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Thabit and Williams Numbers Base $b$ as a Sum or Difference of Two $g$ -Repdigits

Die vorliegende Arbeit untersucht die Fälle, in denen Thabit- und Williams-Zahlen in einer Basis $b$ als Summe oder Differenz zweier $g$ -Repdigit-Zahlen dargestellt werden können, und liefert hierfür sowohl parametrische Lösungen als auch obere Schranken für die verbleibenden Fälle.

Ursprüngliche Autoren: Kouèssi Norbert Adédji, Marija Bliznac Trebješanin, Jelena Pleština

Veröffentlicht 2026-02-10

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CC BY 4.0

Ursprüngliche Autoren: Kouèssi Norbert Adédji, Marija Bliznac Trebješanin, Jelena Pleština

Originalarbeit lizenziert unter CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dies ist eine KI-generierte Erklärung des untenstehenden Papers. Sie wurde nicht von den Autoren verfasst oder gebilligt. Für technische Genauigkeit konsultieren Sie das Originalpaper. Vollständigen Haftungsausschluss lesen

Die Suche nach den „perfekten Bausteinen“: Eine mathematische Detektivgeschichte

Stellen Sie sich vor, Sie sind ein Architekt, der eine ganz besondere Art von Gebäuden bauen möchte. Diese Gebäude bestehen aus zwei sehr speziellen Arten von Ziegelsteinen.

1. Die Protagonisten: Die „Thabit-Steine“ und die „Repdigit-Steine“

In der Mathematik haben wir zwei Arten von „Spezial-Ziegeln“:

Die Thabit-Steine (Die exzentrischen Einzelstücke): Das sind Zahlen, die nach einer ganz strengen, fast schon aristokratischen Regel entstehen (wie $3 \cdot 2^n - 1$ ). Sie sind selten und folgen einem sehr starren Muster. Man kann sie sich wie maßgeschneiderte Luxus-Ziegel vorstellen, die nur in ganz bestimmten Abständen in einem Steinbruch vorkommen.
Die Repdigit-Steine (Die perfekt symmetrischen Steine): Das sind Zahlen, die aus immer gleichen Ziffern bestehen – zum Beispiel $555$ oder $7777$. In der Welt der Zahlen sind das die „perfekten Symmetrie-Steine“. Sie sind sehr ordentlich und sehen immer gleich aus.

2. Das Rätsel: Die perfekte Kombination

Die Forscher (Kouessi, Bliznac Trebješanin und Pleština) haben sich eine knifflige Frage gestellt:

„Gibt es Momente, in denen ein exzentrischer Thabit-Stein exakt so groß ist wie die Summe (oder der Unterschied) von zwei perfekt symmetrischen Repdigit-Steinen?“

Stellen Sie sich vor, Sie versuchen, einen unregelmäßigen, teuren Luxus-Ziegel (Thabit) genau aus zwei perfekt gleichmäßigen, gestreiften Ziegeln (Repdigits) zusammenzusetzen. Passt das? Gibt es eine Lösung?

3. Die Entdeckung: Unendlichkeit vs. Einzigartigkeit

Die Mathematiker haben das Ganze wie ein Detektiv untersucht und zwei völlig unterschiedliche Welten entdeckt:

Die „Dauerbrenner“ (Unendliche Lösungen): In ganz bestimmten Fällen (wenn die Basis der Zahlen bestimmte mathematische Bedingungen erfüllt) ist es wie bei einem Glücksspiel, das man immer wieder gewinnt. Es gibt unendlich viele Kombinationen, bei denen die Rechnung aufgeht. Das ist, als ob man eine Maschine hätte, die immer wieder genau die richtigen Bausteine ausspuckt.
Die „Seltener Funde“ (Endliche Lösungen): In fast allen anderen Fällen ist es jedoch wie die Suche nach einer Nadel im Heuhaufen. Es gibt vielleicht ein paar Lösungen, aber die sind extrem selten. Die Forscher haben sogar mathematische „Grenzzäune“ (obere Schranken) errichtet. Sie konnten beweisen: „Wenn du eine Lösung nicht innerhalb dieser riesigen Zahl gefunden hast, dann gibt es sie auch nicht mehr.“

4. Wie haben sie das gemacht? (Die Werkzeuge)

Sie haben nicht einfach alle Zahlen durchprobiert (das würde länger dauern, als das Universum existiert!). Stattdessen haben sie hochmoderne mathematische „Röntgenstrahlen“ benutzt:

Lineare Formen in Logarithmen: Das ist wie ein hochpräzises Messgerät, mit dem man prüft, wie nah zwei Zahlen beieinander liegen, ohne sie wirklich ausrechnen zu müssen.
Die Reduktionsmethode: Wenn die Zahlen zu groß werden, um sie zu fassen, nutzen sie einen Trick, um das Problem in kleinere, handliche Stücke zu zerlegen, bis sie am Ende die exakten Antworten für die Basis 10 (unser normales Dezimalsystem) finden konnten.

Zusammenfassung für den Stammtisch

Die Forscher haben bewiesen, dass die „unordentlichen“ Thabit-Zahlen und die „perfekt symmetrischen“ Repdigit-Zahlen fast nie zusammenpassen. Wenn sie es doch tun, dann ist das ein mathematisches Wunder, das entweder in einem unendlichen Muster geschieht oder nur ein ganz kleines, begrenztes paar Mal vorkommt. Sie haben die Regeln aufgestellt, die bestimmen, wann diese mathematischen „Ziegel“ perfekt ineinandergreifen.

Zusammenfassung: Thabit- und Williams-Zahlen in Basis $b$ als Summe oder Differenz von zwei $g$ -Repdigiten

1. Problemstellung

Die vorliegende Arbeit untersucht die Darstellung von verallgemeinerten Thabit-Zahlen und Williams-Zahlen als Summe oder Differenz von zwei $g$ -Repdigiten (Zahlen, deren Ziffern in der Basis $g$ alle identisch sind).

Thabit-Zahlen der Basis $b$ : Zahlen der Form $(b+1)b^{n-1}$ oder $(b+1)b^{n+1}$ .
Williams-Zahlen der Basis $b$ : Zahlen der Form $(b-1)b^{n \pm 1}$ .
$g$ -Repdigit: Eine Zahl der Form $d \cdot \frac{g^m-1}{g-1}$ , wobei $d \in \{1, \dots, g-1\}$ .

Das Kernproblem besteht darin, ganzzahlige Lösungen $(d_1, d_2, l, m, n)$ für die Diophantischen Gleichungen zu finden, bei denen eine Thabit- oder Williams-Zahl gleich der Summe oder Differenz zweier Repdigiten ist:

$(b \pm 1)b^{n \pm 1} = d_1 \frac{g^l-1}{g-1} + d_2 \frac{g^m-1}{g-1}$
$(b \pm 1)b^{n \pm 1} = d_1 \frac{g^l-1}{g-1} - d_2 \frac{g^m-1}{g-1}$

2. Methodik

Die Autoren verwenden eine Kombination aus analytischen Methoden der Zahlentheorie und computergestützten Reduktionsverfahren:

Lineare Formen in Logarithmen: Zur Bestimmung von Schranken für die Exponenten ( $n, l, m$ ) wird der Satz von Baker (speziell die Version von Matveev) angewendet. Dies ermöglicht es, effektive obere Schranken für die Unbekannten zu berechnen, wenngleich diese initial extrem groß sind (ca. $10^{29}$ bis $10^{32}$ ).
Baker-Davenport-Reduktionsmethode: Um die astronomisch hohen Schranken handhabbar zu machen, wird eine Variante der Baker-Davenport-Reduktion (unter Verwendung von fortgesetzten Brüchen und dem Lemma von Dujella und Pethő) eingesetzt. Dies erlaubt es, die Schranken auf kleine, prüfbare Werte zu reduzieren.
Fallunterscheidung: Die Autoren unterscheiden systematisch zwischen Fällen, in denen unendlich viele Lösungen existieren (parametrische Lösungen, wie in Proposition 1 und 2 beschrieben), und Fällen, in denen nur endlich viele Lösungen existieren.
Computergestützte Verifizierung: Für spezifische Basen (insbesondere $g=10$ und $2 \leq b \leq 12$ ) werden die verbleibenden Fälle mittels Wolfram Mathematica explizit berechnet.

3. Zentrale Ergebnisse

Existenz unendlich vieler Lösungen: Die Autoren identifizieren spezifische Bedingungen für $b$ und $g$ (z. B. wenn $b=2$ und $g=2^k$ ), unter denen die Gleichungen unendlich viele Lösungen besitzen.
Endlichkeit der Lösungen: Für alle anderen Fälle beweisen die Autoren (Theorem 3 und 4), dass die Anzahl der Lösungen endlich ist. Sie liefern explizite, wenn auch große, obere Schranken für die Exponenten $n, l$ und $m$ .
Vollständige Lösungen für $g=10$ : Ein wesentlicher praktischer Beitrag ist die vollständige Auflösung der Gleichungen für die Dezimalbasis ( $g=10$ $g = 10$ ) im Bereich $2 \leq b \leq 12$ $2 \leq b \leq 12$ .
- Für die Summen-Gleichungen (Theorem 13) wurden genau 164 Lösungen mit $n \geq 1$ gefunden.
- Für die Differenz-Gleichungen wurden genau 160 Lösungen mit $n \geq 1$ identifiziert.

4. Bedeutung der Arbeit

Die Arbeit leistet einen wichtigen Beitrag zur algorithmischen Zahlentheorie. Während die Primzahleigenschaft von Thabit-Zahlen oft im Fokus steht, erweitert diese Untersuchung die Charakterisierung dieser Zahlen durch ihre digitale Struktur (Repdigit-Darstellung). Die methodische Strenge – von der Anwendung komplexer Schranken bis hin zur vollständigen numerischen Auflösung – macht die Arbeit zu einem Referenzpunkt für ähnliche Probleme bei anderen Zahlfolgen.

Schlüsselwörter: Repdigit, Lineare Formen in Logarithmen, Thabit-Zahlen, Reduktionsmethode, Diophantische Gleichungen.