The sesquicentennial of the prime number $2^{127} - 1$

رحلة البحث عن الأرقام العظيمة: قصة الأعداد الأولية، والألغاز، ورقعة الشطرنج

تخيل أنك محقق يحاول العثور على نوع خاص جداً من الأرقام يسمى "العدد الأولي". هذه الأعداد هي اللبنات الأساسية لكل الرياضيات، وهي أعداد لا تقبل القسمة إلا على نفسها وعلى الرقم 1 فقط. لقرون مضت، كان علماء الرياضيات مهووسين بالعثور على أكبر الأعداد الأولية وأكثرها مراوغة، ليس فقط لصعوبة إيجادها، بل لأنها تحمل أسراراً حول كيفية عمل الأرقام. وللعثور عليها، يتعين عليك عادةً لعب لعبة "التجربة والخطأ"، عبر التحقق مما إذا كان الرقم يمكن تقسيمه على أرقام أصغر واحداً تلو الآخر. ولكن بالنسبة للأرقام الضخمة حقاً، فإن هذا يشبه محاولة عد كل حبة رمل على الشاطئ عبر التقاطها واحدة تلو الأخرى؛ إذ سيستغرق الأمر وقتاً أطول من عمر الكون نفسه!

تخبرنا هذه الورقة قصة عالم رياضيات فرنسي عبقري يدعى إدوارد لوكاس، الذي وجد في عام 1876 طريقة لتجاوز لعبة العد المملة. لم يكتفِ لوكاس بإيجاد عدد أولي ضخم فحسب، بل ابتكر اختصاراً ذكياً، "خدعة سحرية" رياضية يمكنها إثبات أن الرقم أولي دون الحاجة للتحقق من كل قاسم له. تحتفي هذه الورقة بالذكرى الـ150 لهذا الاكتشاف، وتشرح كيف استخدم لوكاس رقعة شطرنج ونمطاً معيناً من الأرقام لحل لغز بدا مستحيلاً. واليوم، تستخدم الحواسيب نفس المنطق الذي اكتشفه لوكاس للعثور على أكبر الأعداد الأولية في العالم، مما يثبت أن فكرة من القرن التاسع عشر لا تزال هي المحرك الذي يقود الرياضيات الحديثة.

---

عملاق الـ 39 رقماً وساحر رقعة الشطرنج

يمثل عام 2026 عيد ميلاد كبيراً لرقم خاص جداً وهو: M127، والذي يُكتب بصيغة 2¹²⁷ − 1. إذا كتبت هذا الرقم، فسيظهر كسلسلة طويلة من الأرقام: 170,141,183,460,469,231,731,687,303,715,884,105,727. هذا رقم مكون من 39 رقماً، وفي عام 1876، أثبت إدوارد لوكاس أنه عدد أولي. كان هذا حدثاً هائلاً؛ فلقد ظل لأكثر من 75 عاماً أكبر عدد أولي معروف في العالم بأكمله. والأكثر إذهالاً هو أن لوكاس فعل ذلك دون حاسوب، أو آلة حاسبة، أو أي مساعدة ميكانيكية. لقد فعل ذلك يدوياً بالكامل، وبطريقة تشبه العروض السحرية.

كان لوكاس رجلاً متعدد المواهب؛ فقد اخترع لغز "برج هانوي" الشهير، وابتكر حتى لعبة "النقاط والمربعات". لكن أشهر خدعه كانت الطريقة التي أثبت بها أن M127 عدد أولي. عادةً، لإثبات أن رقماً ما أولي، يجب عليك التحقق مما إذا كان يقبل القسمة على أرقام أصغر. لكن M127 كبير جداً لدرجة أن القيام بذلك سيستغرق للأبد. بدلاً من ذلك، استخدم لوكاس متتالية خاصة من الأرقام اكتشفها، وأطلق عليها اسم "متتالية لوكاس" (نسبة إليه بالطبع). فكر في هذه المتتالية كعائلة من الأرقام التي تنمو وفق نمط محدد، يشبه نمو أرقام فيبوناتشي الشهيرة، ولكن مع لمسة مختلفة.

أدرك لوكاس أنه إذا أخذت رقماً معيناً من هذه المتتالية وقسمته على M127، فإن النتيجة يجب أن تكون صفراً إذا كان M127 أولياً. ما المشكلة؟ الرقم الذي كان يحتاج للتحقق منه كان ضخماً جداً لدرجة أنه تجاوز 100 رقم! كان أكبر بكثير من أن يُكتب أو يُحسب على الورق. لذا، حول لوكاس غرفة معيشته إلى لوحة لعب. استخدم رقعة شطرنج بمقاس 127 × 127 للقيام بالعمليات الحسابية.

إليك كيف كانت تعمل "لعبته": استخدم قطع الشطرنج لتمثيل الرقم 1 والمربعات الفارغة لتمثيل الرقم 0. كان يرتب القطع على الرقعة لإظهار الرقم الذي يعمل عليه، حيث يقوم بتشفير الرقم بنظام ثنائي (Binary). ثم يتبع مجموعة من القواعد لتحريك القطع، مما يؤدي فعلياً إلى "تربيع" الرقم وتقليص حجمه، تماماً كما تفعل الحواسيب. لم يكتب أي شيء؛ بل كان يكتفي بتحريك القطع فقط. بعد حوالي 120 جولة من تحريك القطع وتربيع الأرقام، تحقق من الصف الأخير. إذا اصطفت القطع بشكل صحيح (بمعنى أن النتيجة كانت صفراً)، فإن M127 هو بالتأكيد عدد أولي. وقد كان كذلك بالفعل! لقد أثبت ذلك دون أن يكتب رقماً واحداً على ورقة.

المحرك الحديث: من رقعة الشطرنج إلى الحواسيب الفائقة

توضح الورقة أن طريقة لوكاس لم تكن مجرد خدعة لمرة واحدة، بل أصبحت الأساس لكيفية إيجاد أكبر الأعداد الأولية اليوم. تُعرف هذه الطريقة الآن باسم اختبار لوكاس-ليمر (Lucas–Lehmer test). وبينما كان لوكاس يستخدم قطع الشطرنج، تستخدم الحواسيب الحديثة هذا الاختبار نفسه للعثور على أعداد أولية تحتوي على عشرات الملايين من الأرقام. صاحب الرقم القياسي الحالي، الذي عُثر عليه في أكتوبر 2024، هو رقم يحتوي على 41,024,320 رقماً عشرياً. هذا رقم طويل جداً لدرجة أن الإنسان قد يستغرق سنوات لمجرد قراءته بصوت عالٍ!

السر الكامن وراء هذا الاختبار هو أداة رياضية خاصة تسمى كثير حدود تشيبيشيف (Chebyshev polynomial). يمكنك التفكير في هذا "الكثير الحدود" كآلة تأخذ رقماً، ترفعه للقوة الثانية (تربعه)، ثم تطرح منه 2. إذا أدخلت الرقم 4 في هذه الآلة وكررت العملية مراراً وتكراراً، ستحصل على متتالية من الأرقام: 4، 14، 194، 37,634، وهكذا. يقول اختبار لوكاس-ليمر إنه إذا أخذت عدداً أولياً p، وحسبت الرقم رقم (p-2) في هذه المتتالية، وكان يقسم 2ᵖ − 1 قسمة تامة، فإن 2ᵖ − 1 هو عدد أولي.

تستعرض الورقة الرياضيات لتوضيح سبب نجاح ذلك. يتضمن الأمر جزءاً من عالم الأرقام "التخيلية" (المعروفة بالحقول المنتهية - finite fields) حيث تدور الأرقام مثل الساعة. توضح المؤلفة أن هذه العملية تشبه تدوير عجلة في دائرة خاصة. إذا دارت العجلة العدد الصحيح من المرات وهبطت بالضبط على نقطة محددة، فإن ذلك يثبت أن الرقم أولي. الرياضيات هنا دقيقة وتم فحصها وإعادة فحصها مراراً، لذا نحن نعلم بيقين مطلق أن هذا الاختبار صحيح.

لماذا يهمنا هذا؟

تختتم الورقة بتذكيرنا بأنه بينما تغيرت الأدوات، فإن الرياضيات لم تتغير. في عام 1876، حرك إدوارد لوكاس قطع الشطرنج لإثبات أن رقماً مكوناً من 39 خانة هو عدد أولي. والي اليوم، تستخدم الحواسيب الفائقة في "البحث العالمي عن أعداد ميرسين الأولية" (GIMPS) نفس الخوارزمية تماماً للعثور على أعداد أولية تضم ملايين الأرقام. إن العلاقة بين تربيع الأرقام، وكثير الحدود الخاص x² − 2، وطريقة سلوك الأرقام في هذه الحقول المنتهية، هي المحرك الذي يدفع كلاً من رقعة شطرنج لوكاس واكتشافاتنا الرقمية الحديثة.

إنه تذكير جميل بأن فكرة ذكية من القرن التاسع عشر لا تزال قادرة على تشغيل أكثر التقنيات تقدماً في القرن الحادي والعشرين. لم يجد لوكاس مجرد رقم، بل وجد طريقة لرؤية البنية الخفية للأرقام، وهي طريقة لا تزال تُستخدم لدفع حدود ما نعرفه عن الرياضيات اليوم. وكل هذا بدأ بعالم فرنسي، ورقعة شطرنج، وعقل فضولي للغاية.