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Thabit and Williams Numbers Base $b$ as a Sum or Difference of Two $g$ -Repdigits

यह शोध पत्र उन स्थितियों की जांच करता है जिनके तहत आधार $b$ में थैबिट और विलियम्स संख्याओं को दो $g$ -रेपडिज के योग या अंतर के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जो अनंत मामलों के लिए प्राचलिक समाधान, परिमित मामलों के लिए ऊपरी सीमाएँ, और विशिष्ट समीकरणों के लिए पूर्ण समाधान प्रदान करता है।

मूल लेखक: Kouèssi Norbert Adédji, Marija Bliznac Trebješanin, Jelena Pleština

प्रकाशित 2026-02-10

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Kouèssi Norbert Adédji, Marija Bliznac Trebješanin, Jelena Pleština

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक पेशेवर ताला बनाने वाले (locksmith) हैं, लेकिन भौतिक चाबियों के बजाय, आप गणितीय प्रतिमानों (mathematical patterns) के साथ काम कर रहे हैं।

यह शोधपत्र मूल रूप से इस बात की उच्च-स्तरीय जांच है कि क्या दो बहुत ही विशिष्ट प्रकार के "संख्या प्रतिमानों" को आपस में जोड़ा जा सकता है—या तो उन्हें जोड़कर या घटाकर—ताकि एक तीसरा, बहुत ही विशिष्ट प्रतिमान बनाया जा सके।

यहाँ इस गणितीय कहानी के "पात्रों" का विवरण दिया गया है:

1. "थाबिट और विलियम्स" संख्याएँ (लक्ष्य प्रतिमान)

इन्हें "बढ़ते हुए मीनार" (The Growing Towers) के रूप में सोचें।
कल्पना कीजिए कि आप ब्लॉकों से मीनारें बना रहे हैं। एक थाबिट या विलियम्स संख्या एक ऐसी मीनार है जो बहुत ही अनुमानित और विस्फोटक तरीके से बढ़ती है। हर बार जब आप एक नया स्तर जोड़ते हैं, तो मीनार केवल ऊँची ही नहीं होती; बल्कि वह एक विशिष्ट नियम (आधार संख्या $b$ का उपयोग करके) के आधार पर आकार में भी गुणा होती है। वे एक तालाब में फैलती लहरों की एक श्रृंखला की तरह हैं—प्रत्येक लहर पिछली वाली की तुलना में बहुत बड़ी है, जो एक सख्त ज्यामितीय लय का पालन करती है।

2. "रेपडिजिट्स" (निर्माण खंड/Building Blocks)

इन्हें "एकस्वर स्वरलहरियाँ" (The Monotone Chords) समझें।
संगीत में, एक एकस्वर स्वरलहरी (monotone chord) वह है जहाँ प्रत्येक स्वर बिल्कुल एक जैसा होता है। गणित में, एक "रेपडिजिट" (repdigit) एक ऐसी संख्या है जो केवल एक ही दोहराए जाने वाले अंक से बनी होती है। उदाहरण के लिए, हमारी रोज़मर्रा की दशमलव प्रणाली (base-10) में, $777 $या$ 22,222$ रेपडिजिट्स हैं। वे "नीरस" संख्याएँ हैं क्योंकि उनमें विविधता का अभाव है, वे बस बार-बार दोहराया जाने वाला एक ही अंक हैं।

3. बड़ा प्रश्न: "क्या हम केवल दो स्वर लहरियों का उपयोग करके एक मीनार बना सकते हैं?"

गणितज्ञ पूछ रहे हैं: "क्या आप उन विशाल, विस्फोटक 'मीनारों' में से एक को ठीक से दो 'एकस्वर स्वर लहरियों' को जोड़कर या घटाकर बना सकते हैं?"

उदाहरण के लिए: क्या एक विशाल थाबिट मीनार $777 + 22$ के बराबर हो सकती है? या क्या यह $999 - 11$ हो सकती है?

उन्होंने इसे कैसे हल किया: "गणितीय सूक्ष्मदर्शी" (The Mathematical Microscope)

शोधकर्ताओं ने केवल अनुमान और परीक्षण नहीं किया। उन्होंने दो भारी-भरकम उपकरणों का उपयोग किया:

"लॉगारिदम के रैखिक रूप" (सटीकता का पैमाना - The Precision Scale): कल्पना कीजिए कि आप हाथियों के लिए बने तराजू पर रेत के एक कण को तौलने की कोशिश कर रहे हैं। यह गणितीय उपकरण उन्हें इन विशाल संख्याओं के बीच के सूक्ष्म अंतर को मापने की अनुमति देता है। यदि अंतर बहुत छोटा है या किसी निश्चित पैटर्न में फिट नहीं बैठता है, तो वे सिद्ध कर सकते हैं कि समाधान असंभव है।
"न्यूनीकरण विधि" (छलनी - The Reduction Method): यह एक विशाल छलनी की तरह है। वे संभावनाओं की एक विशाल श्रेणी (ऐसी संख्याएँ जो ब्रह्मांड को भर देंगी) से शुरुआत करते हैं और तर्क का उपयोग करके छलनी को हिलाते हैं, "असंभव" संख्याओं को पकड़ते हैं और उन्हें नीचे गिरने देते हैं, जब तक कि केवल कुछ ही संभावित उत्तर शेष न रह जाएं।

परिणाम: उन्होंने क्या पाया?

शोधपत्र तीन मुख्य निष्कर्षों पर पहुँचता है:

"अनंत अपवाद" (The Infinite Exceptions): कुछ बहुत ही विशिष्ट, "भाग्यशाली" स्थितियों में (जैसे जब आधार संख्याएँ पूरी तरह से तालमेल में हों), यह काम करने के अनंत तरीके हैं। यह एक विशेष आवृत्ति खोजने जैसा है जहाँ दो अलग-अलग वाद्य यंत्र हमेशा एक ही स्वर बजाते हैं।
"परिमितता का नियम" (The Finiteness Rule): लगभग हर अन्य मामले में, उत्तर है "नहीं, या अधिकतम, बहुत कम बार।" उन्होंने सिद्ध किया कि अधिकांश संयोजनों के लिए, आप इन प्रतिमानों को अनंत काल तक नहीं बना सकते; अंततः, "मीनारें" बहुत तेज़ी से बढ़ती हैं और "स्वर लहरियाँ" उनके साथ तालमेल नहीं रख पातीं।
"पूर्ण मानचित्र" (The Complete Map): हमारे रोज़मर्रा के नंबरों (Base 10) के लिए, उन्होंने वास्तव में काम पूरा किया। उन्होंने केवल यह नहीं कहा कि "वहाँ कुछ समाधान हैं"; उन्होंने ठीक से खोज निकाला कि वे कितने हैं और वे कैसे दिखते हैं। उन्होंने एक पूर्ण "मानचित्र" प्रदान किया कि वास्तव में कब ये प्रतिमान आपस में टकराते हैं।

एक वाक्य में सारांश:

शोधकर्ताओं ने सिद्ध किया कि जबकि ये दो प्रकार के गणितीय प्रतिमान कभी-कभी पूर्ण सामंजस्य में "हाथ मिलाते" हैं, वे अधिकतर अजनबी हैं जो लगभग कभी मेल नहीं खाते।

यह शोध पत्र, जिसका शीर्षक "Thabit and Williams numbers base $b$ as a sum or difference of two $g$ -repdigits" है, दो विशिष्ट प्रकार के पूर्णांकों के प्रतिच्छेदन की जांच करता है: सामान्यीकृत थबिट/विलियम्स संख्याएँ (generalized Thabit/Williams numbers) और एक दिए गए आधार $g$ में रिपडिजिट (repdigits)।

1. समस्या

लेखक विशिष्ट डायोफेंटाइन समीकरणों (Diophantine equations) को हल करने का प्रयास करते हैं जो निम्नलिखित गणितीय प्रश्नों का प्रतिनिधित्व करते हैं:

थबिट/विलियम्स संख्याएँ (आधार $b$ ): ये शास्त्रीय थबिट इब्न कुर्रा संख्याओं के सामान्यीकरण हैं। आधार $b$ वाली एक थबिट संख्या $(b \pm 1)b^{n \pm 1}$ के रूप में होती है, और विलियम्स संख्या आधार $b$ के लिए $(b \pm 1)b^{n \pm 1}$ के रूप में होती है।
$g$ -रिपडिजिट (g-Repdigits): एक पूर्णांक $g$ -रिपडिजिट कहलाता यदि आधार $g$ में उसके सभी अंक समान हों। गणितीय रूप से, एक $g$ -रिपडिजिट $N$ को $N = d \frac{g^m - 1}{g - 1}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहाँ $d \in \{1, \dots, g-1\}$ है।

मुख्य उद्देश्य निम्नलिखित समीकरणों के लिए सभी पूर्णांक समाधान $(d_1, d_2, l, m, n)$ खोजना है:

$(b \pm 1)b^{n \pm 1} = d_1 \left(\frac{g^l - 1}{g - 1}\right) + d_2 \left(\frac{g^m - 1}{g - 1}\right)$ (दो रिपडिजिट का योग)
$(b \pm 1)b^{n \pm 1} = d_1 \left(\frac{g^l - 1}{g - 1}\right) - d_2 \left(\frac{g^m - 1}{g - 1}\right)$ (दो रिपडिजिट का अंतर)

2. कार्यप्रणाली

यह शोध पत्र कई उन्नत तकनीकों को शामिल करते हुए एक कठोर संख्या-सिद्धांत (number-theoretic) दृष्टिकोण अपनाता है:

लॉगैरिदम के रैखिक रूप (Linear Forms in Logarithms): लेखक बेकर के सिद्धांत (विशेष रूप से लेम्मा 5, जो माटवेव के प्रमेय का एक संस्करण है) का उपयोग करके घातांकों $n, l,$ और $m$ के लिए प्रभावी ऊपरी सीमाएँ (effective upper bounds) प्राप्त करते हैं। यह एक अनंत खोज स्थान (search space) को एक परिमित (finite) स्थान में बदल देता है।
न्यूनीकरण विधि (Reduction Method): चूँकि बेकर के सिद्धांत द्वारा प्रदान की गई प्रारंभिक ऊपरी सीमाएँ अत्यधिक विशाल (लगभग $10^{29}$ के क्रम में) होती हैं, इसलिए लेखक इन सीमाओं को गणनात्मक रूप से प्रबंधनीय सीमा तक कम करने के लिए बेकर-डेवनपोर्ट न्यूनीकरण विधि (कंटीन्यूड फ्रैक्शंस और लेम्मा 7 का उपयोग करके) लागू करते हैं।
मामला विश्लेषण (Case Analysis): लेखक उन मामलों के बीच अंतर करते हैं जहाँ समीकरण अनंत समाधान (पैरामीट्रिक समाधान) देते हैं और उन मामलों के बीच जहाँ वे केवल परिमित समाधान देते हैं।
संगणनात्मक सत्यापन (Computational Verification): विशिष्ट व्यावहारिक मामलों के लिए (जैसे, $g=10$ और $2 \le b \le 12$ ), लेखक न्यूनीकरण एल्गोरिदम को लागू करने और शेष सभी उम्मीदवारों की गहन जाँच करने के लिए Wolfram Mathematica का उपयोग करते हैं।

3. मुख्य योगदान और परिणाम

यह शोध पत्र समाधानों का पूर्ण वर्गीकरण प्रदान करता है:

अनंत परिवार (प्रपोजिशन 1 और 2): लेखक $b$ और $g$ के बीच विशिष्ट संबंधों (जैसे $b=2$ और $g=2^k$ ) की पहचान करते हैं जहाँ समीकरणों के पास अनंत समाधान होते हैं। वे इन समाधानों के लिए स्पष्ट पैरामीट्रिक रूप प्रदान करते हैं।
परिमितता प्रमेय (थ्योरम 3 और 4): वे सिद्ध करते हैं कि अनंत परिवारों के बाहर, योग और अंतर दोनों समीकरणों के लिए समाधानों की संख्या हमेशा परिमित होती है। वे सूचकांकों $n, l,$ और $m$ के लिए स्पष्ट (यद्यपि बड़े) सैद्धांतिक ऊपरी सीमाएँ प्रदान करते हैं।
पूर्ण संख्यात्मक समाधान (थ्योरम 13 और 19):
- दो दशमलव रिपडिजिट ( $g=10$ ) के योग के लिए और $2 \le b \le 12$ के लिए, वे सिद्ध करते हैं कि $n \ge 1$ के साथ ठीक 164 समाधान हैं।
- दो दशमलव रिपडिजिट ( $g=10$ ) के अंतर के लिए और $2 \le b \le 12$ के लिए, वे सिद्ध करते हैं कि $n \ge 1$ के साथ ठीक 160 समाधान हैं।
- वे इन निरूपणों के विशिष्ट उदाहरण प्रदान करते हैं (उदाहरण के लिए, एक थबिट संख्या को दशमलव रिपडिजिट के संयोजन के रूप में व्यक्त करना)।

4. महत्व

यह शोध डायोफेंटाइन समीकरणों और संख्या अनुक्रमों के अंकगणितीय गुणों के व्यापक क्षेत्र में योगदान देता है। जबकि थबिट और विलियम्स संख्याओं का पारंपरिक रूप से उनकी अभाज्यता (primality) के लिए अध्ययन किया जाता है, यह शोध पत्र विभिन्न आधारों में उनके योगात्मक/वियोगात्मक संरचना (additive/subtractive structure) पर ध्यान केंद्रित करता है।

इसकी कार्यप्रणाली अन्य अनुक्रमों (जैसे फाइबोनैची या लुकास संख्या) और रिपडिजिट से संबंधित समान समस्याओं को हल करने के लिए एक मजबूत टेम्पलेट के रूप में कार्य करती है। सैद्धांतिक सीमाओं और व्यापक संख्यात्मक सूचियों दोनों को प्रदान करके, यह शोध पत्र अमूर्त संख्या सिद्धांत और संगणनात्मक गणित के बीच के अंतर को पाटता है।