任何声称描述现实的方程必须遵循的严格规则手册。如果一个公式仅仅因为测量单位的切换就改变了其计算结果，那么它就不能被称为真正的物理定律。几十年来，研究人员一直利用这一规则来简化复杂问题，剥离不必要的变量，从而找到支配系统行为的核心且无量纲的组合。然而，随着科学家越来越多地转向利用人工智能直接从数据中发现这些规律，一个挑战也随之浮现：标准的机器学习模型往往对这些物理规则视而不见；它们可能会找到一个完美拟合数据的模式，但一旦单位发生变化，该模式就会失效，从而导致其发现的物理意义变得毫无意义。
瓦伦西亚欧洲大学（Universidad Europea de Valencia）的一个研究小组开发了一种新方法，旨在从学习过程的伊始就教会计算机尊重这些物理法则。他们并没有让模型去猜测变量之间的关系并寄希望于最终能偶然撞上正确的单位，而是将量纲一致性的规则直接构建在模型的结构之中。通过将经典物理技术与现代数据分析相结合，他们创造出一种方法，强制计算机只能使用在物理意义上成立的变量组合来构建其预测。这种方法确保了所得出的公式不仅仅是针对特定数据集有效的数学技巧，而是无论数据如何测量都依然成立的、稳健且普适的表达式。
研究人员将这种方法应用于物理学中的几个经典问题，范围涵盖了从简单单摆的摆动到完美黑体辐射的现象。在单摆的案例中，其摆动周期取决于摆绳的长度和重力强度，而与摆锤的质量无关。一个标准的计算机模型在面对带有噪声的数据时，可能会难以判断质量是否无关紧要，或者可能需要数千个数据点才能猜出长度与时间之间的正确关系。然而，新方法则预先具备了“质量不应出现在最终公式中”的知识。它能立即专注于长度与重力的正确组合，从而能够以极少的数据点，甚至在测量数据存在较大噪声的情况下，精准地恢复出精确的物理定律。计算机本质上学习关系的形态速度更快，因为它不再浪费时间去探索那些不可能或在物理上毫无意义的选项。
该团队还将他们的技术应用于热物体发出的复杂辐射现象，即普朗克定律所描述的现象。在这里，温度与辐射之间的关系并非简单的直线，而是一个更为复杂的曲线。研究人员发现，通过将问题分解为处理物理单位的部分和学习曲线形状的部分，该模型即使在数据有限的情况下也能准确重建该定律。他们发现，用于描述曲线的数学工具的选择至关重要：当数据覆盖的范围表现出类似重复循环的特性时，使用专为波形设计的工具效果最好；当数据不具有重复性时，其他数学工具则更为有效。这种细微差别至关重要，因为它表明虽然物理规则是普适的，但表示剩余细节的最佳方式取决于数据的具体性质。
其中最令人瞩目的发现之一是，与标准且无约束的机器学习相比，新方法的效率有了显著提升。在单摆实验中，新方法仅需通过五个不同的测量值就能准确预测系统的行为。相比之下，一个未被告知物理规则的标准模型必须观察至少六十次测量后，才能开始猜测正确的关系，即便如此，其预测的可靠性也较低。这表明，将物理知识嵌入学习过程不仅是提高模型准确性的手段，更是使其效率大幅提升的方法。它使科学家能够从更小、噪声更大的数据集中进行学习，而这些数据集在以往往往难以分析。
研究人员还证明了他们的方法产生的结果易于人类理解。与许多将逻辑隐藏在复杂计算层之下的“黑箱式”现代人工智能系统不同，这种方法产出的是显式的公式。最终的输出是一个清晰的方程，物理学家可以直接阅读、校验并投入使用。这种透明度对于科学发现至关重要，因为它允许研究人员验证模型不仅仅是记住了数据，而是真正发现了底层的机制。这项研究证实，通过尊重物理世界的根本约束，机器学习可以成为人类理解宇宙时更强大、更可靠的伙伴，以更高的速度和更清晰的逻辑，将原始数据转化为真正的洞察。
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