Energy-momentum tensor at small $x$ from gravitational transverse-momentum distributions

技术摘要：小 $x$ 下的能量-动量张量与引力横向动量分布

问题陈述
强子的内部机械结构——特别是能量、动量和内部力如何在夸克和胶子之间分布——是量子色动力学（QCD）的一个核心目标。虽然广义部分子分布（GPDs）和引力形式因子（GFFs）研究了其空间组织结构，但一个互补的问题是：这些机械性质如何在部分子的纵向动量分数（$x$）和内在横向动量（$k_T$）上进行分布。这种动量空间的解析方式与空间成像截然不同。以往的研究已经探讨了小 $x$ 区域内的自旋和轨道角动量，并且研究了胶子 GFF $A(t)$，但对于小 $x$ 胶子和海夸克，尚未建立起一个在 $x$ 和 $k_T$ 上同时解析的能量-动量张量（EMT）的全面描述。本文旨在利用引力横向动量依赖分布（gravitational TMDs）来构建并评估这些机械性质。

方法论
作者使用轻前向规范不变正则（gic）能量-动量张量 $T^{\mu\nu}_{g, \text{gic}}$，而非动力学（Belinfante–Rosenfeld）张量，来构建胶子引力 TMD。这一选择允许直接根据正则部分子动量密度进行解释。

1. 形式体系：

   • 通过将规范场分解为纯规范部分和物理部分（$A^\mu = A^\mu_{\text{pure}} + A^\mu_{\text{phys}}$），并施加 $F^{\mu\nu}_{\text{pure}} = 0$ 来构建 gic EMT，从而定义一个规范协变的正则动量算符。
   • 引入了一个包含 Weizsäcker–Williams (WW) 规范链路的规范不变双局部扩展 EMT。
   • 将 EMT 参数化为引力 TMDs（$a_g^i, a_g^{\perp i}$），这些 TMDs 通过洛伦兹分解与普通的胶子 TMD 相关函数（$f_1^g, f_{1T}^{\perp g}$ 等）相关联。
   • 识别了关键的机械量：纵向和横向动量密度（$T^{++}, T^{+i}$）、横向惯性通量（$T^{i+}$）以及横向应力（$T^{ij}$）。

2. 小 $x$ 近似：

   • 使用色玻璃凝聚体（CGC）框架下的 eikonal 近似对分析应用于小 $x$ 区域。
   • 快部分子被视为产生经典胶子场的色源。场强分量受到限制，导致在与机械讨论相关的正则 EMT 分量中，仅保留了非极化的 WW 分布（$f_1^g$）。
   • Weizsäcker–Williams 分布通过 Wilson 线相关函数来表达。

3. 数值评估：

   • 胶子和海夸克均采用基于 McLerran–Venugopalan (MV) 模型的共同初始条件。
   • 系统使用固定耦合的一阶（LO）Balitsky–Kovchegov (BK) 演化进行演化。
   • 使用非线性高斯近似通过 Wilson 线相关函数重建 WW 胶子分布。
   • 海夸克分布通过相同的一对一偶极相关函数通过小 $x$ 匹配公式导出。
   • 在高 $k_T$ 区域（$k_T \gg Q_s$）通过计算由 $g \to q\bar{q}$ 分裂产生的扭三（twist-three）夸克 TMD（$f_{\perp q}$）的微扰尾部，单独评估海夸克的横向惯性通量。

主要贡献与结果

• 胶子引力 TMD 的形式化： 本文建立了轻前向 gic 胶子 EMT 与普通胶子 TMD 之间的关系。研究发现，EMT 分量取决于特定组合的扭二、扭三和扭四 TMD。值得注意的是，胶子 EMT 包含一个在夸克情形中不存在的额外标量项（度规项），这会影响横向应力，但不会影响无迹剪切部分。
• Eikonal 近似结果：
  • 在 eikonal 近似下，纵向和横向正则动量密度（$T^{++}$ 和 $T^{+i}$）仅由非极化 WW 胶子分布决定。
  • 至关重要的是，横向惯性通量（$T^{i+}$）和横向应力（$T^{ij}$）在此近似下消失。
  • 这导致比值 $R_v^g = x f_{\perp}^g / f_1^g = 0$。因此，非零的正则横向动量密度并没有伴随横向惯性通量，这表明正则动量密度与惯性通量并不一致，偏离了自由粒子关系。
• 数值动量密度：
  • 给出了胶子和海夸克的纵向动量分数密度（$T^{++}$）和横向动量密度（$T^{+i}$）的数值结果。
  • 这两种分布在大的 $k_T$ 时均下降，但随着 $x$ 的减小（由于饱和动量 $Q_s$ 的增加），高 $k_T$ 区域会得到增强。
  • 横向动量密度相对于纵向密度随 $x$ 减小而近似以 $1/x$ 的速度增长，这反映了 EMT 分量中不同的动量权重（$k_T$ 与 $xP^+$）。
• 海夸克横向惯性通量：
  • 与 eikonal 近似下的胶子情况不同，通过扭三 TMD（$f_{\perp q}$）的高 $k_T$ 尾部进行评估时，海夸克的横向惯性通量是非零的。
  • 在特定的纵向近似下（忽略卷积中加权胶子输入对父动量分数的依赖），发现横向惯性通量与正则横向动量密度的比值为 $R_{v, \text{tail}}^q = 1/4$。
  • 该结果（$1/4$）既不同于消失的胶子通量（$0$），也不同于自由粒子参考值（$1$），说明控制惯性流动的有效横向速度并不一定与正则横向动量一致。

意义
本文声称提供了一种通过在纵向动量分数和横向动量上解析 EMT，来描述小 $x$ 胶子和海夸克相空间机械性质的方法。其主要意义在于证明了小 $x$ 系统的机械性质显著偏离了自由粒子的预期。具体而言：

1. 对于 eikonal 近似下的胶子，正则横向动量存在，但没有相应的横向惯性通量。
2. 对于海夸克，即使存在惯性通量，它也不等于动量密度（微扰尾部的比值为 $1/4$），这挑战了简单的自由粒子惯性流解释。

这项工作是实现轻前向强子机械性质相空间描述的第一步。作者指出，目前的实现使用了简单的小 $x$ 动力学模型，并建议未来的扩展可以包括运行耦合、直接的 JIMWLK 演化、亚 eikonal 校正以及自旋依赖 TMD，以进一步探索这些机械性质。