A solvable quantum many-body problem

في المشهد الشاسع للفيزياء الكمومية، غالباً ما يلجأ العلماء إلى أنظمة مكونة من جسيمات عديدة لفهم كيفية سلوك المادة عندما تتفاعل عدد لا يحصى من المكونات المتناهية الصغر. ويتمثل أحد التحديات المركزية في هذا المجال في حل معادلة شرودنغر، وهي كتاب القواعد الأساسي الذي يتنبأ بكيفية تحرك مجموعة من الجسيمات وكيفية ترتيب نفسها. وبينما تُفهم القواعد الخاصة بجسيم واحد أو زوج من الجسيمات بشكل جيد، فإن الرياضيات تصبح معقدة للغاية مع إضافة المزيد من الجسيمات، مما يضطر الباحثين عادةً إلى الاعتماد على التقريبات. وأحد الاستثناءات القليلة التي يوجد فيها حل دقيق هو نظام تنجذب فيه الجسيمات لبعضها البعض من خلال نوع محدد من القوى الشبيهة بالزنبرك (النابض) والتي تزداد قوة كلما اقتربت من بعضها. وتسمح هذه التفاعلات "التوافقية" (harmonic) للفيزيائيين بحساب الطاقة وشكل النظام بدقة لأي عدد من الجسيمات، مما يوفر نافذة واضحة ونادرة على العالم الكمومي. ومع ذلك، فإن معظم المواد في العالم الحقيقي، مثل الهيليوم السائل، لا تتصرف مثل الزنبركات؛ إذ تتفاعل جسيماتها من خلال قوى قصيرة المدى يصعب نمذجتها رياضياً بشكل أكبر.

وقد حدد باحث في جامعة فيكتوريا في ويلينغتون نظاماً جديداً قابلاً للحل يقدم نوعاً مختلفاً من الوضوح الرياضي. يركز البحث على مجموعة من الجسيمات المتطابقة، وتحديداً "البوزونات"، وهي نوع من الجسيمات دون الذرية التي يمكنها احتلال نفس المساحة والتحرك في تناغم. ويوضح المؤلف أنه إذا خضعت هذه الجسيمات لقوة غير عادية ومحددة للغاية، فإن سلوكها الجماعي يمكن وصفه بمعادلة بسيطة ودقيقة. وخلافاً للقوى التوافقية المألوفة أو التفاعلات الثنائية القياسية التي توجد في معظم الغازات، يعتمد هذا النظام الجديد على طاقة وضع تعتمد على الانتشار الإجمالي للمجموعة بأكملها. وتحديداً، تكون القوة المؤثرة على الجسيمات متناسبة مع مقلوب الجذر التربيعي لمتوسط المسافة بين جميع الأزواج في النظام. وبعبارة أبسط، يتم تحديد قوة التفاعل من خلال قيمة واحدة تمثل متوسط الفصل بين كل جسيم والآخر في النظام، بدلاً من النظر في كل زوج بشكل فردي.

يكمن الاكتشاف الجوهري في أن "الدالة الموجية" (wavefunction) — وهو الوصف الرياضي لحالة النظام — تتخذ شكلاً بسيطاً للغاية: اضمحلال أسي يعتمد على ذلك المقياس الواحد للفصل الإجمالي. وهذا يعني أنه لأي عدد من الجسيمات، بدءاً من اثنين وصولاً إلى مجموعة كبيرة، يمتلك النظام طاقة حالة أرضية دقيقة وقابلة للحساب. وتقدم الورقة الصيغ الدقيقة للطاقة وقوة التفاعل المطلوبة لأنظمة مكونة من جسيمين، وثلاثة، وأربعة، وأي عدد من الجسيمات في بُعد واحد، أو بُعدين، أو ثلاثة أبعاد. فعلى سبيل المثال، في نظام ثلاثي الأبعاد مكون من ثلاثة جسيمات، يتم اشتقاق الطاقة وقوة التفاعل اللازمة بدقة، مما يظهر نمطاً واضحاً يستمر مع زيادة عدد الجسيمات. كما يوسع المؤلف هذا الاكتشاف ليشمل حالات الإثارة، وهي تكوينات ذات طاقة أعلى حيث تمتلك الجسيمات زخماً زاوياً. ومن خلال بناء أشكال رياضية تتضمن مكونات دورانية، يحدد البحث مجموعة من حالات الإثارة الدورانية التي تعد أيضاً حلولاً دقيقة. وتحمل هذه الحالات كميات محددة من الزخم الزاوي، والتي تزداد مع نمو عدد الجسيمات، بينما تتبع مستويات طاقتها علاقة متوقعة بالحالة الأرضية.

تكمن تداعيات هذا العمل في إمكانية نمذجة السوائل المعقدة، مثل قطرات الهيليوم السائل المجهرية الموجودة في الطبيعة. وبينما لا تتطابق القوة المحددة المطلوبة لجعل هذا النظام قابلاً للحل تماماً مع التفاعلات الفيزيائية بين ذرات الهيليوم، إلا أن البنية الرياضية تقدم أداة جديدة للتقريب. ويشير المؤلف إلى أنه بالنسبة لعدد كبير من الجسيمات، فإن طاقة الوضع في هذا النموذج تتدرج بطريقة قد تساعد في تبسيط وصف قطرات السائل، عبر استبدال مجموعة فوضوية من التفاعلات الفردية بين كل زوج بقوة موحدة شاملة لجميع الأجسام. ومع ذلك، تشير الورقة أيضاً إلى قيد فيزيائي: فالنموذج تهيمن عليه المسافات بين الجسيمات البعيدة عن بعضها البعض، وهو أمر ليس واقعياً تماماً بالنسبة لذرات الهليوم التي تتفاعل أساساً عندما تكون قريبة من بعضها البعض. ورغم هذا التحفظ، فإن وجود هذه الحلول الدقيقة يوفر معياراً مرجعياً قيماً؛ فهو يمنح الفيزيائيين مثالاً ملموساً وقابلاً للحل لنظام متعدد الأجسام لا يعتمد على مجرد زنبركات بسيطة ثنائية التفاعل، مما يقدم منظوراً جديداً لكيفية التفكير في السلوك الجماعي للمادة الكمومية. ويقف هذا العمل كمساهمة رياضية دقيقة، تظهر أنه حتى في العالم المعقد للعديد من الجسيمات المتفاعلة، لا تزال هناك أنماط خفية يمكن حلها بدقة.