Generalised Mathematical Model for the Kinodynamic Planning of Multirotor UAVs and Aerial Robots using Topological Manifolds

أصبحت الآلات الطائرة التي تحوم وتندفع عبر الهواء مشهداً مألوفاً، من الطائرات بدون طيار (الدرونز) التي تحلق فوق المدن إلى الروبوتات ذاتية القيادة التي تفحص الجسور. ولجعل هذه الآلات تتحرك بأمان وكفاءة، يعتمد المهندسون على نماذج رياضية تتنبأ بكيفية سلوكها. لعقود من الزمن، كانت الطريقة القياسية لتخطيط مسار الطائرة بدون طيار هي التعامل مع المركبة بأكملها كنقطة واحدة عديمة الوزن تطفو في الفضاء. هذا النهج "كتلة النقطة" يتجاهل حقيقة أن الطائرة بدون طيار الحقيقية لها شكل مادي، مع وجود محركات وأذرع بارزة في اتجاهات محددة. وبينما جعل هذا التبسيط الحسابات المبكرة ممكنة، إلا أنه يفترض أنه إذا استطاع مركز الطائرة المرور عبر فجوة، فإن الآلة بأكملها يمكنها اتباع المسار. ومع ذلك، في العالم الحقيقي، يهم حجم الطائرة والمسافة الثابتة بين مراوحها الدوارة بقدر ما تهم نقطة مركزها. فإذا كانت الطائرة عريضة جداً، فستصطدم بجدار حتى لو كان بإمكان مركزها نظرياً المرور.

لقد طور باحثون في معهد بيرلا للتكنولوجيا والعلوم في حيدر آباد إطاراً رياضياً جديداً يعالج هذا السهو. فبدلاً من معاملة الطائرة بدون طيار كنقطة واحدة، قاموا بنمذجتها كشكل مسطح صلب مكون من عدة نقاط ثابتة، تمثل المواقع الفعلية للمحركات. يسمح هذا النهج ليس فقط بتتبع أين يذهب مركز الطائرة، بل بتتبع كيفية حركة كل محرك بدقة بينما تميل المركبة، وتدور، وتتحرك. ومن خلال القيام بذلك، يمكنهم معرفة ما إذا كان المسار المخطط له ممكناً حقاً لتصميم معين للطائرة، بدلاً من مجرد افتراض أنه يعمل لأي طائرة تناسب مسار نقطة المركز نفسها. ويشير عملهم، الذي نُشر في مقال بحثي، إلى أن تجاهل الأبعاد الفيزيائية للطائرة بدون طيار يمكن أن يؤدي إلى خطط تبدو مثالية على شاشة الكمبيوتر ولكنها مستحيلة الطيران في الواقع.

يتضمن جوهر هذه الطريقة الجديدة رسم حركة الطائرة على "متعدد طيات طوبولوجي" (topological manifold)، وهو في الأساس سطح رياضي يحافظ على المسافات الثابتة بين أجزاء الطائرة. تخيل طائرة بدون طيار كلوح مسطح صلب متصل به أربعة محركات عند الزوايا؛ فمهما دارت الطائرة أو طارت، فإن المسافة بين تلك الزوايا لا تتغير أبداً. لقد بنى الباحثون نظاماً يحترم هذه القاعدة في كل خطوة من الرحلة. لقد أنشأوا معادلات تأخذ مساراً سلساً لمركز الطائرة وتحسب تلقائياً المسار الدقيق الذي يجب أن يتبعه كل محرك من المحركات الأربعة للحفاظ على صلابة اللوح. وهذا يعني أنه إذا مالت الطائرة إلى الجانب، فإن النموذج سيعرف فوراً أن المحرك الموجود على اليسار يجب أن يتحرك بشكل مختلف قليلاً عن المحرك الموجود على اليمين، على الرغم من أن مركز الطائرة يتحرك في خط مستقيم.

في دراستهم، اختبر الفريق هذه الفكرة من خلال محاكاة طيران طائرة بدون طيار عبر مهمة محددة. بدأت الطائرة على الأرض، ثم صعدت إلى ارتفاع 50 متراً، وتحركت 200 متر للأمام، ثم هبطت. وقارنوا طريقتهم الجديدة بمنهج "كتلة النقطة" التقليدي. وأظهرت النتائج أنه بينما اتبع مركز الطائرة نفس المسار تماماً في كلا النموذجين، إلا أن المحركات الفردية تصرفت بشكل مختلف تماماً. في النموذج الجديد، رسمت المحركات منحنيات فريدة ومعقدة أخذت في الاعتبار دوران الطائرة وحجمها الفيزيائي. ووجد الباحثون أن السرعة، والتسارع، والتغيرات المفاجئة في القوة (المعروفة باسم "التعجيل" أو jerk) على مستوى المحرك كانت مختلفة بشكل كبير عما تنبأ به نموذج كتلة النقطة. وهذا الاختلاف أمر بالغ الأهمية لأن المحركات هي الأجزاء التي تدفع الطائرة بالفعل؛ فإذا طُلب منها التحرك بطريقة تتجاوز حدودها الفيزيائية، فستفشل الطائرة.

ولإثبات أهمية هذا التمييز، قام الباحثون بمحاكاة سيناريو حيث أُعطي طائرتان بدون طيار بحجمين مختلفين نفس مسار الطيران. تم تصميم كلتا الطائرتين للطيران عبر أنبوب أسطواني ضيق. تنبأ نموذج كتلة النقطة التقليدي، الذي ينظر فقط إلى المركز، بأن كلتا الطائرتين يمكنهما القيام بالرحلة لأن مركزيهما صغيران بما يكفي للمرور. ومع ذلك، كشف النموذج الجديد أن الطائرة الأكبر حجماً ستصطدم بجدران الأنبوب. فعلى الرغم من أن مركزها يمكنه المرور، إلا أن جسمها العريض والمسافة الثبة بين محركاتها جعلت من المستحيل فيزيائياً مرورها. سلطت هذه المحاكاة الضوء على خلل حرج في الطريقة القديمة: فهي لا تستطيع حساب الحجم المادي للمركبة. وقد حدد الإطار الجديد، من خلال تتبع الشكل الفعلي، أن مسار الطائرة الأكبر كان مستحيلاً، مما منع وقوع حادث محتمل قبل حدوثه.

كما استكشفت الدراسة كيف يؤثر حجم الطائرة على سلاسة طيرانها. أجرى الباحثون عمليات محاكاة لطائرات بدون طيار بأحجام متفاوتة، من تصميم صغير بثلاثة محركات إلى نسخة كبيرة بثمانية محركات، وجميعها تتبع نفس مسار نقطة المركز. وقاسوا "الانحناء"، أو مدى حدة انحناء المسار، للمحركات في كل طائرة. ووجدوا أنه كلما زاد حجم الطائرة، أصبحت المسارات التي ترسمها المحركات أكثر انحناءً وتطلباً، حتى مع تحرك مركز الطائرة بنفس السلاسة. بالنسبة لأصغر طائرة، اتبعت المحركات منحنى لطيفاً نسبياً، أما بالنسبة لأكبر طائرة، فقد توجب على المحركات رسم منحنيات أكثر حدة بك كثيراً. وهذا يعني أن خطة الطيران التي تعد سهلة لطائرة صغيرة قد تكون صعبة جداً لطائرة أكبر، ببساطة لأن الأجزاء الخارجية للآلة الأكبر يجب أن تتأرجح في قوس أوسع. يلتقط النموذج الجديد هذا الواقع، مما يسمح للمهندسين بالتحقق مما إذا كان تصميم معين للطائرة يمكنه حقاً التعامل مع مسار مخطط له.

من خلال معاملة الطائرة بدون طيار كمجموعة من النقاط الثابتة بدلاً من نقطة واحدة، خلق الباحثون أداة تسد الفجوة بين التخطيط رفيع المستوى والتحكم منخفض المستوى. يضمن هذا النهج أن الأوامر المرسلة إلى المحركات قابلة للتنفيذ فيزيائياً. كما أنه يلغي الحاجة إلى عمليات تحويل معقدة وعرضة للخطأ بين طرق وصف الدوران المختلفة، والتي غالباً ما تسبب أخطاء رياضية تُعرف بـ "التفردات" (singularities). وبدلاً من ذلك، يعمل النظام بالكامل باستخدام إحداثيات ثلاثية الأبعاد قياسية، مما يجعله أكثر قوة وسهولة في التنفيذ على أجهزة الكمبيوتر التي تقود هذه الآلات. وقد أثبت الباحثون أن هذه الطريقة تعمل مع أي عدد من المحركات، سواء كانت الطائرة تحتوي على ثلاثة أو أربعة أو ستة أو ثمانية محركات، مما يجعلها حلاً متعدد الاستخدامات للتنوع المتزايد في الروبوتات الجوية التي يتم تطويرها اليوم.

تمتد تداعيات هذا العمل إلى سلامة وموثوقية الطيران ذاتي القيادة. فمع نشر الطائرات بدون طيار في بيئات معقدة مثل المستودعات، أو الغابات، أو الأخاديد الحضرية، تتقلص هوامش الخطأ. إن نظام التخطيط الذي يتجاهل الحجم الفيزيائي للمركبة يخاطر بإرسالها نحو الاصطدام. يوفر الإطار الجديد طريقة للتحقق من أن المسار ليس ممكناً نظرياً لنقطة فحسب، بل هو ممكن فيزيائياً للآلة الفعلية. ويقترح الباحثون إمكانية دمج هذه الطريقة في أنظمة التحكم في الطيران الحالية كطبقة إضافية من الأمان، للتحقق من القيود في الوقت الفعلي دون الحاجة إلى تغيير الطريقة الأساسية التي يتم بها التحكم في الطائرة. وبينما تعتمد الدراسة الحالية على عمليات محاكاة الكمبيوتر، فإن الأساس الرياضي صلب، ويخطط الفريق لاختبار هذه الأفكار على أجهزة حقيقية في المستقبل.

في نهاية المطاف، يغير هذا البحث المنظور حول كيفية تفكيرنا في الروبوتات الطائرة. فهو يبتعد عن الفكرة المريحة ولكن غير الدقيقة للطائرة بدون طيار كنقطة شبحية، ويتبنى واقع الطائرة كجسم صلب ذي شكل محدد. ومن خلال القيام بذلك، يضمن أن المسارات التي نخطط لها هي مسارات يمكن للآلات طيرانها بالفعل. وتشير النتائج إلى أنه لكي تعمل الطائرات بدون طيار ذاتية القيادة بأمان في العالم الحقيقي، يجب أن تفهم برمجيات التخطيط الخاصة بها هندستها الذاتية. إن القدرة على التنبؤ بدقة بكيفية حركة كل جزء من الآلة، بناءً على أبعادها الفيزيائية، هي خطوة مهمة نحو جعل الطيران المستقل أكثر موثوقية وقدرة.