Turning Number and the Geometry of Disorder-Induced Topology

技术摘要：转数（Turning Number）与无序诱导拓扑的几何学

问题与动机
传统的拓扑相分类依赖于能隙布洛赫哈密顿量的同伦不变量，这些不变量在保持体能隙和对称性的连续形变下保持不变。虽然这种“十种途径”（tenfold way）为非相互作用的洁净系统提供了完整的分类，但它无法解决哈密顿量映射的几何性质问题，而这些性质可以在不改变同伦类的情况下发生变化。对于相互作用或无序系统，拓扑表征通常通过格林函数不变量（例如 Ishikawa-Matsuyama 不变量）或拓扑哈密顿量 $H_{\text{top}}(k) = -G^{-1}(k, i\omega=0)$ 进行扩展。然而，这些方法主要关注同伦类，未能充分捕捉动量空间映射 $k \mapsto H_{\text{top}}(k)$ 的几何结构，特别是在格林函数零点（而非极点）驱动拓扑转变的机制中。作者研究了哈密顿量映射本身的几何性质是否在常规缠绕数之外携带鲁棒的拓扑结构，特别是在无序诱导转变的背景下。

方法论
本研究聚焦于具有二元势无序的一维手征 Su-Schriefer-Heeger (SSH) 模型。该系统由链上的自旋无费米子组成，具有胞内（$t_1$）和胞间（$t_2$）跳符，并受到随机在位势 $\pm W/2$ 的影响。

1. 拓扑哈密顿量： 作者利用无序平均的单粒子格林函数 $G(k, \omega)$ 来定义拓扑哈密顿量 $H_{\text{top}}(k) = -G^{-1}(k, 0)$。由于手征对称性，$H_{\text{top}}(k)$ 被限制为 $\mathbf{d}(k) \cdot \boldsymbol{\sigma}$ 的形式，其中布洛赫矢量 $\mathbf{d}(k) = (d_x(k), d_y(k))$ 随着 $k$ 遍历布里渊区（BZ）在平面内描绘出一个闭合回路。
2. 不变量：
   • 缠绕数 ($\nu$)： 标准的同伦不变量，计算 $\mathbf{d}(k)$ 绕原点的缠绕次数。
   • 转数 ($\tau$)： 一种几何不变量，定义为切向量 $\dot{\mathbf{d}}(k) = \partial_k \mathbf{d}(k)$ 的缠绕数。它是一个正则同伦不变量，要求在整个 BZ 内满足“浸入条件”（immersion condition）$\dot{\mathbf{d}}(k) \neq 0$。
3. 数值与解析方法：
   • 通过对 $L=200$ 到 $600$的系统尺寸进行$N=1000$（或$2000$）个无序构型的平均化处理进行数值模拟。
   • 推导了弱胞间跳符（$t_2 \to 0$）和强无序（$W \to \infty$）极限下的渐近摄动展开，以预测转变区间。
   • 采用 Weyl 不等式来建立存在谱能隙的严格界限。

主要贡献与结果
本文识别出一种源于 $H_{\text{top}}(k)$ 映射几何结构的全新拓扑结构，其特征由转数 $\tau$ 表征。

1. 由零点驱动的无序驱动转变： 在洁净极限（$W=0$）下，位于 $t_1=t_2$ 处的拓扑转变是由谱能隙的关闭（$G$ 的极点）驱动的，此时 $\nu$ 从 0 变为 1，而 $\tau$ 保持为 $+1$ 不变。在强无序机制下，位于 $t_1=t_2$ 处的转变是由格林函数零点（自能的极点）驱动的。虽然 $\nu$ 仍然从 0 跳变为 1，但转数 $\tau$ 从 $-1$变为$+1$。这表明$\tau$能够区分由极点驱动和由零点驱动的转变，而这种区别在$\nu$ 中是不可见的。

2. 由浸入驱动的转变： 作者识别出一个 $\tau$ 发生变化但谱能隙保持开放且 $H_{\text{top}}(k)$ 保持有限的机制。这发生在违反浸入条件时，即对于某些 $k$，$\dot{\mathbf{d}}(k) = 0$。

   • 相图： 在 $(t_2/t_1, W)$ 平面上的扩展相图中，揭示了在固定 $\nu$ 扇区内具有不同 $\tau$ 值的区域。具体而言，对于 $t_2 < t_1$ 且强无序的情况，系统从 $\tau = +1$（类洁净态）转变为 $\tau = -1$（类强无序态）。
   • 中间相： 对于 $W=2.5$ 的摄动分析和数值结果显示，在 $\tau = +1$ 和 $\tau = -1$ 机制之间存在一个 $\tau = 0$ 的中间相（“数字 8”型回路）。该相由临界值 $t_{c1}$ 和 $t_{c2}$ 限制，在这些点上，回路在时间反演对称点（$k=0, \pi$）处产生尖点奇异性。

3. 渐近预测： 理论分析预测了转数转变的交叉尺度。对于强无序（$W \gg t_1$），转变区间位于 $t_{2,c} \simeq 4t_1^3 / W^2$ 附近。这一解析估计量与 $W \gtrsim 3$ 时的数值结果高度吻合。

4. 对称性约束： 本文分析了手征对称性和时间反演对称性所施加的约束。虽然缠绕数 $\nu$ 受交换对称性 $t_1 \leftrightarrow t_2$ 的约束（意味着 $\nu(t_2, t_1) = 1 - \nu(t_1, t_2)$），但不存在类似的 $\tau$ 对称关系。此外，时间反演对称性规定，涉及 $\Delta \tau = \pm 2$ 的转变要么通过（在通用 $k$ 处的）奇异性直接发生，要么通过中间的 $\tau=0$ 相（通过 $k=0, \pi$ 处的奇异性）发生。

意义
本文确立了动量空间哈密顿量映射的几何性质（特别是布洛赫回路的转数）是超越传统同伦分类的额外拓扑结构来源。这种几何精细化：

• 区分了由格林函数极点驱动（洁净极限）和由格林函数零点驱动（强无序）的拓扑转变。
• 揭示了即使在系统保持谱能隙的情况下，常规缠绕数分类也无法察觉的拓扑相和转变。
• 提供了一个理解“浸入驱动”转变的框架，在这种转变中，哈密顿量映射的切向量消失，为一维手征系统中的无序诱导拓扑提供了新视角。

作者指出，这些发现为在相互作用系统中寻找类似的 $\tau$ 解析相以及开发高维哈密顿量映射的规范协变形式提供了动力。