Thabit and Williams Numbers Base $b$ as a Sum or Difference of Two $g$-Repdigits

تستقصي هذه الورقة البحثية، المعنونة بـ "أعداد ثابت وويليامز في القاعدة $b$ كمجموع أو فرق لعددين من الأرقام المتكررة في القاعدة $g$"، التقاطع بين فئتين محددتين من الأعداد: أعداد ثابت/ويليامز المعممة والأرقام المتكررة (repdigits) في قاعدة معطاة $g$.

١. المشكلة

يسعى المؤلفون إلى حل معادلات ديوفانتية محددة تمثل الأسئلة الرياضية التالية:

• أعداد ثابت/ويليامز (القاعدة $b$): هي تعميمات لأعداد ثابت بن قرا (Thabit ibn Qurra) الكلاسيكية. يأخذ عدد ثابت في القاعدة $b$ الشكل $(b \pm 1)b^{n \pm 1}$، بينما يأخذ عدد ويليامز في القاعدة $b$ الشكل $(b \pm 1)b^{n \pm 1}$.
• الأرقام المتكررة في القاعدة $g$ ($g$-Repdigits): يكون العدد صحيحاً متكرراً في القاعدة $g$ إذا كانت جميع أرقامه في القاعدة $g$ متطابقة. رياضياً، يُعبر عن الرقم المتكرر $N$ في القاعدة $g$ بالصيغة $N = d \frac{g^m - 1}{g - 1}$، حيث $d \in \{1, \dots, g-1\}$.

الهدف الجوهري هو إيجاد جميع الحلول الصحيحة $(d_1, d_2, l, m, n)$ للمعادلات:
١. $(b \pm 1)b^{n \pm 1} = d_1 \left(\frac{g^l - 1}{g - 1}\right) + d_2 \left(\frac{g^m - 1}{g - 1}\right)$ (مجموع رقمين متكررين)
٢. $(b \pm 1)b^{n \pm 1} = d_1 \left(\frac{g^l - 1}{g - 1}\right) - d_2 \left(\frac{g^m - 1}{g - 1}\right)$ (فرق رقمين متكررين)

٢. المنهجية

تستخدم الورقة نهجاً صارماً في نظرية الأعداد يتضمن عدة تقنيات متقدمة:

• الأشكال الخطية للوغاريتمات (Linear Forms in Logarithms): يستخدم المؤلفون نظرية باكر (تحديداً اللمة ٥، وهي نسخة من مبرهنة ماتفييف) لاستنتاج حدود عليا فعالة للأسات $n, l,$ و $m$. وهذا يحول مساحة البحث اللانهائية إلى مساحة محدودة.
• طريقة الاختزال (Reduction Method): نظراً لأن الحدود العليا الأولية التي توفرها نظرية باكر ضخمة للغاية (من رتبة $10^{29}$)، يطبق المؤلفون طريقة اختزال باكر-دافنبورت (باستخدام الكسور المستمرة واللمة ٧) لخفض هذه الحدود بشكل كبير إلى نطاق يمكن التعامل معه حسابياً.
• تحليل الحالات (Case Analysis): يميز المؤلفون بين الحالات التي تعطي فيها المعادلات عدداً لانهائياً من الحلول (الحلول البارامترية) والحالات التي تعطي فيها عدداً محدوداً فقط من الحلول.
• التحقق الحسابي (Computational Verification): للحالات العملية المحددة (على سبيل المثال، $g=10$ و $2 \le b \le 12$)، يستخدم المؤلفون برنامج Wolfram Mathematica لتنفيذ خوارزميات الاختزال والتحقق الشامل من جميع المرشحين المتبقين.

٣. المساهمات والنتائج الرئيسية

تقدم الورقة تصنيفاً كاملاً للحلول:

• العائلات اللانهائية (الفرضية ١ و ٢): يحدد المؤلفون علاقات محددة بين $b$ و $g$ (مثل $b=2$ و $g=2^k$) حيث تمتلك المعادلات عدداً لانهائياً من الحلول. وهم يقدمون الصيغ البارامترية الصريحة لهذه الحلول.
• مبرهنات المحدودية (المبرهنة ٣ و ٤): يثبتون أنه خارج العائلات اللانهائية، يكون عدد الحلول لكل من معادلات الجمع والطرح محدوداً دائماً. كما يقدمون حدوداً عليا نظرية صريحة (وإن كانت كبيرة) للمؤشرات $n, l,$ و $m$.
• الحلول العددية الكاملة (المبرهنة ١٣ و ١٩):
  • بالنسبة لـ مجموع رقمين متكررين عشريين ($g=10$) و $2 \le b \le 12$، يثبتون وجود ١٦٤ حلاً بالضبط مع $n \ge 1$.
  • بالنسبة لـ فرق رقمين متكررين عشريين ($g=10$) و $2 \le b \le 12$، يثبتون وجود ١٦٠ حلاً بالضبط مع $n \ge 1$.
  • يقدمون أمثلة محددة لهذه التمثيلات (على سبيل المثال، التعبير عن عدد ثابت كتركيبة من الأرقام المتكررة العشرية).

٤. الأهمية

تساهم هذه الدراسة في المجال الأوسع لـ معادلات ديوفانت و الخصائص الحسابية للمتتاليات العددية. وبينما تُدرس أعداد ثابت وويليامز تقليدياً من حيث أوليتها، فإن هذه الورقة تنقل التركيز إلى بنيتها الجمعية/الطرحية في قواعد مختلفة.

تعد المنهجية المتبعة نموذجاً قوياً لحل مسائل مماثلة تتضمن متتاليات أخرى (مثل أعداد فيبوناتشي أو لوكاس) والأرقام المتكررة. ومن خلال تقديم كل من الحدود النظرية والقوائم العددية الشاملة، تجسر الورقة الفجوة بين نظرية الأعداد المجردة والرياضيات الحسابية.