A solvable quantum many-body problem

Nel vasto panorama della fisica quantistica, gli scienziati si rivolgono spesso a sistemi di molte particelle per comprendere come la materia si comporta quando innumerevoli minuscoli costituenti interagiscono tra loro. Una sfida centrale in questo campo è risolvere l'equazione di Schrödinger, il libro di regole fondamentale che predice come un gruppo di particelle si muoverà e si disporrà. Sebbene le regole per una singola particella o una coppia siano ben comprese, la matematica diventa travolgentemente complessa man mano che vengono aggiunte più particelle, costringendo solitamente i ricercatori a fare affidamento su approssimazioni. Una delle poche eccezioni in cui esiste una soluzione esatta è un sistema in cui le particelle si attraggono attraverso un tipo specifico di forza simile a una molla che diventa più forte man mano che si avvicinano. Questa interazione "armonica" permette ai fisici di calcolare l'energia e la forma esatta del sistema per qualsiasi numero di particelle, fornendo una rara e limpida finestra sul mondo quantistico. Tuttavia, la maggior parte delle sostanze del mondo reale, come l'elio liquido, non si comporta come delle molle; le loro particelle interagiscono attraverso forze a corto raggio che sono molto più difficili da modellare matematicamente.

Un ricercatore della Victoria University of Wellington ha ora identificato un nuovo sistema risolvibile che offre un diverso tipo di chiarezza matematica. Lo studio si concentra su un gruppo di particelle identiche, nello specifico bosoni, ovvero un tipo di particella subatomica che può occupare lo stesso spazio e muoversi all'unisono. L'autore dimostra che, se queste particelle sono soggette a una forza molto specifica e insolita, il loro comportamento collettivo può essere descritto con una formula semplice ed esatta. A differenza delle familiari forze a molla o delle interazioni standard a coppie tipiche della maggior parte dei gas, questo nuovo sistema si basa su un potenziale energetico che dipende dalla diffusione complessiva dell'intero gruppo. Nello specifico, la forza che agisce sulle particelle è proporzionale all'inverso della radice quadrata della media dei quadrati delle distanze tra tutte le coppie nel sistema. In termini più semplici, la forza dell'interazione è determinata da un singolo valore che rappresenta la separazione media di ogni particella da tutte le altre, piuttosto che guardare a ogni singola coppia individualmente.

Il nucleo della scoperta è che per questo tipo di interazione, la funzione d'onda — la descrizione matematica dello stato del sistema — assume una forma straordinariamente semplice: un decadimento esponenziale basato su quella singola misura di separazione complessiva. Ciò significa che per qualsiasi numero di particelle, da due fino a un grande gruppo, il sistema possiede un'energia dello stato fondamentale precisa e calcolabile. Il documento fornisce le formule esatte per l'energia e la forza necessaria per sistemi con due, tre, quattro e qualsiasi numero di particelle in uno, due o tre dimensioni. Ad esempio, in un sistema tridimensionale di tre particelle, l'energia e la forza necessaria sono derivate esattamente, mostrando un modello chiaro che rimane valido all'aumentare del numero di particelle. L'autore estende inoltre questa scoperta agli stati eccitati, ovvero configurazioni a energia più elevata in cui le particelle possiedono momento angolare. Costruendo forme matematiche specifiche che includono componenti rotazionali, lo studio identifica un insieme di stati eccitati rotazionali che sono anch'essi soluzioni esatte. Questi stati portano quantità specifiche di momento angolare, che aumentano con il crescere del numero di particelle, mentre i loro livelli energetici seguono una relazione prevedibile rispetto allo stato fondamentale.

Le implicazioni di questo lavoro risiedono nel suo potenziale di modellare fluidi complessi, come le goccioline microscopiche di elio liquido presenti in natura. Sebbene la forza specifica richiesta per rendere questo sistema risolvibile non corrisponda perfettamente alle interazioni fisiche tra gli atomi di elio, la struttura matematica offre un nuovo strumento di approssimazione. L'autore osserva che, per un grande numero di particelle, l'energia potenziale in questo modello scala in un modo che potrebbe aiutare a semplificare la descrizione delle goccioline liquide, sostituendo una collezione disordinata di singole interazioni a coppie con una singola forza collettiva unificata. Tuttavia, il documento evidenzia anche un limite fisico: il modello è dominato dalle distanze tra le particelle che sono lontane tra loro, il che non è del tutto realistico per gli atomi di elio che interagiscono principalmente quando sono vicini. Nonostante questa avvertenza, l'esistenza di queste soluzioni esatte fornisce un prezioso termine di paragone. Fornisce ai fisici un esempio concreto e risolvibile di un sistema a molti corpi che non si basa su semplici molle a coppie, offrendo una nuova prospettiva su come pensare al comportamento collettivo della materia quantistica. Il lavoro si pone come un contributo matematico preciso, dimostrando che anche nel complesso mondo delle molte particelle che interagiscono, esistono ancora schemi nascosti che possono essere risolti esattamente.