The sesquicentennial of the prime number $2^{127} - 1$

महान संख्या खोज: अभाज्य संख्याओं, पहेलियों और शतरंज के बोर्ड की एक कहानी

कल्पना कीजिए कि आप एक जासूस हैं जो एक बहुत ही विशेष प्रकार की संख्या खोजने की कोशिश कर रहे हैं जिसे "अभाज्य" (प्राइम) कहा जाता है। ये गणित के निर्माण खंड (building blocks) हैं, ऐसी संख्याएँ जो केवल 1 और स्वयं से ही पूरी तरह विभाजित हो सकती हैं। सदियों से, गणितज्ञ सबसे बड़ी, सबसे मायावी अभाज्य संख्याओं को खोजने के लिए जुनूनी रहे हैं, न केवल इसलिए कि उन्हें खोजना कठिन है, बल्कि इसलिए भी क्योंकि वे इस बारे में रहस्य रखती हैं कि संख्याएँ कैसे काम करती हैं। उन्हें खोजने के लिए, आपको आमतौर पर "परीक्षण और त्रुटि" (trial and error) का खेल खेलना पड़ता है, जिसमें यह जाँच की जाती है कि क्या एक संख्या छोटी संख्याओं द्वारा विभाजित हो सकती है। लेकिन वास्तव में विशाल संख्याओं के लिए, यह समुद्र के किनारे रेत के हर कण को एक-एक करके उठाने की कोशिश करने जैसा है—इसमें ब्रह्मांड के अस्तित्व से भी अधिक समय लग जाएगा!

यह लेख एडुआर्ड लुकास नामक एक प्रतिभाशाली फ्रांसीसी गणितज्ञ की कहानी बताता है, जिन्होंने 1876 में, एक तरीका खोजा जिससे इस उबाऊ गिनती के खेल को छोड़ा जा सके। उन्होंने न केवल एक विशाल अभाज्य संख्या खोजी; बल्कि उन्होंने एक चतुर शॉर्टकट, एक गणितीय "जादुई ट्रिक" का आविष्कार किया जो बिना हर विभाजक की जाँच किए यह सिद्ध कर सकता था कि एक संख्या अभाज्य है। यह शोध पत्र इस खोज की 150वीं वर्षगांठ का उत्सव मनाता है और बताता है कि कैसे लुकास ने एक शतरंज के बोर्ड और संख्याओं के एक विशिष्ट पैटर्न का उपयोग करके उस पहेली को हल किया जो असंभव लग रही थी। आज, कंप्यूटर उसी तर्क का उपयोग करते हैं जिसे लुकास ने खोजा था ताकि दुनिया की सबसे बड़ी ज्ञात अभाज्य संख्याओं को खोजा जा सके, जो यह सिद्ध करता है कि 19वीं सदी का एक विचार आज भी आधुनिक गणित को चलाने वाला इंजन है।

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39-अंकों का दैत्य और शतरंज का जादूगर

वर्ष 2026 एक बहुत ही विशेष संख्या का जन्मदिन है: M127, जिसे 2¹²⁷ − 1 के रूप में लिखा जाता है। यदि आप इस संख्या को लिखें, तो यह अंकों की एक लंबी श्रृंखला की तरह दिखेगी: 170,141,183,460,469,231,731,687,303,715,884,105,727। यह 39-अंकों की संख्या है, और 1876 में, एडुआर्ड लुकास ने सिद्ध किया कि यह एक अभाज्य संख्या है। यह एक बहुत बड़ी उपलब्धि थी। 75 वर्षों तक, यह पूरी दुनिया की सबसे बड़ी ज्ञात अभाज्य संख्या रही। इससे भी अधिक आश्चर्यजनक बात यह है कि लुकास ने यह बिना किसी कंप्यूटर, कैलकुलेटर या किसी यांत्रिक सहायता के किया। उन्होंने यह पूरी तरह से अपने हाथों से किया, और उन्होंने इसे इस तरह से किया जो एक जादू के शो जैसा लगता है।

लुकास कई प्रतिभाओं के धनी थे। उन्होंने प्रसिद्ध "टावर ऑफ हनोई" पहेली का आविष्कार किया और यहाँ तक कि "डॉट्स एंड बॉक्सेस" गेम भी बनाया। लेकिन उनकी सबसे प्रसिद्ध ट्रिक वह थी जिससे उन्होंने सिद्ध किया कि M127 अभाज्य है। आमतौर पर, किसी संख्या को अभाज्य सिद्ध करने के लिए, आपको यह जाँचना होता है कि क्या वह छोटी संख्याओं से विभाजित हो सकती है। लेकिन M127 इतनी बड़ी है कि ऐसा करने में अनंत समय लगेगा। इसके बजाय, लुकास ने संख्याओं के एक विशेष अनुक्रम (sequence) का उपयोग किया जिसे उन्होंने "लुकास अनुक्रम" (उनके नाम पर) कहा। इस अनुक्रम को संख्याओं के एक परिवार की तरह समझें जो एक विशिष्ट पैटर्न में बढ़ते हैं, ठीक वैसे ही जैसे प्रसिद्ध फाइबोनैची संख्याएँ बढ़ती हैं, लेकिन एक ट्विस्ट के साथ।

लुकास ने महसूस किया कि यदि आप इस अनुक्रम से एक विशिष्ट संख्या लेते हैं और उसे M127 से विभाजित करते हैं, तो यदि M127 अभाज्य है, तो परिणाम शून्य होना चाहिए। समस्या क्या थी? जिस संख्या को उन्हें जाँचने की आवश्यकता थी वह इतनी विशाल थी कि उसमें 100 से अधिक अंक थे! वह लिखने या कागज पर गणना करने के लिए बहुत बड़ी थी। इसलिए, लुकास ने अपने लिविंग रूम को एक गेम बोर्ड में बदल दिया। उन्होंने गणित करने के लिए एक 127 × 127 के शतरंज के बोर्ड का उपयोग किया।

उनका यह "खेल" कैसे काम करता था: उन्होंने संख्या 1 को दर्शाने के लिए शतरंज के प्यादों का उपयोग किया और 0 को दर्शाने के लिए खाली खानों का। वे बोर्ड पर प्यादों को व्यवस्थित करके उस संख्या को प्रदर्शित करते थे जिस पर वे काम कर रहे थे, यानी संख्या को बाइनरी (binary) में एनकोड करते थे। फिर, वे प्यादों को इधर-उधर घुमाने के नियमों का पालन करते, जो प्रभावी रूप से संख्या को "वर्ग" (square) करने और उसे छोटा करने का काम करता था, ठीक वैसे ही जैसे एक कंप्यूटर करता है। उन्होंने कुछ भी लिखा नहीं; वे बस प्यादों को हिलाते रहे। प्यादों को हिलाने और संख्याओं के वर्ग करने के लगभग 120 राउंड के बाद, उन्होंने अंतिम पंक्ति की जाँच की। यदि प्यादे बिल्कुल सही तरीके से व्यवस्थित थे (जिसका अर्थ था कि परिणाम शून्य था), तो M127 निश्चित रूप से अभाज्य था। और वह था! उन्होंने बिना कागज पर एक भी अंक लिखे इसे सिद्ध कर दिया।

आधुनिक इंजन: शतरंज के बोर्ड से सुपरकंप्यूटर तक

शोध पत्र बताता है कि लुकास की विधि केवल एक बार की ट्रिक नहीं थी; यह आज सबसे बड़ी अभाज्य संख्याओं को खोजने के तरीके का आधार बन गई। इस विधि को अब लुकास-लेमर टेस्ट (Lucas–Lehmer test) कहा जाता है। जबकि लुकास ने इसे प्यादों के साथ किया था, आधुनिक कंप्यूटर इसी परीक्षण का उपयोग करोड़ों अंकों वाली अभाज्य संख्याओं को खोजने के लिए करते हैं। वर्तमान रिकॉर्ड धारक, जो अक्टूबर 2024 में पाया गया था, वह एक ऐसी संख्या है जिसमें 41,024,320 दशमलव अंक हैं। यह एक ऐसी संख्या है जो इतनी लंबी है कि इसे ज़ोर से पढ़ने में एक इंसान को कई साल लग जाएंगे!

इस परीक्षण के पीछे का असली रहस्य एक विशेष गणितीय उपकरण है जिसे चेबिशेव बहुपद (Chebyshev polynomial) कहा जाता है। आप इस बहुपद को एक मशीन के रूप में सोच सकते हैं जो एक संख्या लेती है, उसका वर्ग करती है और 2 घटा देती है। यदि आप इस मशीन में संख्या 4 डालते हैं और इस प्रक्रिया को बार-बार दोहराते हैं, तो आपको संख्याओं का एक अनुक्रम प्राप्त होता है: 4, 14, 194, 37,634, इत्यादि। लुकास-लेमर टेस्ट कहता है कि यदि आप एक अभाज्य संख्या p लेते हैं, इस अनुक्रम की (p-2)-वीं संख्या की गणना करते हैं, और यह 2ᵖ − 1 से पूरी तरह विभाजित होती है, तो 2ᵖ − 1 एक अभाज्य संख्या है।

लेख यह समझाने के लिए गणित का विवरण देता है कि यह क्यों काम करता है। इसमें "काल्पनिक" संख्या जगत (जिसे फाइनाइट फील्ड्स कहा जाता है) का थोड़ा हिस्सा शामिल है जहाँ संख्याएँ घड़ी की तरह घूमती हैं। लेखक दिखाता है कि यह प्रक्रिया एक विशेष वृत्त में पहिए को घुमाने की तरह है। यदि पहिया सही संख्या में घूमता है और ठीक एक विशिष्ट स्थान पर रुकता है, तो यह सिद्ध करता है कि संख्या अभाज्य है। गणित कठोर है और इसकी बार-बार जाँच की गई है, इसलिए हम पूर्ण निश्चितता के साथ जानते हैं कि यह परीक्षण सही है।

यह क्यों महत्वपूर्ण है

लेख इस बात की याद दिलाते हुए समाप्त होता है कि भले ही उपकरण बदल गए हों, लेकिन गणित नहीं बदला है। 1876 में, एडुआर्ड लुकास ने 39-अंकों की संख्या को अभाज्य सिद्ध करने के लिए शतरंज के बोर्ड पर प्यादे चलाए थे। आज, "ग्रेट इंटरनेट मेरसेन प्राइम सर्च" (GIMPS) में सुपरकंप्यूटर लाखों अंकों वाली अभाज्य संख्याओं को खोजने के लिए बिल्कुल उसी एल्गोरिदम को चलाते हैं। संख्याओं के वर्ग करने, विशेष बहुपद x² − 2, और इन फाइनाइट फील्ड्स में संख्याओं के व्यवहार के बीच का संबंध ही वह इंजन है जो लुकास के शतरंज के बोर्ड और हमारे आधुनिक डिजिटल खोजों, दोनों को चलाता है।

यह एक सुंदर अनुस्मारक है कि 19वीं सदी का एक चतुर विचार अभी भी 21वीं सदी की सबसे उन्नत तकनीक को शक्ति दे सकता है। लुकास ने केवल एक संख्या नहीं खोजी; उन्होंने संख्याओं की छिपी हुई संरचना को देखने का एक तरीका खोजा, एक ऐसा तरीका जिसका उपयोग आज भी गणित की सीमाओं को आगे बढ़ाने के लिए किया जा रहा है। और यह सब एक फ्रांसीसी गणितज्ञ, एक शतरंज के बोर्ड और एक बहुत ही जिज्ञासु मस्तिष्क से शुरू हुआ।