1787 ورقة بحثية
تضع هذه الورقة إطاراً منهجياً لربط عائلات التطابق لتقسيمات فروبينيوس المعممة من خلال بناء أشكال نمطية متعددة القيم واستخدام التحويلات النمطية لتحديد التكافؤات والمراسلات بين القيم المختلفة لـ .
تتقصى هذه الورقة الظروف التي يمكن في ظلها التعبير عن أعداد ثابيت وويليامز في القاعدة كفرق أو مجموع لعددين من الأرقام المتكررة في النظام ، حيث تقدم حلولاً بارامترية للحالات اللانهائية، وحدوداً عليا للحالات المنتهية، وحلولاً كاملة لمعادلات محددة.
من خلال تطبيق خوارزمية فورونوي لحصر جميع الشبكات المثالية البالغ عددها 2,237,251,040 في البعد 9، تثبت هذه الورقة أن الشبكة الصفائحية توفر أقصى كثافة تعبئة للشبكات، وتحدد ثابت هيرميت ، وتحدد أعداد التقبيل الممكنة في ذلك البعد.
تثبت هذه الورقة أنه لأي شكل سيجل المودولار (Siegel modular form) من الدرجة والمستوى الفردي ، والذي يحتوي على معامل فوريه واحد على الأقل حيث يكون آخر عنصر قطري في أولياً مع ، فإنه توجد معاملات فوريه غير صفرية لعدد لا نهائي من المميزات الأساسية (fundamental discriminants) ، وهي نتيجة تُستخدم لتقديم إثبات غير مشروط لجبرية بعض القيم الحرجة لدوال المغزلية (spinor -functions) لـ .
تقدم هذه الورقة تصنيفاً ملموساً وموجهاً نحو التنفيذ للمنحنيات الإهليلجية فائقة الشذوذ في الخصائص 3 وصيغاً صريحة لحساب عدد نقاطها لدعم تطوير حزمة البرمجيات Hecke.jl.
تقدم هذه الورقة تعزيزات كمية لتخمين مازور فيما يتعلق بالطبيعة غير الدورانية لنقاط هيغنر العليا على المنحنيات النمطية ومنحنيات شيمورا، وذلك باستخدام التداخل بين المدارات الغالواوية ومدارات هيكي لتجاوز الفرضيات التقييدية التي تتطلبها الطرق السابقة.
تقدم هذه الورقة خوارزمية لإجراء حسابات العمليات الحسابية والدوال المتسامية (مثل الدوال المثلثية والأسية واللوغاريتمية) مباشرة ضمن مجال اللوغاريتمات المستمرة، مما يوفر بديلاً أكثر كفاءة للكسور المستمرة يتجنب الحسابات بنظام الفاصلة العائمة.
تتقصى هذه الورقة مضلعات نيوتن وأنواع إيكيدال-أورت للغطاءات الأبيلية للمستقيم الإسقاطي المتفرعة عند ثلاث نقاط، حيث تُثبت أن المنحنيات فوق-المنفردة وفوق-الخاصة، وكذلك الخصائص الهندسية "غير المرجحة"، تحدث بتكرار أعلى مما هو متوقع، وتقدم دليلاً جديداً على حدس أورت.
تتقصى هذه الورقة وجود منحنيات إهليلجية عقلانية ذات زمر تدوير فرعية محددة ( لـ ) فوق حقول تربيعية ، حيث تثبت أنه بالنسبة لعدد لا نهائي من الأعداد الأولية لا توجد مثل هذه المنحنيات ولا توجد بكميات لانهائية (والأخير مشروط بفرضية الزوجية)، مع تطبيق هذه النتائج لتنقيح تصنيفات التدوير عبر امتدادات حقول أوسع.
تثبت الورقة أن كل عدد طبيعي يظهر كارتفاع لبعض كثير حدود دوري ثلاثي من خلال البرهنة على أنه لأي عدد أولي فردي وعدد صحيح صالح، يوجد أعداد أولية و كبيرة بلا حدود بحيث يكون ارتفاع هو بالضبط، مع تقديم قيم محددة لقطره أيضاً.