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Thabit and Williams Numbers Base $b$ as a Sum or Difference of Two $g$ -Repdigits

Cette étude examine les cas où les nombres de Thabit et de Williams en base $b$ peuvent s'exprimer comme la somme ou la différence de deux répidigits de base $g$ , en fournissant des solutions paramétriques, des bornes supérieures et des résolutions complètes pour certains cas spécifiques.

Auteurs originaux : Kouèssi Norbert Adédji, Marija Bliznac Trebješanin, Jelena Pleština

Publié 2026-02-10

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CC BY 4.0

Auteurs originaux : Kouèssi Norbert Adédji, Marija Bliznac Trebješanin, Jelena Pleština

Article original sous licence CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Ceci est une explication générée par l'IA de l'article ci-dessous. Elle n'a pas été rédigée ni approuvée par les auteurs. Pour une précision technique, consultez l'article original. Lire la clause de non-responsabilité complète

Le Titre : "Les nombres de Thabit et Williams : un jeu de construction avec des chiffres répétitifs"

Imaginez que les mathématiques sont un immense jeu de LEGO. Dans ce jeu, il existe deux types de pièces très spéciales :

Les pièces "Thabit et Williams" : Ce sont des nombres qui ont une structure très rigide, presque comme des gratte-ciels construits sur une base très précise (une puissance de base $b$ ). Ils ne peuvent pas prendre n'importe quelle forme ; ils suivent une recette de cuisine très stricte.
Les pièces "Repdigits" (Répétitifs) : Ce sont des nombres "monotones". En base 10, ce sont les nombres comme 11, 222, 5555 ou 77. Ils sont faits d'un seul et même chiffre qui se répète, comme une ligne de soldats qui marchent au pas.

La question des chercheurs est la suivante : Est-ce qu'on peut construire un "gratte-ciel" (un nombre de Thabit ou Williams) en utilisant seulement deux "lignes de soldats" (deux nombres répétitifs), soit en les additionnant, soit en les soustrayant ?

1. La quête de l'équilibre (L'objectif)

Les chercheurs, Kouessi, Bliznac Trebješanin et Pleština, se sont demandé : "Peut-on trouver des moments précis où la structure complexe d'un nombre de Thabit tombe parfaitement en face de la simplicité de deux nombres répétitifs ?"

C'est comme essayer de savoir si, en empilant deux piles de briques parfaitement identiques, on peut obtenir exactement la hauteur d'une tour très spécifique.

2. Les deux scénarios : L'Addition et la Soustraction

Le papier explore deux chemins :

Le chemin de l'Addition : Est-ce que Tour = Soldat A + Soldat B ?
Le chemin de la Soustraction : Est-ce que Tour = Soldat A - Soldat B ?

3. Les découvertes : L'Infini contre le Fini

C'est ici que la magie mathématique opère. Les chercheurs ont découvert qu'il y a deux types de réponses :

Les "Coïncidences Éternelles" (L'Infini) : Pour certaines bases très spécifiques (comme quand on travaille en base 2), il existe une recette magique qui permet de créer une infinité de solutions. C'est comme si, dans notre jeu de LEGO, il existait une règle qui disait : "Chaque fois que vous construisez une tour de 10 étages, vous pouvez toujours la faire avec deux lignes de 5 soldats". Cela arrive de façon prévisible et répétitive.
Les "Événements Rares" (Le Fini) : Pour la grande majorité des autres cas, ces coïncidences sont extrêmement rares. Les chercheurs ont prouvé que, passé un certain point, il n'y en aura plus jamais. Ils ont même réussi à calculer une "frontière" (une limite supérieure). Ils disent en gros : "Si vous n'avez pas trouvé la solution avant d'atteindre ce nombre gigantesque (qui a des centaines de zéros), alors ne cherchez plus, elle n'existe pas !"

4. La méthode : Le microscope de haute précision

Pour prouver cela, ils n'ont pas simplement compté sur leurs doigts. Ils ont utilisé des outils de "haute technologie" mathématique appelés "Formes linéaires en logarithmes".

Imaginez que vous essayez de savoir si deux horloges sont parfaitement synchronisées. Si elles sont presque synchronisées, mais pas tout à fait, l'écart est minuscule. Les logarithmes permettent aux mathématiciens de mesurer cet écart minuscule pour prouver que, si l'écart est trop petit, alors les deux horloges doivent être identiques. C'est ce qui leur a permis de fixer les limites de recherche.

En résumé (La morale de l'histoire)

Ce papier nous dit que la structure complexe des nombres (Thabit/Williams) et la simplicité extrême des nombres répétitifs (Repdigits) ne se rencontrent que très rarement.

C'est un peu comme chercher des moments où deux musiciens jouent exactement la même note, mais l'un joue une mélodie complexe et l'autre ne joue qu'une seule note répétée. Parfois, ils se croisent par pur hasard (les solutions finies), parfois ils sont programmés pour le faire (les solutions infinies), mais la plupart du temps, ils jouent des partitions totalement différentes.

Résumé Technique : Nombres de Thabit et de Williams en base $b$ comme somme ou différence de deux repdigits en base $g$

1. Problématique et Définitions

L'article explore les propriétés diophantiennes des généralisations des nombres de Thabit et de Williams.

Nombres de Thabit en base $b$ : Entiers de la forme $(b+1)b^{n-1}$ ou $(b+1)b^{n+1}$ .
Nombres de Williams en base $b$ : Entiers de la forme $(b-1)b^{n \pm 1}$ .
Repdigits en base $g$ ( $g$ -repdigits) : Nombres dont tous les chiffres dans leur expansion en base $g$ sont identiques, de la forme $d \left(\frac{g^m-1}{g-1}\right)$ , où $1 \leq d \leq g-1$ .

L'objectif central est de déterminer les solutions entières $(d_1, d_2, l, m, n)$ pour les équations suivantes :

$(b \pm 1)b^{n \pm 1} = d_1 \left(\frac{g^l-1}{g-1}\right) + d_2 \left(\frac{g^m-1}{g-1}\right)$ (Somme)
$(b \pm 1)b^{n \pm 1} = d_1 \left(\frac{g^l-1}{g-1}\right) - d_2 \left(\frac{g^m-1}{g-1}\right)$ (Différence)

2. Méthodologie

Les auteurs emploient une approche combinant la théorie des nombres analytique et des méthodes de réduction algorithmique :

Formes linéaires en logarithmes : Pour établir des bornes supérieures sur les indices ( $n, l, m$ ), les auteurs utilisent le théorème de Baker (via le lemme de Matveev, Lemme 5 dans le texte). Cela permet de transformer le problème en une inégalité impliquant des logarithmes d'entiers algébriques.
Méthode de réduction de Baker-Davenport : Les bornes obtenues par la théorie des formes linéaires sont souvent trop grandes pour une vérification exhaustive (de l'ordre de $10^{29}$ ). Les auteurs utilisent une variante de la méthode de réduction de Dujella et Pethő (basée sur les convergents de fractions continues) pour réduire ces bornes à des valeurs calculables.
Analyse de cas particuliers : L'étude distingue les cas où il existe une infinité de solutions (solutions paramétriques) des cas où le nombre de solutions est fini.

3. Contributions Clés et Résultats

A. Classification des solutions infinies

L'article identifie précisément les combinaisons de bases $(b, g)$ qui permettent d'obtenir une infinité de solutions. Par exemple :

Si $b=2$ et $g=2^k$ , certaines équations de type "somme" possèdent des familles de solutions paramétriques.
Si $b$ et $g$ sont des puissances de la même base $a$ (ex: $b=a^\beta, g=a^\alpha$ ), des solutions infinies émergent selon des conditions spécifiques sur les exposants.

B. Bornes effectives (Théorèmes 3 et 4)

Pour tous les autres cas (ceux qui ne font pas partie des familles infinies), les auteurs prouvent que le nombre de solutions est fini et fournissent des bornes explicites sur les paramètres. Les bornes sur $n$ sont de l'ordre de :
$n < C \cdot \log^3 g \cdot \log^2 b \cdot \log(\max\{b, g\})$
où $C$ est une constante extrêmement grande (environ $10^{29}$ ).

C. Résolution complète pour $g=10$ et $2 \leq b \leq 12$

C'est la contribution numérique la plus concrète. En appliquant les méthodes de réduction, les auteurs ont pu :

Pour la somme (Théorème 13) : Déterminer qu'il existe exactement 164 solutions avec $n \geq 1$ (en dehors de la famille infinie pour $b=g=10$ ).
Pour la différence (Théorème 19) : Déterminer qu'il existe exactement 160 solutions avec $n \geq 1$ (en dehors de la famille infinie pour $b=2$ ).

4. Signification et Importance

Ce travail est significatif car il comble une lacune dans la littérature sur les représentations de nombres spéciaux. Alors que la recherche se concentre souvent sur la primalité des nombres de Thabit ou de Williams, cet article déplace le curseur vers leur structure additive et soustractive par rapport aux repdigits.

La rigueur de la méthode (passage de bornes théoriques astronomiques à une vérification numérique exhaustive) démontre la puissance des outils modernes de la théorie diophantienne pour résoudre des problèmes qui semblent, à première vue, inaccessibles par simple calcul.