Generalised Mathematical Model for the Kinodynamic Planning of Multirotor UAVs and Aerial Robots using Topological Manifolds

उड़ने वाली मशीनें जो हवा में मंडराती हैं और तेजी से चलती हैं, एक परिचित दृश्य बन गई हैं, जैसे शहरों के ऊपर मंडराते डिलीवरी ड्रोन से लेकर पुलों का निरीक्षण करने वाले स्वायत्त रोबोट तक। इन मशीनों को सुरक्षित और कुशलता से चलाने के लिए, इंजीनियर उन गणितीय मॉडलों पर भरोसा करते हैं जो यह भविष्यवाणी करते हैं कि वे कैसे व्यवहार करेंगी। दशकों से, ड्रोन के पथ की योजना बनाने का मानक तरीका पूरे वाहन को अंतरिक्ष में तैरते हुए एक एकल, भारहीन बिंदु (डॉट) के रूप में मानना रहा है। यह "पॉइंट-मास" (बिंदु-द्रव्यमान) दृष्टिकोण इस तथ्य की अनदेखी करता है कि एक वास्तविक ड्रोन का एक भौतिक आकार होता है, जिसमें विशिष्ट दिशाओं में मोटर और भुजाएं निकली होती हैं। हालांकि इस सरलीकरण ने शुरुआती गणनाओं को संभव बनाया, लेकिन यह मानता है कि यदि ड्रोन का केंद्र एक अंतराल से गुजर सकता है, तो पूरी मशीन उसका अनुसरण कर सकती है। वास्तव में, एक ड्रोन का आकार और उसके घूमते हुए प्रोपेलर के बीच की निश्चित दूरी उतनी ही महत्वपूर्ण है जितना कि उसका केंद्र बिंदु। यदि ड्रोन बहुत चौड़ा है, तो वह दीवार से टकरा जाएगा, भले ही उसका केंद्र सैद्धांतिक रूप से गुजर सकता हो।

हैदराबाद के बिरला इंस्टीट्यूट ऑफ टेक्नोलॉजी एंड साइंस के शोधकर्ताओं ने एक नया गणितीय ढांचा विकसित किया है जो इस चूक को ठीक करता है। ड्रोन को एक एकल बिंदु के रूप में मानने के बजाय, वे इसे कई निश्चित बिंदुओं से बनी एक कठोर, सपाट आकृति के रूप में मॉडल करते हैं, जो मोटरों की वास्तविक स्थितियों का प्रतिनिधित्व करते हैं। यह दृष्टिकोण उन्हें न केवल यह ट्रैक करने की अनुमति देता है कि ड्रोन का केंद्र कहाँ जाता है, बल्कि यह भी कि जब वाहन झुकता है, मुड़ता है और यात्रा करता है, तो प्रत्येक मोटर वास्तव में कैसे चलती है। ऐसा करके, वे देख सकते हैं कि क्या एक नियोजित पथ किसी विशिष्ट ड्रोन डिजाइन के लिए वास्तव में संभव है, बजाय इसके कि केवल यह मान लिया जाए कि यह किसी भी ड्रोन के लिए काम करेगा जो उसी केंद्र-बिंदु पथ में फिट बैठता है। उनका कार्य, जो एक शोध लेख के रूप में प्रकाशित हुआ है, यह सुझाव देता है कि ड्रोन के भौतिक आयामों की अनदेखी करने से ऐसे प्लान बन सकते हैं जो कंप्यूटर स्क्रीन पर तो एकदम सही दिखते हैं लेकिन वास्तविकता में उड़ना असंभव होता है।

इस नई पद्धति का मूल आधार ड्रोन की गति को एक "टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड" (topological manifold) पर मैप करना है, जो अनिवार्य रूप से एक गणितीय सतह है जो ड्रोन के हिस्सों के बीच की निश्चित दूरियों को बनाए रखती है। कल्पना कीजिए कि एक ड्रोन चार कोनों पर लगे चार मोटरों वाला एक सपाट, कठोर प्लेट है। ड्रोन चाहे कैसे भी घूमे या उड़े, उन कोनों के बीच की दूरी कभी नहीं बदलती। शोधकर्ताओं ने एक ऐसी प्रणाली बनाई जो इस नियम का हर कदम पर सम्मान करती है। उन्होंने समीकरण बनाए जो ड्रोन के केंद्र के लिए एक सुचारू पथ लेते हैं और स्वचालित रूप से गणना करते हैं कि प्लेट को कठोर बनाए रखने के लिए प्रत्येक चार मोटरों को कौन सा सटीक पथ अपनाना होगा। इसका अर्थ यह है कि यदि ड्रोन एक तरफ झुकता है, तो मॉडल तुरंत जान जाता है कि बाएं हाथ की मोटर को दाएं हाथ की मोटर की तुलना में थोड़ा अलग तरीके से चलना होगा, भले ही ड्रोन का केंद्र एक सीधी रेखा में चल रहा हो।

अपने अध्ययन में, टीम ने एक विशिष्ट मिशन प्रोफाइल के माध्यम से उड़ने वाले ड्रोन का अनुकरण (सिमुलेशन) करके इस विचार का परीक्षण किया। ड्रोन जमीन से शुरू हुआ, 50 मीटर की ऊंचाई तक चढ़ा, 200 मीटर आगे बढ़ा और फिर नीचे उतरा। उन्होंने अपने नए तरीके की तुलना पारंपरिक पॉइंट-मास दृष्टिकोण से की। परिणामों ने दिखाया कि जबकि ड्रोन का केंद्र दोनों मॉडलों में बिल्कुल एक ही पथ का अनुसरण करता था, व्यक्तिगत मोटरें बहुत अलग तरह से व्यवहार करती थीं। नए मॉडल में, मोटरों ने अनूठे, जटिल वक्र (curves) बनाए जो ड्रोन के रोटेशन और भौतिक आकार को ध्यान में रखते थे। शोधकर्ताओं ने पाया कि मोटर स्तर पर गति, त्वरण और बल में अचानक परिवर्तन (जिसे जर्क कहा जाता है) उस मॉडल से काफी भिन्न थे जो पॉइंट-मास मॉडल द्वारा अनुमानित था। यह अंतर महत्वपूर्ण है क्योंकि मोटरें ही वे हिस्से हैं जो वास्तव में ड्रोन को धकेलती हैं; यदि उन्हें ऐसे तरीके से चलने के लिए कहा जाता है जो उनकी भौतिक सीमाओं से बाहर हो, तो ड्रोन विफल हो जाएगा।

इस अंतर को सिद्ध करने के लिए, शोधकर्ताओं ने एक परिदृश्य का अनुकरण किया जहाँ दो अलग-अलग आकार के ड्रोनों को एक ही उड़ान पथ दिया गया। दोनों ड्रोन एक संकीर्ण बेलनाकार पाइप से गुजरने के लिए डिज़ाइन किए गए थे। पारंपरिक पॉइंट-मास मॉडल, जो केवल केंद्र को देखता है, ने भविष्यवाणी की कि दोनों ड्रोन यात्रा कर सकते हैं क्योंकि उनके केंद्र इतने छोटे थे कि वे फिट हो सकते थे। हालांकि, नए मॉडल ने खुलासा किया कि बड़ा ड्रोन पाइप की दीवारों से टकरा जाएगा। भले ही उसका केंद्र गुजर सकता था, लेकिन उसके चौड़े शरीर और मोटरों के बीच की निश्चित दूरी का मतलब था कि वह भौतिक रूप से फिट नहीं हो सकता था। इस सिमुलेशन ने पुराने तरीके की एक गंभीर खामी को उजागर किया: यह वाहन के भौतिक आयतन (bulk) का हिसाब नहीं रख सकता। नया ढांचा, वास्तविक आकार को ट्रैक रखकर, सही ढंग से पहचान सका कि बड़े ड्रोन का पथ असंभव था, जिससे संभावित दुर्घटना होने से पहले ही उसे रोका जा सका।

अध्ययन ने यह भी पता लगाया कि ड्रोन का आकार उसकी उड़ान की सुगमता को कैसे प्रभावित करता है। शोधकर्ताओं ने एक ही केंद्र-बिंदु पथ का पालन करते हुए, तीन-मोटर वाले छोटे डिजाइन से लेकर आठ-मोटर वाले बड़े संस्करण तक, विभिन्न आकारों के ड्रोनों के साथ सिमुलेशन चलाया। उन्होंने ड्रोनों के लिए "वक्रता" (curvature), यानी पथ कितनी तीव्रता से मुड़ता है, को मापा। उन्होंने पाया कि जैसे-जैसे ड्रोन बड़ा होता गया, मोटरों द्वारा बनाए गए पथ अधिक घुमावदार और कठिन होते गए, भले ही ड्रोन का केंद्र उसी सुचारू रूप से चलता रहा। सबसे छोटे ड्रोन के लिए, मोटर अपेक्षाकृत सौम्य वक्र का पालन करती थीं। सबसे बड़े ड्रोन के लिए, मोटरों को बहुत तीखे मोड़ लेने पड़े। इसका अर्थ है कि एक छोटा ड्रोन जिसके लिए उड़ान की योजना आसान है, वह एक बड़े ड्रोन के लिए बहुत कठिन हो सकती है, क्योंकि बड़े मशीन के बाहरी हिस्से को एक व्यापक चाप (arc) के माध्यम से घूमना पड़ता है। नया मॉडल इस वास्तविकता को पकड़ता है, जिससे इंजीनियर यह जांच सकते हैं कि क्या एक विशिष्ट ड्रोन डिजाइन वास्तव में एक निर्धारित मार्ग को संभाल सकता है।

ड्रोन को एकल बिंदु के बजाय निश्चित बिंदुओं के संग्रह के रूप में मानकर, शोधकर्ताओं ने एक ऐसा उपकरण बनाया है जो उच्च-स्तरीय योजना (high-level planning) और निम्न-स्तरीय नियंत्रण (low-level control) के बीच के अंतर को पाटता है। यह दृष्टिकोण सुनिश्चित करता है कि मोटरों को भेजे जाने वाले निर्देश भौतिक रूप से संभव हों। यह रोटेशन को वर्णित करने के विभिन्न तरीकों के बीच जटिल, त्रुटिपूर्ण रूपांतरणों की आवश्यकता को समाप्त करता है, जो अक्सर 'सिंगुलैरिटीज़' (singularities) नामक गणितीय त्रुटियों का कारण बनते हैं। इसके बजाय, सिस्टम पूरी तरह से मानक त्रि-आयामी निर्देशांकों (3D coordinates) के साथ काम करता है, जिससे यह अधिक मजबूत और इन मशीनों को उड़ाने वाले कंप्यूटरों पर लागू करना आसान हो जाता है। शोधकर्ताओं ने प्रदर्शित किया कि यह विधि किसी भी संख्या में मोटरों के लिए काम करती है, चाहे उसमें तीन, चार, छह या आठ मोटर हों, जो आज विकसित हो रहे हवाई रोबोटों की बढ़ती विविधता के लिए एक बहुमुखी समाधान है।

इस कार्य के निहितार्थ स्वायत्त उड़ान की सुरक्षा और विश्वसनीयता तक विस्तृत हैं। जैसे-जैसे ड्रोन गोदामों, जंगलों या शहरी गलियों जैसे जटिल वातावरण में तैनात किए जा रहे हैं, त्रुटि की गुंजाइश कम होती जा रही है। एक योजना प्रणाली जो वाहन के भौतिक आकार की अनदेखी करती है, वह उससे टक्कर होने का जोखिम उठाती है। नया ढांचा यह सत्यापित करने का एक तरीका प्रदान करता है कि पथ न केवल एक बिंदु के लिए सैद्धांतिक रूप से संभव है, बल्कि वास्तविक मशीन के लिए भी भौतिक रूप से संभव है। शोधकर्ता सुझाव देते हैं कि इस विधि को मौजूदा उड़ान नियंत्रण प्रणालियों में सुरक्षा की एक अतिरिक्त परत के रूप में एकीकृत किया जा सकता है, जो ड्रोन को नियंत्रित करने के मौलिक तरीके को बदले बिना वास्तविक समय में बाधाओं की जांच करती है। हालांकि वर्तमान कार्य कंप्यूटर सिमुलेशन पर आधारित है, लेकिन गणितीय आधार ठोस है, और टीम भविष्य में इन विचारों को वास्तविक हार्डवेयर पर परीक्षण करने की योजना बना रही है।

अंततः, यह शोध इस बात पर हमारे दृष्टिकोण को बदल देता है कि हम उड़ने वाले रोबोटों के बारे में कैसे सोचते हैं। यह ड्रोन को एक अदृश्य बिंदु के रूप में मानने की सुविधाजनक लेकिन गलत धारणा से हटकर, एक ठोस वस्तु के रूप में स्वीकार करता है जिसका एक विशिष्ट आकार है। ऐसा करके, यह सुनिश्चित करता है कि हम जो पथ नियोजित करते हैं, वे वे पथ हैं जिन्हें मशीन वास्तव में उड़ाई जा सकती है। निष्कर्ष बताते हैं कि स्वायत्त ड्रोनों को वास्तविक दुनिया में सुरक्षित रूप से संचालित करने के लिए, उनके प्लानिंग सॉफ्टवेयर को उनके स्वयं के ज्यामिति (geometry) को समझना चाहिए। यह भविष्यवाणी करने की क्षमता कि मशीन का प्रत्येक हिस्सा वास्तव में कैसे चलेगा, उनके भौतिक आयामों के आधार पर, स्वायत्त उड़ान को अधिक विश्वसनीय और सक्षम बनाने की दिशा में एक महत्वपूर्ण कदम है।