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Thabit and Williams Numbers Base $b$ as a Sum or Difference of Two $g$ -Repdigits

이 논문은 임의의 진법 $b$ 에 대하여 타비트(Thabit) 수와 윌리엄스(Williams) 수가 두 $g$ -반복수(repdigit)의 합 또는 차로 표현될 수 있는 경우를 조사하여, 특정 조건에서의 무한한 해의 매개변수적 해법과 나머지 경우에 대한 유한한 해의 상한선을 제시합니다.

원저자: Kouèssi Norbert Adédji, Marija Bliznac Trebješanin, Jelena Pleština

게시일 2026-02-10

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CC BY 4.0

원저자: Kouèssi Norbert Adédji, Marija Bliznac Trebješanin, Jelena Pleština

원본 논문은 CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) 라이선스로 제공됩니다. ✨ 이것은 아래 논문에 대한 AI 생성 설명입니다. 저자가 작성하거나 승인한 것이 아닙니다. 기술적 정확성을 위해서는 원본 논문을 참조하세요. 전체 면책 조항 읽기

🧩 제목: "특수한 숫자들로 만드는 완벽한 숫자 퍼즐"

1. 주인공 소개: '태빗(Thabit)'과 '윌리엄스(Williams)' 숫자

먼저 이 퍼즐에 등장하는 주인공들을 알아야 합니다. 이들은 아주 규칙적인 성격을 가진 **'특수 숫자 가족'**입니다.

태빗 숫자: 마치 일정한 간격으로 툭툭 튀어나오는 계단처럼, 특정 공식( $3 \cdot 2^{n-1}$ 등)에 의해 만들어지는 아주 정직한 숫자들입니다.
윌리엄스 숫자: 태빗 숫자와 비슷하지만, 약간의 변형을 준 또 다른 규칙적인 숫자 가족입니다.

이들은 수학자들에게 "이 숫자들 중에 소수(Prime number, 더 이상 나눠지지 않는 순수한 숫자)가 어디에 숨어 있을까?"라는 숙제를 던져주는 아주 매력적인 숫자들입니다.

2. 미션: "레프디지트(Repdigit)라는 블록으로 조립하기"

이 논문의 진짜 목적은 이 특수한 숫자들을 **'레프디지트(Repdigit)'**라는 블록 두 개를 더하거나 빼서 만들 수 있는지 찾아내는 것입니다.

레프디지트란? 이름 그대로 '반복되는 숫자'입니다. 예를 들어 10진법에서는 111, 222, 555처럼 똑같은 숫자가 줄지어 있는 숫자들을 말하죠.
비유하자면: 여러분에게 아주 특이한 모양의 레고 블록(태빗/윌리엄스 숫자)이 하나 있습니다. 이 미션은 **"똑같은 모양의 블록 두 개(레프디지트)를 이어 붙이거나(더하기), 하나를 떼어내서(빼기) 그 특이한 모양을 똑같이 만들 수 있는가?"**를 찾는 것입니다.

3. 연구 내용: "무한한 가능성 vs 유한한 정답"

수학자들은 이 퍼즐을 풀면서 두 가지 상황을 발견했습니다.

상황 A (무한한 정답): 어떤 특정한 조건(예: 밑수가 2인 경우 등)에서는 이 퍼즐을 맞출 수 있는 방법이 무한히 많습니다. 마치 레고 블록을 계속 길게 이어 붙이면 계속해서 똑같은 모양을 만들 수 있는 것과 같습니다.
상황 B (유한한 정답): 하지만 대부분의 경우, 이 퍼즐을 맞출 수 있는 방법은 **아주 제한적(유한함)**입니다. 아무리 열심히 블록을 조합해도 정답은 몇 개 안 된다는 뜻이죠.

4. 연구 방법: "거대한 그물망 던지기"

이 논문은 이 정답들을 어떻게 찾아냈을까요? 수학자들은 **'로그(Logarithm)'**라는 아주 강력한 도구와 **'상한선(Upper bound)'**이라는 개념을 사용했습니다.

비유: 정답이 어디 있는지 모를 때, 수학자들은 "정답은 절대로 이 거대한 운동장 밖에는 없다!"라는 **거대한 울타리(상한선)**를 먼저 칩니다.
논문을 보면 2.71 · 10^29 같은 어마어마하게 큰 숫자들이 나오는데, 이것이 바로 "정답이 이 숫자보다는 작다"라고 선언하는 울타리입니다. 이 울타리를 친 다음, 그 안에서 컴퓨터와 정교한 계산법을 동원해 숨어있는 정답들을 하나하나 낚아 올린 것입니다.

5. 결론: "퍼즐의 지도 완성"

결국 이 논문은 다음과 같은 성과를 냈습니다.

언제 무한히 많은 정답이 나오는지 그 규칙을 완벽하게 정리했습니다.
그 외의 경우에는 정답이 몇 개 안 된다는 것을 증명했습니다.
특히 우리가 흔히 쓰는 10진법(g=10) 환경에서, 태빗이나 윌리엄스 숫자를 레프디지트 두 개로 만들 수 있는 실제 정답 리스트를 싹 다 찾아냈습니다.

💡 한 줄 요약

"특정한 규칙을 가진 숫자(태빗/윌리엄스)를, 똑같은 숫자가 반복되는 블록(레프디지트) 두 개를 더하거나 빼서 만들 수 있는지 조사하여, 그 정답이 무한한 경우와 딱 몇 개뿐인 경우를 완벽하게 분류해낸 연구"입니다.

1. 연구 문제 (Problem Statement)

본 논문은 정수론의 디오판토스 방정식(Diophantine equations) 문제를 다룹니다. 구체적으로, Thabit 수(base $b$ ) 또는 **Williams 수(base $b$ )**가 두 개의 $g$ -repdigit(모든 자릿수가 동일한 수)의 합 또는 차로 표현될 수 있는 경우를 조사합니다.

Thabit 수 (base $b$ ): $(b+1)b^{n-1}$ 또는 $(b+1)b^{n+1}$ 형태의 수.
Williams 수 (base $b$ ): $(b-1)b^{n \pm 1}$ 형태의 수.
$g$ -repdigit: 모든 자릿수가 $a \in \{1, 2, \dots, g-1\}$ 로 동일한 수, 즉 $a(\frac{g^m-1}{g-1})$ 형태.

연구의 핵심 질문은 다음 두 방정식의 정수해 $(d_1, d_2, l, m, n)$ 를 찾는 것입니다:

$(b \pm 1)b^{n \pm 1} = d_1(\frac{g^l-1}{g-1}) + d_2(\frac{g^m-1}{g-1})$ (합의 경우)
$(b \pm 1)b^{n \pm 1} = d_1(\frac{g^l-1}{g-1}) - d_2(\frac{g^m-1}{g-1})$ (차의 경우)

2. 연구 방법론 (Methodology)

저자들은 초월수론(Transcendental number theory)의 강력한 도구들을 사용하여 유한한 해의 범위를 결정하고, 실제 해를 찾는 방식을 채택했습니다.

선형 로그 형식 (Linear Forms in Logarithms): Baker의 이론을 기반으로 한 Lemma 5를 사용하여, 변수들( $l, m, n$ )에 대한 상한(upper bounds)을 도출했습니다. 이는 방정식의 해가 무한하지 않음을 증명하는 핵심 단계입니다.
축소법 (Reduction Method): 도출된 상한값이 매우 크기 때문에(약 $10^{29}$ 이상), 이를 실질적으로 계산 가능한 범위로 줄이기 위해 Baker-Davenport 축소법과 Lemma 7(연분수 이용)을 사용했습니다.
Wolfram Mathematica 활용: 계산된 상한을 바탕으로 알고리즘을 구현하여, 특정 조건( $g=10$ , $2 \le b \le 12$ ) 하에서 모든 가능한 해를 전수 조사했습니다.

3. 주요 기여 및 결과 (Key Contributions & Results)

가. 무한해와 유한해의 구분 (Proposition 1 & 2)

특정 $b$ 와 $g$ 의 관계에서는 방정식이 무한히 많은 해를 가질 수 있음을 파라메트릭 솔루션(parametric solutions)을 통해 증명했습니다. (예: $b=2, g=2^k$ 인 경우 등)

나. 유한한 해의 상한 설정 (Theorem 3 & 4)

무한해가 발생하는 특수 사례를 제외하면, 모든 해는 유한하며 그 크기에 대한 구체적인 상한을 제시했습니다.

$n$ 의 상한은 대략 $2 \cdot 10^{29} \log^3 g \log^2 b \log^2(\max\{b, g\})$ 수준입니다.

다. 특정 조건에서의 완전한 해 도출 (Theorem 13 & 19)

가장 실용적인 사례인 10진법( $g=10$ ) 환경에서 $b$ 가 2부터 12 사이일 때의 해를 완벽하게 분류했습니다.

합의 경우 ( $g=10, 2 \le b \le 12$ ): 무한한 해의 가족을 제외하고, $n \ge 1$ 인 해는 정확히 164개 존재합니다.
차의 경우 ( $g=10, 2 \le b \le 12$ ): $n \ge 1$ 인 해는 정확히 160개 존재합니다.

4. 연구의 의의 (Significance)

수론적 확장: 기존에 소수(prime) 여부에 집중되었던 Thabit 및 Williams 수 연구를 '자릿수 표현(repdigit representation)'이라는 새로운 관점으로 확장했습니다.
방법론적 엄밀성: 매우 큰 상한을 다루는 복잡한 디오판토스 방정식을 선형 로그 형식과 축소법을 결합하여 성공적으로 해결하는 정교한 계산적 접근법을 보여주었습니다.
완전한 분류: 단순히 해의 존재를 증명하는 것에 그치지 않고, 특정 범위 내에서 모든 해를 명시적으로 찾아냄으로써 수론적 분류를 완성했습니다.