Physics-Informed Classical and Quantum Neural Networks for One-Dimensional Schrodinger Eigenvalue Problems

في قلب فهمنا للكون يكمن تحدٍ واحد وعنيد: التنبؤ بكيفية تحرك الجسيمات الدقيقة مثل الإلكترونات واستقرارها حول الذرات. في عالم الأشياء المتناهية الصغر، لا تتبع الجسيمات مسارات سلسة ومتوقعة مثل الكواكب أو كرات البيسبول، بل توجد كموجات من الاحتمالات، توصف بقاعدة رياضية تُعرف باسم معادلة شرودنجر. تخبرنا هذه القاعدة بالضبط أين يُحتمل العثور على الجسيم وما مقدار الطاقة التي يحملها، لكن حلها أمر صعب للغاية. بالنسبة للحالات المثالية البسيطة، عرف العلماء الإجابات منذ قرابة قرن من الزمان، ولكن بالنسبة للأنظمة المعقدة والفوضوية التي تشكل المادة الحقيقية، تصبح المعادلات متشابكة للغاية لدرجة أن أقوى الحواسيب الفائقة تجد صعوبة في إيجاد حل لها. وهنا يأتي دور جيل جديد من الأدوات التي تتدخل، مستعيرةً أفكاراً من الذكاء الاصطناعي لفك تشابك فيزياء العالم دون الذري.

لقد اختبر باحثون من باكستان والمكسيك مؤخراً أداتين من هذه الأدوات الجديدة على ثلاث مشكلات كلاسيكية تعمل كساحة تدريب لأي برنامج حل جديد. أرادوا معرفة ما إذا كان برنامج حاسوبي قياسي وبرنامج حاسوبي كمومي متخصص يمكنهما كلاهما تعلم حل معادلة شرودنجر دون تغذيتهما بمثال واحد للإجابة الصحيحة. وبدلاً من حفظ البيانات، تم تعليم هذه البرامج قوانين الفيزياء مباشرة؛ حيث أُعطيت قواعد اللعبة — المعادلة التي تحكم سلوك الجسيم، وشرط وجوب وجود الجسيم في مكان ما في الفضاء، وقاعدة عدم تداخل حالات الطاقة المختلفة — وطُلب منها استنتاج الباقي. كان الهدف هو معرفة ما إذا كانت هذه الشبكات "المستنيرة بالفيزياء" قادرة على إيجاد مستويات الطاقة الدقيقة وأشكال الموجات لجسيم محبوس في صندوق أو يتحرك في منحنى سلس، مع مطابقة الإجابات المعروفة بدقة عالية.

ركز الفريق على ثلاثة سيناريوهات محددة يستخدمها الفيزيائيون لاختبار أساليبهم. الأول كان المتذبذب التوافقي (harmonic oscillator)، وهو نموذج لجسيم يرتد ذهاباً وإياباً في وادٍ منحني سلس؛ وهي مشكلة بسيطة حيث يتغير شكل موجة الجسيم تدريجياً. بعد ذلك، نظروا في بئر المربع اللانهائي (infinite square well)، وهو صندوق بجدران عالية جداً تمنع الجسيم من الهروب، مما يجبر الموجة على الوصول إلى الصفر بشكل مفاجئ عند الحواف. وأخيراً، فحصوا بئر المربع المحدود (finite square well)، وهو صندوق بجدران ذات ارتفاع محدود، مما يسمح للجسيم بالتسرب قليلاً إلى المنطقة المحظورة خارجه. تغطي هذه الحالات الثلاث نطاقاً واسعاً من الصعوبات: المنحنيات السلسة، والزوايا الحادة، والمسألة المعقدة المتمثلة في هروب الجسيمات من حيز حجزها.

ولحل هذه المشكلات، بنى الباحثون نوعين مختلفين من أنظمة التعلم. الأول كان شبكة عصبية كلاسيكية، وهي برنامج حاسوبي قياسي مصمم لمحاكاة الطريقة التي تتصل بها الخلايا العصبية البيولوجية وتعمل. والثاني كان شبكة عصبية كمومية، تعمل على حاسوب كمومي محاكى. يستخدم هذا النظام الثاني الخصائص الغريبة لميكانيكا الكم، مثل التراكب والتشابك، لاستكشاف مشهد واسع من الاحتمالات في وقت واحد. تم تدريب كلا النظامين باستخدام درجة مركبة تعاقبهما في حال كسر أي من القواعد الفيزيائية؛ فإذا لم تستوفِ الدالة الموجية معادلة شرودنجر، ترتفع الدرجة، وإذا لم تتناسب الموجة داخل الصندوق أو إذا بدت حالتان مختلفتان للطاقة متشابهتين جداً، ترتفع الدرجة أيضاً. قامت الأنظمة بتعديل إعداداتها الداخلية عبر آلاف المحاولات لخفض هذه الدرجة، مما أدى فعلياً إلى تعليم نفسها الحل.

أظهرت النتائج أن كلتا الطريقتين عملتا بشكل جيد للغاية. فبالنسبة للمتذبذب التوافقي السلس، وجدت الشبكتان الكلاسيكية والكمومية مستويات الطاقة للحالات الأربع الأولى بخطأ ضئيل جداً لا يتجاوز بضعة أجزاء من المليون، كما أعادتا إنتاج أشكال الموجات الدقيقة بشكل شبه مثالي، مطابقتين الحلول الرياضية المعروفة. وعندما انتقل الباحثون إلى آبار المربع، حيث تكون الجدران حادة والفيزياء أكثر حدة، استمرت الشبكات في الأداء بدقة عالية؛ فقد استعادتا مستويات الطاقة والدوال الموجية الصحيحة حتى في المواضع التي تتغير فيها الجهد بشكل لحظي، وهي مهمة غالباً ما تتعثر فيها الطرق العددية التقليدية التي تعتمد على تقسيم الفضاء إلى شبكة صلبة.

ظهر فرق جوهري عندما نظر الباحثون إلى حالات الطاقة الأعلى الأكثر صعوبة؛ فمع زيادة إثارة الجسيمات وانتقالها إلى حالات ذات أنماط موجية أكثر تعقيداً، بدأت الشبكة الكلاسيكية في المعاناة. لقد وجدت صعوبة في التنقل عبر المشهد المعقد من الاحتمالات لإيجال الحل الأمثل، وغالباً ما كانت تقع في أخطاء محلية. ومع ذلك، تعاملت الشبكة الكمومية مع هذه الحالات العليا بموثوقية أكبر؛ فبسبب قدرة الدائرة الكمومية على استكشاف نطاق مستمر من التحولات عبر نظامها بأكد، حافظت على قدرتها على إيجاد الحل الصحيح حتى مع ازدياد تعقيد المشكلة. يشير هذا إلى أنه بينما يمكن للحواسيب الكلاسيكية حل المشكلات الكمومية البسيطة بدقة كبيرة، فإن الأنظمة الكمومية قد تمتلك ميزة متميزة مع زيادة تعقيد النظام الفيزيائي.

تؤكد الدراسة أن هذه النهج المستنيرة بالفيزياء هي وسيلة قابلة للتطبيق لحل المشكلات الكمومية دون الحاجة إلى كميات هائلة من البيانات المحسوبة مسبقاً. ومن خلال دمج قوانين الفيزياء مباشرة في عملية التعلم، تتجنب هذه الشبكات الحاجة إلى الشبكات الصلبة التي تتطلبها الطرق التقليدية، مما يجعلها مناسبة طبيعياً للمشكلات التي يصعب تقسيم الفضاء فيها بدقة. وبينما اقتصرت الاختبارات الحالية على أنظمة أحادية البعد ذات إجابات معروفة، فإن نجاح كل من النسختين الكلاسيكية والكمومية يشير إلى مستقبل يمكن لهذه الأدوات فيه معالجة الأنظمة المعقدة متعددة الأبعاد الموجودة في المواد والجزيئات الحقيقية. ويظهر النهج الكمومي، على وجه الخصوص، متانة تشير إلى قدرة متنامية على التعامل مع أكثر الحسابات تحدياً في الفيزياء الكمومية، مما يفتح مساراً جديداً لفهم اللبنات الأساسية للطبيعة.