A solvable quantum many-body problem

Na vasta paisagem da física quântica, os cientistas frequentemente recorrem a sistemas de muitas partículas para compreender como a matéria se comporta quando inúmeras constituintes minúsculas interagem. Um desafio central neste campo é resolver a equação de Schrödinger, o livro de regras fundamental que prevê como um grupo de partículas se moverá e se organizará. Embora as regras para uma única partícula ou um par sejam bem compreendidas, a matemática torna-se esmagadoramente complexa à medida que mais partículas são adicionadas, forçando geralmente os investigadores a recorrer a aproximações. Uma das poucas exceções onde existe uma solução exata é um sistema onde as partículas se atraem através de um tipo específico de força semelhante a uma mola que se torna mais forte à medida que se aproximam. Esta interação "harmónica" permite aos físicos calcular a energia e a forma exata do sistema para qualquer número de partículas, proporcionando uma janela rara e clara para o mundo quântico. No entanto, a maioria das substâncias do mundo real, como o hélio líquido, não se comporta como molas; as suas partículas interagem através de forças de curto alcance que são muito mais difíceis de modelar matematicamente.

Um investigador da Universidade Victoria de Wellington identificou agora um novo sistema resolúvel que oferece um tipo diferente de clareza matemática. O estudo foca-se num grupo de partículas idênticas, especificamente bósons, que são um tipo de partícula subatómica que pode ocupar o mesmo espaço e mover-se em uníssono. O autor demonstra que, se estas partículas estiverem sujeitas a uma força muito específica e incomum, o seu comportamento coletivo pode ser descrito com uma fórmula simples e exata. Ao contrário das forças familiares semelhantes a molas ou das interações padrão de pares vistas na maioria dos gases, este novo sistema baseia-se num potencial de energia que depende da dispersão global de todo o grupo. Especificamente, a força que atua sobre as partículas é proporcional ao inverso da raiz quadrada da média do quadrado das distâncias entre todos os pares no sistema. Em termos mais simples, a força da interação é determinada por um único valor que representa a separação média de cada partícula de todas as outras, em vez de olhar para cada par individualmente.

A descoberta central é que, para este tipo específico de interação, a função de onda — a descrição matemática do estado do sistema — assume uma forma notavelmente simples: um decaimento exponencial baseado nessa medida única de separação global. Isto significa que, para qualquer número de partículas, de duas até a um grande grupo, o sistema tem um estado fundamental preciso e calculável. O artigo fornece as fórmulas exatas para a energia e para a intensidade da força necessária para sistemas com dois, três, quatro e qualquer número de partículas em uma, duas ou três dimensões. Por exemplo, num sistema tridimensional de três partículas, a energia e a intensidade da força necessária são derivadas exatamente, mostrando um padrão claro que se mantém à medida que o número de partículas aumenta. O autor também estende esta descoberta para estados excitados, que são configurações de maior energia onde as partículas possuem momento angular. Ao construir formas matemáticas específicas que incluem componentes rotacionais, o estudo identifica um conjunto de estados excitados rotacionais que também são soluções exatas. Estes estados carregam quantidades específicas de momento angular, aumentando à medida que o número de partículas cresce, enquanto os seus níveis de energia seguem uma relação previsível com o estado fundamental.

As implicações deste trabalho residem no seu potencial para modelar fluidos complexos, como as gotículas microscópicas de hélio líquido encontradas na natureza. Embora a força específica necessária para tornar este sistema resolúvel não corresponda perfeitamente às interações físicas entre os átomos de hélio, a estrutura matemática oferece uma nova ferramenta para aproximação. O autor observa que, para um grande número de partículas, a energia potencial neste modelo escala de uma forma que poderia ajudar a simplificar a descrição de gotículas líquidas, substituindo uma coleção desordenada de interações individuais de pares por uma única força de muitos corpos unificada. No entanto, o artigo também aponta uma limitação física: o modelo é dominado pelas distâncias entre partículas que estão afastadas, o que não é inteiramente realista para átomos de hélio que interagem principalmente quando estão próximos. Apesar desta ressalva, a existência destas soluções exatas fornece um ponto de referência valioso. Oferece aos físicos um exemplo concreto e resolúvel de um sistema de muitos corpos que não se baseia em simples molas de pares, oferecendo uma nova perspetiva sobre como pensar o comportamento coletivo da matéria quântica. O trabalho constitui uma contribuição matemática precisa, mostrando que, mesmo no complexo mundo de muitas partículas em interação, ainda existem padrões ocultos que podem ser resolvidos exatamente.