Imaging the topological sign of a Dirac mass with spin-polarized tunneling

技术摘要：利用自旋极化隧穿成像狄拉克质量的拓扑符号

问题陈述
磁有序使三维拓扑绝缘体的表面狄拉克锥产生能隙，从而产生一个具有质量的狄拉克态，该态支持半量子化的表面霍尔响应，并作为量子反常霍尔效应的构建模块。至关重要的是，这种拓扑特性不仅由交换质量的大小 $|M|$ 定义，还由其符号 $\text{sgn}(M)$ 定义。$M$ 的符号决定了占据带贝里曲率（Berry curvature）的符号、表面霍尔电导的方向以及束缚在磁畴壁上的模式的手征性。

现有的局部谱学技术（如扫描隧道显微镜，STM）可以以原子级分辨率解析能隙大小 $|M(r)|$，但无法区分 $+M$ 和 $-M$，因为两者的能量谱是相同的。虽然自旋极化 STM 增加了对局部自旋纹理的敏感性，但拓扑表面态中的物理电子自旋通常与轨道运动纠缠在一起。这种自旋-轨道纠缠模糊了测得的自旋极化与狄拉克伪自旋（pseudospin）之间的关系，往往会降低测得的极化强度，甚至导致测得的极化方向相对于伪自旋纹理发生反转。因此，仅凭测得的自旋对比度无法识别狄拉克质量的符号。相反，输运和光学测量可以确定霍尔符号，但通常会对许多微观畴进行平均，缺乏实空间分辨率。目前缺乏一种能够区分具有相反贝里曲率且能谱完全相同的能隙的局部测量手段。

方法论与理论框架
作者建立了一个利用自旋解析隧穿谱来确定 $M$ 的局部拓扑符号的框架，该框架基于对称性论证和数值验证。

1. 对称性与符号群： 作者分析了在三种对称操作下的隧穿信号：时间反演 ($\Theta_T$)、垂直自旋旋转 ($\Theta_\perp$) 和 $C_z$ 旋转 ($R_z$)。他们证明了隧穿数据最多只能确定三个独立的符号组合：$\text{sgn}(MP_z)$、$\text{sgn}(vMP_\parallel)$ 和 $\text{sgn}(MB)$。为了分配绝对霍尔符号，需要一个外部参考（例如已知的磁场 $B$ 或缺陷矩）。
2. 轴向选择定则： 一个核心理论结果是，晶体旋转对称性（$C_n$，$n \ge 3$）解决了由自旋-轨道纠缠引起的歧义。在 $C_n$ 轴上（例如 $C_{3v}$ 表面上的顶位或空位），能带边缘态是旋转算符的本征态。这迫使该态在轴向上是完全自旋极化的，无论其轨道组成如何。具体而言，对于沿 $C_n$ 轴对齐的探针，有效极化 $c_{\text{eff}}^z$ 正好等于 1。因此，能带边缘处的隧穿不对称性直接揭示了占据带贝里曲率的符号，而不受轨道权重的干扰。
3. 轨道滤波作为洛伦兹增益： 在远离能带边缘或偏离轴线时，探针充当轨道滤波器，对伪自旋分量进行不等权重加权。这种效应在数学上等效于沿 $z$ 轴对布洛赫矢量进行洛伦兹增益（Lorentz boost）。虽然这可能会使测得的信号偏离真实的伪自旋值，但能带边缘的极点仍是固定点，从而保留了符号信息。
4. 独立路径：
   • 零阶朗道能级： 在垂直磁场中，零阶朗道能级相对于能隙的位置由 $\text{sgn}(MB)$ 决定。这提供了一种使用非极化探针进行质量符号测量的手段，并以实验室磁场为参考。
   • 畴壁： 相反的磁畴及其连接的畴壁提供了内部一致性检查。连接不同畴的 Jackiw-Rebbi 模式具有垂直于畴壁的自旋，并在不同畴之间表现出精确的自旋信号反对称性。

关键结果

• 自旋极化隧穿： 作者证明了在 $C_3$ 轴上，轴向探针耦合到一个完全自旋极化的态。能带边缘处的隧穿不对称性 $A = \rho_z/\rho_0$ 由 $A = \pm P_z \text{sgn}(\Omega_{\text{occ}})$ 给出，其中 $\Omega_{\text{occ}}$ 是贝里曲率。这对于任何线性色散的表面以及任何强度的自旋-轨道耦合都成立。
• 数值验证： 包含自旋-轨道和轨道拉什巴（Rashba）耦合的 $p$ 轨道紧束缚模型证实，上能带边缘的轴向自旋始终等于 $\text{sgn}(\Omega_{\text{occ}})$，而轨道追踪自旋（在偏离轴线或没有对称性约束时测量）在约 57% 的随机参数集中具有相反的符号。
• 鲁棒性： 该选择定则对横向偏移、探针倾斜和高度变化具有鲁棒性，偏差随探针高度呈指数级衰减。
• 噪声与探针扰动： 作者推导了符号分配置信度的统计界限，表明在现实噪声水平下，可以高概率地确定符号。他们还量化了探针诱导的质量偏移（交换效应和塞曼效应），表明通过双侧拟合（比较上能带和下能带边缘）或 $\pm B$ 平均可以有效地抵消这些人工效应。此外，提出了使用反铁磁探针来完全消除杂散场效应。
• 无序性： 在具有质量无序的晶格上进行的大规模模拟表明，即使在存在显著无序的情况下，通过在每个位点的局部能带边缘读取符号，也能保持 $\ge 99\%$ 的正确符号分配。

意义与主张
本文声称提供了一种在实空间中成像材料拓扑特性发生变化的位点的方法，而不仅仅是识别能隙出现的位置。通过建立如何局部确定狄拉克质量符号的方法，这项工作使得映射实空间拓扑结构成为可能，例如连接具有相反霍尔响应的畴的手征通道网络。

作者提出了一个简单的实验方案，包括：

1. 校准探针极化。
2. 在 $C_3$ 对称位点、能带边缘记录 $\pm B$ 平均谱。
3. 通过零阶朗道能级的位置进行交叉检查。
4. 通过成像畴壁来验证反对称性和能隙内模式。

该框架可立即应用于已建立的磁性拓扑材料，如 $\text{MnBi}_2\text{Te}_4$ 和掺杂的 $(\text{Bi,Sb})_2\text{Te}_3$，以及卡戈梅（Kagome）磁体。除了确定狄拉克质量的拓扑符号外，作者还指出，相同的自旋解析隧穿观测量包含了关于贝里曲率和量子度规的信息，从而为在具有原子级访问能力的条件下解析量子几何和局部拓扑特性开辟了路径。