Mimetic Spectral Element advection

Technisches Resümee: Mimetische Spektrale Element-Advektion

Problemstellung

Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der numerischen Diskretisierung der linearen Advektionsgleichung für Differentialformen auf beschränkten Gebieten. Das klassische skalare Advektionsproblem, $\partial_t \rho + \nabla \cdot (v\rho) = 0$, wird innerhalb eines differentialgeometrischen Rahmens wie folgt generalisiert:
$$\frac{\partial \alpha^{(k)}}{\partial t} + \mathcal{L}_v \alpha^{(k)} = 0$$
wobei $\alpha^{(k)}$ eine $k$-Differentialform ist (die je nach $k$ Skalare, Vektoren oder höherdimensionale Größen darstellt), $v$ ein vorgegebenes Lipschitz-stetiges Geschwindigkeitsfeld ist und $\mathcal{L}_v$ die Lie-Ableitung bezeichnet. Die Herausforderung besteht darin, eine Diskretisierung zu entwickeln, welche die zugrunde liegenden geometrischen Strukturen der physikalischen Gesetze bewahrt, lokale Massenerhaltung gewährleistet und eine spektrale Genauigkeit erreicht, während gleichzeitig zwischen Größen unterschieden wird, die zu spezifischen Zeitinstanzen ausgewertet werden, und solchen, die über Zeitintervalle integriert werden.

Methodik

Die vorgeschlagene Methode, Mimetische Spektrale Element-Advektion, erweitert den in der vorangegangenen Arbeit [4] etablierten mimetischen Rahmen durch die Einbeziehung der Lie-Ableitung mittels der Cartan-Homotopieformel. Der Ansatz basiert auf drei Kernsäulen:

1. Differentialgeometrische Fundierung
Die Methode nutzt die Sprache der Differentialformen. Die Lie-Ableitung $\mathcal{L}_v$ wird unter Verwendung der Cartan-Homotopieformel ausgedrückt:
$$\mathcal{L}_v \alpha^{(k)} = d\iota_v \alpha^{(k)} + \iota_v d\alpha^{(k)}$$
Ein entscheidender Aspekt der Formulierung ist die Adjungiertheit des Innenprodukts mit dem Wedder-Produkt, definiert über das $L^2$-Skalarprodukt:
$$(\iota_v \alpha^{(k)}, \beta^{(k-1)})_{L^2} = (\alpha^{(k)}, v^\flat \wedge \beta^{(k-1)})_{L^2}$$
Diese Dualität ermöglicht es, physikalische Größen, die durch Innenprodukte repräsentiert werden, auf ihre dualen differentiellen 1-Formen abzubilden.

2. Räumliche Diskretisierung (Mimetische Spektrale Elemente)
Das räumliche Gebiet wird mittels eines Zellkomplexes diskretisiert, der aus Punkten, Liniensegmenten, Flächen und Volumina besteht. Der Raum der glatten $k$-Formen wird durch einen endlichen Raum $\Lambda_h^k$ approximiert, der von Basisfunktionen $\epsilon_i^{(k)}$ aufgespannt wird.

• Konstruktion der Basisfunktionen: Die Basisfunktionen werden mittels stückweise polynomieller Expansionen (Tensorprodukte) auf Quadrilateral-Elementen konstruiert. In 1D werden 0-Formen durch Lagrange-Polynome dargestellt, die an Gauss-Lobatto-Knoten ausgewertet werden, während 1-Formen durch „Kantenpolynome“ repräsentiert werden, die so hergeleitet wurden, dass sie spezifische Integraleigenschaften erfüllen.
• Kommutierender Projektionsoperator: Ein Projektionsoperator $\pi_h$ wird definiert, der mit der äußeren Ableitung kommutiert ($\pi_h d = d \pi_h$). Dies stellt sicher, dass die diskrete äußere Ableitung $d_h$ durch Inzidenzmatrizen repräsentiert wird, die nur Werte aus der Menge $\{0, 1, -1\}$ enthalten, wodurch die topologische Struktur der kontinuierlichen Operatoren bewahrt wird.

3. Zeitliche Diskretisierung (Kanonischer Mimetischer Integrator)
Die Zeitintegration verwendet einen beliebigen Ordnungs-symplektischen Operator, der aus kanonischen Gauss-Kollokationsintegratoren [5] abgeleitet ist.

• Gestaffelte Zeitknoten: Die Methode unterscheidet zwischen zwei Sätzen von Zeitknoten:
  • Gauss-Lobatto-Knoten ($t_k$): An denen die Lösungsvariablen (z. B. $\rho$) definiert sind.
  • Gauss-Knoten ($\tilde{t}_q$): An denen die Zeitableitungen (Flüsse) ausgewertet werden.
• Diskrete Evolution: Diese Staffelung führt zu einem diskreten Integrator, bei dem die Änderung der Lösung über ein Intervall mit dem Fluss an den internen Gauss-Knoten gleichgesetzt wird. Diese Struktur spiegelt Leap-Frog-Verfahren und die implizite Mittelwertregel wider und gewährleistet somit symplektische Eigenschaften.

4. Diskretes Innenprodukt
Das Innenprodukt $\iota_v$ wird diskretisiert, indem die Dualitätsparung (Gleichung 16) im diskreten Setting erzwungen wird. Dies führt zu einem System, in dem die diskreten Flüsse durch Lösen eines linearen Systems berechnet werden, welches die Skalarprodukte der Basisfunktionen und des Geschwindigkeitsfeldes beinhaltet.

Zentrale Beiträge

• Geometrische Konsistenz: Das Schema bezieht die Lie-Ableitung explizit unter Verwendung der Cartan-Formel ein, wodurch sichergestellt wird, dass die Diskretisierung die metrikfreie Darstellung differentieller Operatoren und ihrer Hilbert-Adjugierten respektiert.
• Spektrale Genauigkeit: Die Methode verwendet hochgradige Polynom-Basisfunktionen, was eine spektrale Konvergenz im Raum ermöglicht.
• Lokale Massenerhaltung: Die Verwendung von Inzidenzmatrizen und die spezifische Struktur der diskreten äußeren Ableitung garantieren die lokale Massenerhaltung.
• Zeitliche Differenzierung: Das Framework trennt rigoros zwischen Größen, die zu Zeitinstanzen ausgewertet werden, und solchen, die über Intervalle integriert werden, indem ein gestaffeltes Zeitgitter verwendet wird, um eine hochordentliche symplektische Integration zu erreichen.

Numerische Ergebnisse

Die Autoren präsentieren numerische Experimente auf 2D-Gebieten mit periodischen Randbedingungen, wobei die Advektion von Sinuswellen und Sinus-Glocken in konstanten sowie in Rudman-Vortex-Geschwindigkeitsfeldern getestet wird.

• Konvergenz: Die Methode zeigt eine algebraische $h$-Konvergenz der Ordnung $(p+1)$ sowie eine spektrale $p$-Konvergenz, vorausgesetzt, dass der Fehler der Zeitintegration nicht den räumlichen Fehler dominiert.
• Genauigkeit der Zeitintegration: Der Fehler der Lösung ist abhängig von der Ordnung des Zeitintegrationsschemas ($p_t$). Wenn das Zeitschema ausreichend genau ist, bleibt der ursprüngliche Diskretisierungsfehler erhalten; andernfalls nimmt künstliche Dispersion über die Zeit zu.
• Massenerhaltung: Der Gesamtmassenfehler liegt für die ersten $10^3$ Zeitschritte bei Maschinennull und bleibt auch nach $2 \times 10^4$ Schritten unter $10^{-12}$, was exzellente Erhaltungseigenschaften demonstriert.
• Reversibilität: Ein Test, der die Advektion einer Sinuswelle in einem Rudman-Vortex und die anschließende Umkehrung der Strömungsrichtung umfasst, zeigt, dass die Methode die ursprüngliche Lösung wiederherstellen kann, was die Reversibilität der Integrationsmethode beweist.
• Künstliche Dispersion: Die Arbeit stellt fest, dass die künstliche Dispersion eine Funktion der Ordnung der Zeitintegration ist; Verfahren niedrigerer Ordnung führen Dispersionfehler ein, die von der Frequenz der advehierten Welle abhängen.

Bedeutung und Ansprüche

Das Paper behauptet, dass das abgeleitete Schema erfolgreich spektrale Genauigkeit mit lokaler Massenerhaltung innerhalb eines physikkompatiblen (mimetischen) Rahmens kombiniert. Durch die Erweiterung des mimetischen Rahmens zur Einbeziehung der Lie-Ableitung mittels der Cartan-Homotopieformel liefern die Autoren eine Diskretisierung, welche die geometrische Struktur der Advektionsgleichung verdeutlicht. Die Methode wird als robuster Ansatz zur Lösung von Advektionsproblemen präsentiert, bei denen die Bewahrung der zugrunde liegenden geometrischen und topologischen Eigenschaften der physikalischen Gesetze essenziell ist. Die Autoren merken bescheiden an, dass die räumliche Diskretisierung zwar hochgradig genau ist, die Gesamtgenauigkeit und die Dispersionscharakteristika jedoch von der Ordnung des verwendeten Zeitintegrationsschemas abhängen.