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Thabit and Williams Numbers Base $b$ as a Sum or Difference of Two $g$ -Repdigits

Este artículo investiga las condiciones bajo las cuales los números de Thabit y Williams en base $b$ pueden expresarse como la suma o la diferencia de dos repidigitos de base $g$ , proporcionando soluciones paramétricas, límites superiores y soluciones completas para casos específicos.

Autores originales: Kouèssi Norbert Adédji, Marija Bliznac Trebješanin, Jelena Pleština

Publicado 2026-02-10

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CC BY 4.0

Autores originales: Kouèssi Norbert Adédji, Marija Bliznac Trebješanin, Jelena Pleština

Artículo original bajo licencia CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Esta es una explicación generada por IA del artículo a continuación. No ha sido escrita ni avalada por los autores. Para mayor precisión técnica, consulte el artículo original. Leer descargo de responsabilidad completo

El Juego de los Números "Especiales": ¿Cómo se pueden construir con piezas iguales?

Imagina que tienes un juego de construcción, como los bloques de LEGO. Normalmente, puedes construir cualquier figura usando piezas de cualquier tamaño y color. Pero, ¿qué pasaría si te pusiera un reto extremo? Te diría: "Construye esta figura específica usando únicamente piezas que sean todas del mismo color y del mismo tamaño".

Eso es, en esencia, lo que este grupo de matemáticos ha estado investigando.

1. Los protagonistas: Los números "Thabit" y "Williams"

En el mundo de los números, existen ciertas "familias" que tienen una estructura muy rígida, casi como si fueran edificios construidos con un plano muy estricto. Estas familias se llaman números de Thabit y números de Williams.

No son números cualquiera; son números que crecen de una forma muy particular, saltando de potencia en potencia (como si cada vez que construyes un piso nuevo, el edificio se volviera mucho más alto de golpe).

2. Las piezas: Los "Repdigits" (Repetidores)

Por otro lado, tenemos a los "repdigits" (o números de repetición). Estos son los números más "monótonos" del mundo. En nuestro sistema decimal, un repdigit es un número como el 222, el 55 o el 7777. Son números donde todos sus dígitos son iguales. Son como piezas de LEGO que son todas exactamente iguales: todas rojas, todas de 4 puntos.

3. El gran misterio: ¿Se pueden fabricar con estas piezas?

El objetivo de los investigadores (Kouessi, Bliznac Trebješanin y Pleština) fue responder a una pregunta:

¿Es posible tomar un número de la familia "Thabit" o "Williams" y construirlo sumando o restando solo dos números que sean "repetidores"?

Es decir: ¿Puedo fabricar un número complejo y "saltarín" usando solo dos bloques de números muy simples y repetitivos?

4. ¿Qué descubrieron? (Los resultados)

Los matemáticos no solo buscaron respuestas al azar; usaron herramientas de "detective de alta precisión" (llamadas formas lineales en logaritmos) para poner límites a la búsqueda. Sus conclusiones fueron:

La mayoría de las veces, es imposible: Para la gran mayoría de las combinaciones de bases numéricas, la respuesta es "no". Solo hay un número finito de casos donde esto ocurre. Es como si intentaras construir un castillo complejo usando solo dos ladrillos idénticos: solo podrías hacerlo de unas pocas formas muy específicas antes de que las piezas simplemente no encajen.
Hay "atajos" mágicos: Descubrieron que, en ciertos casos muy especiales (como cuando trabajamos en base 2), existen fórmulas que permiten crear infinitas combinaciones. Es como si hubieran encontrado un truco de magia donde, si usas las piezas correctas, siempre puedes construir algo nuevo.
El mapa de soluciones: Para el sistema que usamos nosotros (base 10), el estudio fue exhaustivo. Lograron contar exactamente cuántas veces esto sucede, dándonos una lista cerrada de soluciones.

En resumen...

Este estudio es como un inventario de posibilidades. Los autores han analizado las reglas del universo numérico para decirnos: "Si intentas construir estos edificios especiales (Thabit/Williams) usando solo estos ladrillos repetitivos (repdigits), estas son las únicas formas en que las piezas encajarán perfectamente".

Es un trabajo de orden y precisión que ayuda a entender la estructura profunda de los números, demostrando que, aunque parezca que hay infinitas posibilidades, el universo de las matemáticas tiene reglas muy estrictas que limitan lo que es posible.

Resumen Técnico: Números de Thabit y Williams en base $b$ como suma o diferencia de dos repidigitos en base $g$

Autores: Kouessi Norbert Adédji, Marija Bliznac Trebješanin y Jelena Plešcina.

1. El Problema

El estudio aborda un problema de ecuaciones diofánticas que busca determinar cuándo un número de Thabit o un número de Williams (generalizados a una base $b \geq 2$ ) puede expresarse como la suma o la diferencia de dos repidigitos en una base $g \geq 2$ .

Números de Thabit base $b$ : Números de la forma $(b+1)b^{n-1}$ o $(b+1)b^{n+1}$ .
Números de Williams base $b$ : Números de la forma $(b-1)b^{n \pm 1}$ .
Repidigitos en base $g$ : Números cuyos dígitos en la expansión de base $g$ son todos iguales, representados por la forma $d \left( \frac{g^m-1}{g-1} \right)$ , donde $1 \leq d \leq g-1$ .

Las ecuaciones fundamentales investigadas son:

$(b \pm 1)b^{n \pm 1} = d_1 \left( \frac{g^l-1}{g-1} \right) + d_2 \left( \frac{g^m-1}{g-1} \right)$ (Suma)
$(b \pm 1)b^{n \pm 1} = d_1 \left( \frac{g^l-1}{g-1} \right) - d_2 \left( \frac{g^m-1}{g-1} \right)$ (Diferencia)

2. Metodología

Los autores emplean técnicas avanzadas de la teoría de números, específicamente centradas en la teoría de formas lineales en logaritmos:

Teorema de Baker: Se utiliza para establecer cotas superiores para los exponentes ( $n, l, m$ ). El proceso implica transformar las ecuaciones originales en desigualdades de formas lineales en logaritmos de números algebraicos.
Método de Reducción de Baker-Davenport: Dado que las cotas iniciales obtenidas mediante Baker son extremadamente grandes (del orden de $10^{29}$ ), los autores aplican el método de reducción basado en la teoría de fracciones continuas (específicamente el Lema de Baker-Davenport y variantes de Dujella-Pethő) para reducir estas cotas a valores manejables computacionalmente.
Análisis de Casos Especiales: Se identifican casos paramétricos donde existen infinitas soluciones (Propuesta 1 y 2) mediante el análisis de relaciones algebraicas entre las bases $b$ y $g$ .
Implementación Computacional: Para los casos finitos, se utiliza el software Wolfram Mathematica para ejecutar algoritmos de reducción y verificar exhaustivamente las soluciones restantes.

3. Contribuciones Clave

Clasificación de Soluciones Infinitas: El artículo identifica con precisión las condiciones bajo las cuales las ecuaciones poseen infinitas soluciones (por ejemplo, cuando las bases son potencias de un mismo número o existen relaciones específicas entre $b$ y $g$ ).
Establecimiento de Cotas Efectivas: Proporciona cotas superiores explícitas y efectivas para los parámetros $n, l$ y $m$ en todos los casos donde el número de soluciones es finito.
Resolución Completa para Casos Específicos: El trabajo no solo teoriza, sino que resuelve completamente las ecuaciones para la base decimal ( $g=10$ ) y bases $b$ en el rango $2 \leq b \leq 12$ .

4. Resultados Principales

Teoremas 3 y 4: Demuestran que, salvo los casos de soluciones infinitas descritos, las ecuaciones de suma y diferencia tienen solo un número finito de soluciones enteras.
Resultados para $g=10$ :
- Para la suma de repidigitos decimales, se determinó que existen exactamente 164 soluciones con $n \geq 1$ (además de la familia infinita cuando $b=10$ ).
- Para la diferencia de repidigitos decimales, se encontraron exactamente 160 soluciones con $n \geq 1$ (excluyendo la familia infinita para $b=2$ ).
Ejemplos de representaciones (base 2): El estudio revela curiosidades numéricas, como la capacidad de representar números de Thabit en base 2 como sumas/diferencias de repidigitos decimales (ej. $3 \cdot 2^8 - 1 = 3 \cdot 99 + 2 \cdot 99$ ).

5. Significancia

Este trabajo es significativo porque expande el conocimiento sobre la estructura de los números de Thabit y Williams, conectándolos con la teoría de repidigitos. Al proporcionar métodos de resolución efectivos, contribuye al campo de las ecuaciones diofánticas exponenciales y ofrece una herramienta metodológica robusta para estudiar la representación de secuencias numéricas mediante dígitos repetidos en diferentes bases.