Estimate of $\Gamma(H \to gg)$ at $O(\alpha_s^7)$ from Padé approximants with constraints from large-$n_f$

关于利用带有大 $n_f$ 约束的 Padé 近似法估算 $O(\alpha_s^7)$ 阶 $\Gamma(H \to gg)$ 的技术摘要

问题陈述

LHC、高亮度 LHC 以及 FCC-ee 等未来设施对希格斯玻色子衰变的精密测量，对于探测超越标准模型的新物理至关重要。然而，强子型希格斯衰变（特别是 $H \to gg$ 和 $H \to b\bar{b}$）的理论预测面临两个主要挑战：一是需要降低 QCD 参数（$\alpha_s$ 和夸克质量）的不确定性；二是需要在更高阶的微扰 QCD（pQCD）中计算衰变宽度。尽管某些可观测物理量已知至五圈阶，但在更高阶进行计算在计算上是极其困难且成本高昂的。因此，迫切需要可靠且不依赖模型的近似方法，来估算第一个未知的更高阶系数，从而评估缺失的高阶（MHO）不确定性和残余的重整化标度依赖性。

本研究旨在解决估算希格斯玻色子向胶子衰变 $\Gamma(H \to gg)$ 的第一个未知 QCD 校正的问题，这对应于重顶夸极限下的 $O(\alpha_s^7)$（N5LO）阶。此外，作者还提供了对 QCD $\beta$ 函数、QCD 解耦关系、胶子标量相关函数（gluonium correlator）以及 $H \to b\bar{b}$ 衰变宽度的第一个未知系数的更新估算。

方法论

作者采用了由 $\alpha_s$ 微扰级数及其 Borel 变换构建的 Padé 近似（PAs）和 D-log Padé 近似（Padé-Borel 方法）。其核心策略包括以下步骤：

1. 衰变率的分解： 作者并非直接对衰变率 $\Gamma(H \to gg)$ 应用近似法，而是将问题分解为其组成部分：胶子标量相关函数的虚部（$\text{Im}\,\Pi_{G^2}$）、Wilson 系数 $C_1$（源自解耦关系 $\zeta_g^2$）以及 QCD $\beta$ 函数。衰变率通过低能定理和重整化群（RG）方程进行重构。这种方法使得预测对于任意重整化标度和顶夸质量方案均有效。
2. 大 $n_f$ 约束： 本工作的显著特征是系统性地使用了精确的大 $n_f$ 结果（其中 $n_f$ 为轻夸克味数）作为约束。作者证明了 $\Gamma(H \to gg)$ 微扰系数中 $n_f$ 的最高次幂完全由胶子标量相关函数驱动，而该函数的全阶大 $n_f$ 结果是已知的。
3. 近似项的选择与筛选： 作者为 $n_f = 1, \dots, 9$ 构建了各种 PAs 和 D-log PAs。他们应用了严格的筛选标准来剔除不可靠的近似项：
   • 排除表现出 Froissart 双重态（零点靠近极点）的近似项。
   • 排除具有远离原点的实极点且对预测系数贡献微乎其微的近似项。
   • 排除在原点附近具有伪复数极点的近似项。
   • 大 $n_f$ 一致性测试： 通过最小二乘拟合来确定预测系数对 $n_f$ 的多项式依赖关系。若近似项预测的最高次 $n_f$ 系数与精确的大 $n_f$ 结果偏差显著，则将其剔除。
4. 验证： 该方法通过“后推测”（postdiction）进行验证，即仅使用较低阶的项来预测每个级数的最后一个已知系数（例如 $g_{4,1}$, $d_{4,0}$, $\beta_5$, $p_4$）。作者展示了只要有足够的非平凡系数作为输入，其估算值通常能在给定的不确定度内重现精确结果。

主要贡献与结果

1. $\Gamma(H \to gg)$ 在 $O(\alpha_s^7)$ 阶的估算：
主要结果是对于在 $\mu = m_H$ 下 $\overline{\text{MS}}$ 方案中衰变宽度的第一个未知系数 $\gamma_5$ 的模型无关估算：
$$\gamma_5(5) = -312 \pm 15$$
该系数是由估算的第五阶胶子标量相关函数系数 $g_{5,1}(5) = -187 \pm 14$、解耦常数 $d_{5,0}(5) = -8 \pm 11$ 以及六圈 $\beta$ 函数系数 $\beta_6(5) = 264 \pm 226$ 推导而出的。

2. 对标度依赖性的影响：
将估算的 $\gamma_5$ 纳入 $\Gamma(H \to gg)$ 的微扰展开中，显著提高了预测的稳定性。与截断在 N4LO（$O(\alpha_s^6)$）的结果相比，残余的重整化标度依赖性（在 $m_H/2 \leq \mu \leq 2m_H$ 范围内变化 $\mu$）降低了近 1.5 倍。

3. 其他物理量的更新估算：

• Wilson 系数 $C_1$： 第一个未知系数估算为 $c_5(5) = 985 \pm 677$。
• $H \to b\bar{b}$ 衰变： 标量相关函数虚部的第一个未知系数更新为 $p_5(5) = -27.0 \pm 0.5$，这与之前的估算高度一致，但降低了不确定度。
• $\beta$-函数： 第六阶系数估算为 $\beta_6(5) = 264 \pm 226$。

4. 策略的验证：
对最后一个已知系数 $g_{4,1}$ 的后推测结果为 $g_{4,1}(5) = -73 \pm 20$，与精确值（$-75.26$）在 3$\beta_5$和$p_4$的后推测也显示出与精确结果在不确定度范围内的相符性。作者指出，由于可用输入系数较少（仅有两个非平凡项），该方法对于解耦常数$d_{4,0}$（以及随之而来的$c_4$）效果较差，这凸显了拥有至少三个已知系数对于可靠预测的重要性。

意义与主张

作者声称其方法提供了一种模型无关的未知高阶校正估算。不同于以往依赖大 $\beta_0$ 极限来指导近似的方法（这会引入一定程度的模型依赖性），这项工作严格依赖于精确的大 $n_f$ 结果作为约束。

该工作的意义在于：

• 降低理论不确定度： 通过提供 $\Gamma(H \to gg)$ 的 N5LO 系数的具体估算，作者降低了截断不确定度和相关的标度依赖性。
• 面向未来： 作者指出，虽然目前的误差主要由 $\alpha_s$ 主导，但未来的设施（如 FCC-ee）旨在实现 $\alpha_s(m_Z)$ 0.1% 的精度和 $m_H$ 4 MeV 的精度。在这种水平下，由缺失高阶项引起的不确定度（通过残余标度变化衡量）将变得与参数不确定度相当。因此，此类估算对于提前评估理论误差预算至关重要。
• 方法论的稳健性： 本文证明了将 Padé 近似法与精确的大 $n_f$ 约束相结合，是估算微扰 QCD 级数中缺失高阶校正的可靠工具，前提是存在足够的已知信息（至少三个非平凡系数）。

作者总结道，其结果与其他文献中的估算（如渐近 Padé 近似法）是一致的，并且该方法在缺乏直接高阶计算的情况下，是进行现象学研究和误差评估的有用工具。