Physics-Informed Classical and Quantum Neural Networks for One-Dimensional Schrodinger Eigenvalue Problems

ब्रह्मांड को समझने के हमारे तरीके के केंद्र में एक एकल, जिद्दी चुनौती निहित है: यह अनुमान लगाना कि इलेक्ट्रॉन जैसे सूक्ष्म कण परमाणुओं के चारों ओर कैसे चलते हैं और स्थिर होते हैं। सूक्ष्म जगत की दुनिया में, कण ग्रहों या बेसबॉल की तरह सुचारू, पूर्वानुमेय पथों का पालन नहीं करते हैं। इसके बजाय, वे प्रायिकता की तरंगों (waves of probability) के रूप में मौजूद होते हैं, जिनका वर्णन श्रोडिंगर समीकरण (Schrödinger equation) नामक एक गणितीय नियम द्वारा किया जाता है। यह नियम हमें ठीक-ठीक बताता है कि एक कण के पाए जाने की संभावना कहाँ है और उसमें कितनी ऊर्जा है, लेकिन इसे हल करना अत्यंत कठिन है। सरल, आदर्श स्थितियों के लिए, वैज्ञानिक लगभग एक सदी से उत्तर जानते हैं। लेकिन वास्तविक पदार्थ को बनाने वाली जटिल, अव्यवस्थित प्रणालियों के लिए, समीकरण इतने उलझ जाते हैं कि सबसे शक्तिशाली सुपरकंप्यूटर भी समाधान खोजने के लिए संघर्ष करते हैं। यहीं पर पीढ़ी की एक नई तकनीक कदम रख रही है, जो उप-परमाणु दुनिया के भौतिकी को सुलझाने के लिए आर्टिफिशियल इंटेलिजेंस के विचारों को उधार ले रही है।

पाकिस्तान और मैक्सिको के शोधकर्ताओं ने हाल ही में इन नए उपकरणों में से दो का परीक्षण तीन क्लासिक समस्याओं पर किया है, जो किसी भी नए सॉल्वर के लिए प्रशिक्षण मैदान के रूप में कार्य करती हैं। वे यह देखना चाहते थे कि क्या एक मानक कंप्यूटर प्रोग्राम और एक विशेष क्वांटम कंप्यूटर प्रोग्राम, सही उत्तर के एक भी उदाहरण को दिए बिना, श्रोडिंगर समीकरण को हल करना सीख सकते हैं। डेटा को याद करने के बजाय, इन प्रोग्रामों को सीधे भौतिकी के नियमों को सिखाया गया। उन्हें खेल के नियम दिए गए थे—वह समीकरण जो कण के व्यवहार को नियंत्रित करता है, यह आवश्यकता कि कण को अंतरिक्ष में कहीं न कहीं मौजूद होना चाहिए, और यह नियम कि विभिन्न ऊर्जा अवस्थाएँ एक-दूसरे के ऊपर ओवरलैप नहीं हो सकतीं—और बाकी चीज़ को समझने के लिए कहा गया। लक्ष्य यह देखना था कि क्या ये "फिजिक्स-इन्फॉर्म्ड" (भौतिकी-सूचित) नेटवर्क एक बॉक्स में फंसे या एक चिकनी वक्रता में चलते कण के सटीक ऊर्जा स्तरों और तरंग आकृतियों को ज्ञात उत्तरों के साथ उच्च सटीकता से खोज सकते हैं।

टीम ने तीन विशिष्ट परिदृश्यों पर ध्यान केंद्रित किया जिनका उपयोग भौतिक विज्ञानी अपने तरीकों का परीक्षण करने के लिए करते हैं। पहला 'हारमोनिक ऑसिलेटर' (harmonic oscillator) था, जो एक चिकने, घुमावदार घाटी में आगे-पीछे उछलते हुए कण का एक मॉडल है। यह एक सौम्य समस्या है जहाँ कण का तरंग रूप धीरे-धीरे बदलता है। इसके बाद, उन्होंने 'इनफिनिट स्क्वायर वेल' (infinite square well) को देखा, जो एक ऐसा बॉक्स है जिसकी दीवारें इतनी ऊँची हैं कि कण बाहर नहीं निकल सकता, जिससे तरंग किनारों पर अचानक शून्य तक पहुँच जाती है। अंत में, उन्होंने 'फाइनाइट स्क्वायर वेल' (finite square well) का परीक्षण किया, जो सीमित ऊँचाई वाली दीवारों वाला एक बॉक्स है, जिससे कण निषेध क्षेत्र के बाहर थोड़ा लीक हो सकता है। ये तीन मामले कठिनाइयों की एक विस्तृत श्रृंखला को कवर करते हैं: चिकने वक्र, तीखे कोने, और कणों के अपने घेरे से बाहर निकलने का पेचीदा मामला।

इन्हें हल करने के लिए, शोधकर्ताओं ने दो अलग-अलग प्रकार के लर्निंग सिस्टम बनाए। पहला एक क्लासिकल न्यूरल नेटवर्क था, जो जैविक न्यूरॉन्स के जुड़ने और सक्रिय होने के तरीके की नकल करने के लिए डिज़ाइन किया गया एक मानक कंप्यूटर प्रोग्राम है। दूसरा एक क्वांटम न्यूरल नेटवर्क था, जो एक सिम्युलेटेड क्वांटम कंप्यूटर पर चलता है। यह दूसरा सिस्टम क्वांटम मैकेनिक्स के अजीब गुणों, जैसे सुपरपोजिशन और एंटैंगलमेंट का उपयोग करता है, ताकि संभावनाओं के एक विशाल परिदृश्य को एक साथ खोजा जा सके। दोनों सिस्टम को एक संयुक्त स्कोर (composite score) का उपयोग करके प्रशिक्षित किया गया था जो उन्हें भौतिक नियमों को तोड़ने के लिए दंडित करता था। यदि तरंग फलन (wave function) श्रोडिंगर समीकरण को संतुष्ट नहीं करता था, तो स्कोर बढ़ जाता था। यदि तरंग बॉक्स के अंदर फिट नहीं होती थी या यदि दो अलग-अलग ऊर्जा अवस्थाएँ बहुत समान दिखती थीं, तो स्कोर बढ़ जाता था। सिस्टम ने इस स्कोर को कम करने के लिए हजारों प्रयासों के माध्यम से अपनी आंतरिक सेटिंग्स को समायोजित किया, जिससे प्रभावी रूप से वे स्वयं को समाधान सिखाने लगे।

परिणामों ने दिखाया कि दोनों विधियाँ उल्लेखनीय रूप से अच्छी तरह से काम करती हैं। चिकने हारमोनिक ऑसिलेटर के लिए, क्लासिकल और क्वांटम दोनों नेटवर्क ने पहले चार अवस्थाओं के ऊर्जा स्तरों को इतनी कम त्रुटि के साथ खोजा जो कुछ लाख हिस्सों प्रति मिलियन (parts per million) के बराबर है। उन्होंने सटीक तरंग आकृतियों को लगभग पूरी तरह से पुनरुत्पादित किया, जो ज्ञात गणितीय समाधानों से मेल खाते हैं। जब शोधकर्ताओं ने स्क्वायर वेल्स की ओर बढ़े, जहाँ दीवारें तीखी होती हैं और भौतिकी अधिक अचानक होती है, तब भी नेटवर्क उच्च निष्ठा (fidelity) के साथ प्रदर्शन करते रहे। उन्होंने सही ऊर्जा स्तरों और तरंग फलनों को भी प्राप्त किया जहाँ क्षमता (potential) तुरंत बदल जाती है, जो एक ऐसा कार्य है जिसमें पारंपरिक संख्यात्मक विधियाँ अक्सर लड़खड़ा जाती हैं क्योंकि वे स्थान को एक कठोर ग्रिड में विभाजित करने पर निर्भर करती हैं।

जब शोधकर्ताओं ने अधिक कठिन, उच्च-ऊर्जा अवस्थाओं को देखा, तो एक प्रमुख अंतर सामने आया। जैसे-जैसे कण अधिक उत्तेजित होते गए, अधिक जटिल तरंग पैटर्न वाली अवस्थाओं में जाते गए, क्लासिकल नेटवर्क संघर्ष करने लगा। उसके लिए सर्वोत्तम समाधान खोजने के लिए संभावनाओं के जटिल परिदृश्य में नेविगेट करना कठिन होता गया, और वह अक्सर स्थानीय त्रुटियों (local errors) में फंस जाता था। हालाँकि, क्वांटम नेटवर्क ने इन उच्च अवस्थाओं को अधिक विश्वसनीयता के साथ संभाला। क्योंकि क्वांटम सर्किट अपने पूरे सिस्टम में परिवर्तनों की एक निरंतर सीमा को एक्सप्लोर कर सकता है, इसलिए इसने जटिल समस्या बनने के बावजूद सही समाधान खोजने की अपनी क्षमता बनाए रखी। यह सुझाव देता है कि जबकि क्लासिकल कंप्यूटर सरल क्वांटम समस्याओं को बड़ी सटीकता के साथ हल कर सकते हैं, क्वांटम सिस्टम के पास एक विशिष्ट लाभ हो सकता है क्योंकि भौतिक प्रणाली की जटिलता बढ़ती है।

यह अध्ययन पुष्टि करता है कि भौतिकी-सूचित दृष्टिकोण भारी मात्रा में पूर्व-गणना किए गए डेटा के बिना क्वांटम समस्याओं को हल करने का एक व्यवहार्य तरीका है। सीखने की प्रक्रिया में सीधे भौतिकी के नियमों को शामिल करके, ये नेटवर्क उस आवश्यकता से बचते हैं जो पारंपरिक विधियों को कठोर ग्रिड की आवश्यकता होती है, जिससे वे उन समस्याओं के लिए स्वाभाविक रूप से उपयुक्त हो जाते हैं जहाँ स्थान को स्पष्ट रूप से विभाजित करना कठिन होता है। जबकि वर्तमान परीक्षण ज्ञात उत्तरों वाले एक-आयामी प्रणालियों तक सीमित थे, दोनों क्लासिकल और क्वांटम संस्करणों की सफलता उस भविष्य की ओर इशारा करती है जहाँ ये उपकरण वास्तविक सामग्रियों और अणुओं में पाई जाने वाली जटिल, बहु-आयामी प्रणालियों से निपटने में सक्षम होंगे। विशेष रूप से क्वांटम दृष्टिकोण ने एक ऐसी मजबूती दिखाई है जो क्वांटम भौतिकी में सबसे चुनौतीपूर्ण गणनाओं को संभालने की बढ़ती क्षमता का संकेत देती है, जो प्रकृति के निर्माण खंडों को समझने के लिए एक नया मार्ग प्रदान करती है।