Quasi-frozen polar orbits around the Moon

技术摘要：月球附近的准冻结极轨道

问题陈述
本研究旨在解决维持低高度月球轨道中人造卫星长期稳定轨迹的挑战。由于月球具有高度非均匀的质量分布（质量瘤，mascons），未经管理的轨道极易受到严重摄动的影响，通常会导致轨迹在短时间内坠毁至月球表面。主要目标是通过平衡轨道要素的长期漂移，确定特定的轨道构型，以防止过早的撞击事件。

方法论
作者采用了一种结合解析推导与数值验证的双重框架方法：

1. 动力学建模：

   • 摄动因素： 模型考虑了月球非均匀引力场以及来自地球的三体引力摄动。太阳辐射压力（SRP）被认为对典型卫星的影响可以忽略不计，因此被排除在外。
   • 模型 18 × 0（解析）： 一个简化的解析模型，包含了高达 18 阶的带谐项（$J_2$ 至 $J_{18}$）。该模型使用单平均法来消除短周期项。
   • 模型 18 × 3（增强型解析/数值）： 一个扩展模型，包含了高达 $J_{18}$ 的带谐项，以及特定阶数和次数的三阶扇形项和锥形项（$C_{22}, S_{22}, C_{31}, S_{31}, C_{32}, S_{32}, C_{33}, S_{33}$）。
   • 三体处理： 地球的影响使用针对椭圆、倾斜轨道的单平均公式进行建模。

2. 冻结轨道分析：

   • 研究将“冻结轨道”定义为离心率（$\dot{e}$）和轨道倾角（$\dot{i}$）的长期变化率为零的构型。
   • 分析重点是将近月点幅角（$g$）固定在 $90^\circ$ 和 $270^\circ$。
   • 由于包含高阶带谐项的解析模型使得导出显式的 $e = f(i, a)$ 表达式在数学上变得难以处理，作者使用半解析数值根寻找扫描法来求解 $\dot{g} = 0$，并绘制 $(e, i)$ 相平面中的平衡轮廓线。

3. 验证：

   • 数值积分： 基于 Model 18 × 3 推导出的运动方程使用 Maple 中的 Runge-Kutta-Fehlberg 方法 (rkf45) 进行积分。
   • 高保真基准测试： 使用 NASA 的通用任务分析工具 (GMAT) 对结果进行交叉验证。GMAT 配置采用了高保真 50 × 50 阶及次数的月球势能模型，以及用于地球摄动的 DE405 行星历表。

关键结果

• 冻结轨道条件： 分析表明，存在稳定的极轨道构型，其中月球带谐引力系数可以平衡长期漂移。研究分析了 $g = 90^\circ$ 和 $g = 270^\circ$ 两种构型，指出虽然在解析模型中两者都能产生冻结解，但在考虑完整动力学背景时，$g = 270^\circ$ 构型被特别强调为能在月球环境中产生稳定的冻结极轨道。
• 半长轴依赖性：
  • 在半长轴为 1838 km（约 100 km 高度）时，所需的冻结离心率较高（$e \approx 0.049$）。在 Model 18 × 3 下的数值传播显示，即使具备这些初始条件，由于非带项摄动的影响，高离心率仍会导致轨道极易发生快速撞击（约 250 天内）。
  • 在半长轴为 1938 km（约 200 km 高度）时，所需的离心率放宽至 $e \approx 0.0241$。该构型表现出显著更高的稳定性。
• 准冻结行为： 当使用更复杂的 Model 18 × 3 传播从解析 Model 18 × 0 导出的初始条件时，轨道并不会保持完美的冻结状态，而是表现出离心率和近月点幅角的有界、低振幅振荡。这些轨道被归类为准冻结轨道。
• GMAT 验证： GMAT 模拟（50 × 50 模型 + 地球）证实，在 $a = 1938$ km 处确定的准冻结构型能在长时间内（测试时长 1000 天）保持有界的轨迹。所使用的简化半解析框架（Model 18 × 3 + 地球）与高保真 GMAT 结果高度吻合，仅在离心率和近月点幅角方面表现出微小偏差。

意义与主张
本文声称提供了一种用于识别低高度月球极冻结轨道的稳健半解析方法。通过利用高阶带谐项公式（高达 $J_{18}$）并利用高保真数值模型进行验证，作者建立了一个可靠的基准。

其主要贡献是确定了特定的初始条件（$a = 1938$ km, $e = 0.0241$, $i = 90^\circ$, $g = 270^\circ$, $h = 90^\circ$），这些条件能最大限度地减少对轨道保持机动的需求。作者断言，这些结果为选择永久月球星座的运行轨道以及预测“墓地”轨迹提供了实用的基础，从而与相邻轨道状态相比减少了燃料消耗。研究强调，尽管解析模型是一种简化，但它能够高保真地捕捉主要动力学特性，使其适用于初步任务设计。