Second Chern Number Protected Gapless Vortex Modes in Superconducting Weyl Semimetals

技术摘要：第二陈数保护的超导 Weyl 半金属中无能隙涡旋模

问题陈述
研究超导（SC）拓扑材料中的涡旋束缚态（VBSs）一直是识别马约拉纳零模（MZMs）和非阿贝尔统计的研究焦点。虽然超导拓扑绝缘体、铁基超导体以及超导狄拉克半金属中的 VBSs 已得到了广泛研究，但超导 Weyl 半金属（WSMs）中的 VBSs（特别是二次 Weyl 半金属）仍缺乏深入探讨。先前的理论工作已经确定，在具有时间反演对称性（TRS）且具有 BCS 配对的 WSMs 中，如果特定的恒定 $k_z$ 平面包含净 Weyl 点手征性，则会出现无能隙涡旋模。然而，这些无能隙模的具体物理起源、其在拓扑不变量方面的表征，以及它们对对称性破缺扰动的鲁棒性，尚未得到充分理解。具体而言，无能隙模的数量、Weyl 点手征性（$\chi$）与涡旋旋度（$n$）之间的关系缺乏一个统一的拓扑框架。

研究方法
作者结合解析场论和数值晶格模拟，研究了线性及二次 Weyl 半金属中的超导现象。

1. 模型构建： 作者构建了具有时间反演对称性及特定旋转对称性（分别为 $C_4$ 和 $C_6$）的线性（$\chi = 1$）和二次（$\chi = -2$） Weyl 半金属的 $k \cdot p$ 有效哈密顿量。通过引入沿 $z$ 方向携带旋度 $n$ 的 $s$ 波单态配对势，将这些模型扩展到超导领域，利用 Bogoliubov-de Gennes (BdG) 形式化方法进行处理。
2. 数值模拟： 为了计算 VBSs，作者使用了对应于 $k \cdot p$ 哈密顿量的紧束缚晶格模型。他们在 $x$ 和 $y$ 方向应用开边界条件，同时保持沿 $z$ 方向的平移对称性（使 $k_z$ 成为一个好的量子数）。通过在配对势中添加相位因子 $e^{in\theta}$ 来模拟涡旋。
3. 拓扑分析： 作者推导了 Weyl 点附近的有效低能 BdG 哈密顿量。通过将涡旋相位 $\phi$ 视为一个合成维度，他们在四维参数空间 $(q_x, q_y, q_z, \phi)$ 内构建了模型。在该空间内，他们计算了第二陈数（$C_2$），以表征无能隙模的拓扑性质。
4. 物理机制研究： 为了解释多重无能隙模的出现，作者分析了 Chern 绝缘体的 $\pi$ 通量泵浦（$\pi$-flux pumping）过程。他们研究了随着磁通量增加，位于 $k_z$ 和 $-k_z$ 处的二维 WSM 切片中通量束缚态的谱流（spectral flow）。
5. 鲁棒性测试： 作者通过引入破坏旋转对称性的项来测试无能隙模的稳定性，观察靠近费米能级的无能隙特性是否依然存在。

核心贡献与结果

1. 无能隙模的量化： 研究表明，对于旋度为 $n$ 且 Weyl 点手征性为 $\chi$ 的涡旋，每个 Weyl 点的 $k_z$ 分量周围恰好存在 $|n\chi|$ 个无能隙涡旋模。这些模的传播方向由乘积 $-n\chi$ 的符号决定。

   • 对于旋度 $n=1$ 的线性 WSM ($\chi=1$)，每个 Weyl 点有 1 个无能隙模。
   • 对于旋度 $n=1$ 的二次 WSM ($\chi=-2$)，每个 Weyl 点有 2 个无能隙模。
   • 数值结果证实，倍增旋度（$n=2$）或倍增手征性绝对值会使模的数量也随之倍增。

2. 通过第二陈数进行拓扑表征： 作者通过在由动量分量和涡旋相位构成的合成四维空间中定义第二陈数（$C_2$），识别出乘积 $-n\chi$ 即为该第二陈数。通过推导有效 BdG 哈密顿量并在该四维空间内进行积分，作者从解析上证明了 $C_2 = -n\chi$。这提供了一个用于表征无能隙涡旋模的严格拓扑不变量。

3. 物理起源与通量泵浦： 文中提出了一个物理图景，即无能隙模源于 $k_z$ 和 $-k_z$ 处 Chern 绝缘体之间“不平衡的泵浦”。由于时间反演对称性， $k_z$ 和 $-k_z$ 处的 Chern 数相反。当插入磁通量时，通量束缚态会在费米能级附近被泵浦。由于 $k_z$ 平面和 $-k_z$ 平面之间从占据态到非占据态（或反之）泵浦的态数不平衡，导致产生了净数为 $|n\chi|$ 的零能模。

4. 对对称性破缺的鲁棒性： 作者展示了多重无能隙模对破坏旋转对称性的扰动具有鲁棒性。虽然此类扰动可能会使反向传播模的交点出现能隙，但靠近费米能级的核心无能隙模保持完好。这表明这些模的存在依赖于底层的拓扑结构，而非特定的旋转对称性。

意义
本文建立了具有时间反演对称性的 Weyl 半金属的拓扑性质（手征性）与其中超导对应物涡旋物理（旋度）之间的直接联系。通过使用第二陈数来表征无能隙涡旋模，这项工作为理解此类 WSMs 中的 VBSs 提供了一个统一的拓扑框架。所提出的“通量泵浦”图景提供了一种直观的机制，用以解释多重无能隙模的出现，并暗示这一机制可能是其他超导拓扑材料（如狄拉克半金属和拓扑绝缘体）的通用特征。这些发现架起了理论预测的拓扑不变量与这些复杂材料中可观测的谱性质之间的桥梁。