Gradient field determination based on gravity measurements using spherical radial basis functions

技术摘要：基于球面径向基函数通过重力测量确定梯度场

问题陈述
重力梯度对于大地测量学和地球物理学至关重要，但通过挠度计进行直接测量的空间覆盖范围有限。虽然全球大地水准面模型（GPMs）提供了基础，但由于其最大阶数限制（例如 EIGEN-6C4 通常最高到 2190 阶），不足以检测小尺度的梯度异常。相反，仅依靠高分辨率陆地重力测量来重建梯度具有挑战性，因为这涉及逆问题的病态性质以及噪声放大的风险。本研究旨在解决在缺乏直接梯度测量的情况下，如何仅从陆地重力数据重建区域重力梯度场的问题，特别研究了如何通过频谱领域选择来平衡信号恢复与噪声放大。

研究方法
作者采用了结合“移除-恢复”（remove–restore）策略的球面径向基函数（SRBFs）区域建模方法。

1. 研究区域与数据： 研究重点关注匈牙利中部一个约 800 km² 的区域。数据集包括 1,195 个原始陆地重力测量值和 248 个独立的挠度计测量点（提供水平和曲率梯度）用于验证。
2. 频谱领域定义：
   • 低频移除： 使用 EIGEN-6C4 全球大地水准面模型从重力异常中移除了阶数低于 $N_{min} = 1600$ 的分量。该下限由模型区域的大小（$w \approx 25.1$ km）决定。
   • 高频建模： 残余重力异常使用 SRBFs 进行建模。理论上限（$N_{max}$）根据数据点间距计算得出，初始估计值为 $N_{max} \approx 13,900$。
   • 滤波： 应用香农核（Shannon kernel）作为带通滤波器，其中勒让德系数（$b_n$）在 $N_{min}$ 与 $N_{max}$ 之间设为 1，在其他地方设为 0。
3. 反演与正则化： 通过最小二乘反演确定 SRBF 系数。为了处理系统的病态性质和数据分布不均的问题，应用了 Tikhonov 正则化。利用方差分量估计（VCE）迭代确定不同类型数据（实测重力与插值网格数据）的最佳权重。
4. 合成与验证： 在确定 SRBF 系数后，对重力梯度进行合成。低阶分量（$<1600$）通过 GPM 进行恢复。所得梯度通过独立的挠度计测量值进行验证（这些测量值在反演过程中被排除在外）。

关键结果
研究系统地分析了最大展开阶数（$N_{max}$）对解准确性的影响：

• 最佳频谱范围： 虽然基于数据间距的理论 $N_{max}$ 为 13,900，但经验测试表明，超过特定范围会导致显著的噪声放大。确定的最佳范围在 $N_{max} = 6,500$ 至 $7,500$ 之间。
• 性能指标： 在 $N_{max} = 6,500$ 时，SRBF 衍生的梯度与独立挠度计数据表现出最佳一致性：
  • 相关系数： $T_{xz}$ 梯度的相关系数约为 0.796，$T_{yz}$ 约为 0.747。
  • 判定系数 ($R^2$)： $T_{xz}$ 提升至 0.628，$T_{yz}$ 为 0.551。
  • 与全球模型对比： 仅由 EIGEN-6C4 模型（最高至 2190 阶）导出的解相关性显著较低（约 0.36–0.45）。
  • 与过度展开的 SRBF 对比： 使用理论 $N_{max} = 13,900$ 会导致相关性较差（约 0.32）且 $R^2$ 值较低，表明反演主要是在拟合噪声而非信号。
• 空间分辨率： 在 $N_{max} = 6,500$ 下的 SRBF 解成功重现了挠度计数据中观察到的区域趋势和较小尺度特征，而这些特征在全局模型合成中是缺失的。

意义与主张
本文声称，只要应用适当的频谱约束，仅凭重力异常即可可靠地重建重力梯度。其主要贡献在于证明了频域正则化对于基于 SRBF 的反演至关重要。

• 信号与噪声的平衡： 研究强调，仅仅增加展开阶数以匹配数据密度并不会提高准确性；相反，存在一个最优的“甜点区”，在此区间内可以最大化信号内容而不放大噪声。
• 对梯度数据的独立性： 该方法证实，在缺乏直接梯度测量的区域，利用仅有的陆地重力数据和全球大地水准面模型，即可生成高分辨率梯度场。
• 验证： 使用独立的挠度计测量值作为验证集（而非输入项），为 SRBF 反演捕捉的是物理信号内容而非拟合噪声提供了强有力的证据。

作者得出结论，虽然全球模型为长波长分量提供了必要的基底，但通过精心选择最大阶数的 SRBF 反演，是增强区域重力梯度场空间分辨率的一种稳健且有效的方法。