Physics-Informed Classical and Quantum Neural Networks for One-Dimensional Schrodinger Eigenvalue Problems

Al cuore di come comprendiamo l'universo risiede una singola, ostinata sfida: prevedere come le minuscole particelle, come gli elettroni, si muovano e si assestino attorno agli atomi. Nel mondo del molto piccolo, le particelle non seguono i percorsi fluidi e prevedibili dei pianeti o delle palline da baseball. Invece, esse esistono come onde di probabilità, descritte da una regola matematica nota come equazione di Schrödinger. Questa regola ci dice esattamente dove è probabile trovare una particella e quanta energia possiede, ma risolverla è notoriamente difficile. Per situazioni semplici e idealizzate, gli scienziati conoscono le risposte da quasi un secolo. Ma per i sistemi complessi e disordinati che compongono la materia reale, le equazioni diventano così aggrovigliate che anche i supercomputer più potenti faticano a trovare una soluzione. È qui che entra in gioco una nuova generazione di strumenti, che prende in prestito idee dall'intelligenza artificiale per districare la fisica del mondo subatomico.

Ricercatori in Pakistan e Messico hanno recentemente testato due di questi nuovi strumenti su tre problemi classici che fungono da campo di addestramento per ogni nuovo risolutore. Volevano vedere se un programma per computer standard e un programma per computer quantistici specializzato potessero entrambi imparare a risolvere l'equazione di Schrödinger senza essere nutriti con un singolo esempio della risposta corretta. Invece di memorizzare i dati, a questi programmi sono state insegnate direttamente le leggi della fisica. Sono stati forniti loro le regole del gioco — l'equazione che governa il comportamento della particella, il requisito che la particella debba esistere da qualche parte nello spazio e la regola per cui diversi stati energetici non possono sovrapporsi — e sono stati chiamati a scoprire tutto il resto. L'obiettivo era vedere se queste reti "informate dalla fisica" potessero trovare i livelli energetici precisi e le forme d'onda di una particella intrappolata in una scatola o in movimento lungo una curva fluida, corrispondendo alle risposte note con alta precisione.

Il team si è concentrato su tre scenari specifici che i fisici utilizzano per testare i loro metodi. Il primo era l'oscillatore armonico, un modello di una particella che rimbalza avanti e indietro in una valle curva e fluida. Questo è un problema dolce dove la forma d'onda della particella cambia gradualmente. Successivamente, hanno esaminato il pozzo di potenziale infinito, una scatola con pareti così alte che la particella non può sfuggire, costringendo l'onda a colpire lo zero bruscamente ai bordi. Infine, hanno esaminato il pozzo di potenziale finito, una scatola con pareti di altezza limitata, che permette alla particella di "perdere" leggermente nella regione proibita esterna. Questi tre casi coprono una vasta gamma di difficoltà: curve morbide, angoli acuti e la complicata questione delle particelle che sfuggono al loro confinamento.

Per risolvere questi problemi, i ricercatori hanno costruito due diversi tipi di sistemi di apprendimento. Il primo era una rete neurale classica, un programma per computer standard progettato per imitare il modo in cui i neuroni biologici si connettono e si attivano. Il secondo era una rete neurale quantistica, che gira su un computer quantistico simulato. Questo secondo sistema utilizza le strane proprietà della meccanica quantistica, come la sovrapposizione e l'entanglement, per esplorare un vasto panorama di possibilità simultaneamente. Entrambi i sistemi sono stati addestrati utilizzando un punteggio composito che li penalizzava se violavano una qualsiasi delle regole fisiche. Se la funzione d'onda non soddisfaceva l'equazione di Schrödinger, il punteggio aumentava. Se l'onda non stava all'interno della scatola o se due diversi stati energetici sembravano troppo simili, il punteggio aumentava. I sistemi hanno regolato le proprie impostazioni interne attraverso migliaia di tentativi per abbassare questo punteggio, insegnando efficacemente a se stessi la soluzione.

I risultati hanno mostrato che entrambi i metodi funzionano sorprendentemente bene. Per l'oscillatore armonico fluido, sia la rete classica che quella quantistica hanno trovato i livelli energetici dei primi quattro stati con un errore così piccolo da ammontare a poche parti per milione. Hanno riprodotto le forme d'onda esatte quasi perfettamente, corrispondendo alle soluzioni matematiche note. Quando i ricercatori si sono spostati verso i pozzi di potenziale, dove le pareti sono nette e la fisica è più brusca, le reti hanno comunque performato con alta fedeltà. Hanno recuperato i livelli energetici e le funzioni d'onda corretti anche dove il potenziale cambiava istantaneamente, un compito che spesso mette in difficoltà i metodi numerici tradizionali che si basano sulla divisione dello spazio in una griglia rigida.

Una differenza chiave è emersa quando i ricercatori hanno osservato gli stati più difficili, ovvero quelli a energia più elevata. Man mano che le particelle diventavano più eccitate, muovendosi verso stati con schemi d'onda più complessi, la rete classica ha iniziato a faticare. Ha trovato più difficile navigare nel complesso panorama delle possibilità per trovare la soluzione migliore, finendo spesso bloccata in errori locali. La rete quantistica, invece, ha gestito questi stati più elevati in modo più affidabile. Poiché il circuito quantistico può esplorare un intervallo continuo di trasformazioni attraverso l'intero sistema, ha mantenuto la sua capacità di trovare la soluzione corretta anche quando il problema diventava più intricato. Ciò suggerisce che, mentre i computer classici possono risolvere problemi quantistici semplici con grande precisione, i sistemi quantistici potrebbero detenere un vantaggio distinto man mano che la complessità del sistema fisico aumenta.

Lo studio conferma che questi approcci informati dalla fisica sono un modo praticabile per risolvere problemi quantistici senza la necessità di enormi quantità di dati pre-calcolati. Incorporando le leggi della fisica direttamente nel processo di apprendimento, le reti evitano la necessità delle griglie rigide richieste dai metodi tradizionali, rendendole naturalmente adatte a problemi in cui lo spazio è difficile da dividere ordinatamente. Sebbene i test attuali siano stati limitati a sistemi monodimensionali con risposte note, il successo di entrambe le versioni, classica e quantistica, punta verso un futuro in cui questi strumenti potranno affrontare i sistemi multidimensionali complessi presenti nei materiali e nelle molecole reali. L'approccio quantistico, in particolare, ha mostrato una robustezza che suggerisce una crescente capacità di gestire i calcoli più impegnativi della fisica quantistica, offrendo una nuova strada per comprendere i mattoni fondamentali della natura.