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A root finding method with arbitrary order of convergence

Die vorliegende Arbeit stellt ein neues Verfahren zur Berechnung der $M$ -ten Wurzel von $a$ vor, das durch die Verwendung einer speziellen Fixpunktfunktion auf Basis von Polynomen eine beliebige Konvergenzordnung ermöglicht.

Ursprüngliche Autoren: Alois Schiessl

Veröffentlicht 2026-02-10

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CC BY 4.0

Ursprüngliche Autoren: Alois Schiessl

Originalarbeit lizenziert unter CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dies ist eine KI-generierte Erklärung des untenstehenden Papers. Sie wurde nicht von den Autoren verfasst oder gebilligt. Für technische Genauigkeit konsultieren Sie das Originalpaper. Vollständigen Haftungsausschluss lesen

Das Problem: Die Suche nach der perfekten Wurzel

Stell dir vor, du hast eine riesige, unebene Landschaft und suchst in dieser Gegend nach dem exakten tiefsten Punkt eines Tals. In der Mathematik nennen wir das „Wurzelberechnung“. Wenn wir zum Beispiel die Wurzel aus 2 suchen, suchen wir nach der Zahl, die mit sich selbst multipliziert genau 2 ergibt.

Bisher haben Mathematiker oft die „Newton-Methode“ benutzt. Stell dir Newton wie einen Wanderer vor, der mit einem Stab den Boden vor sich abtastet. Er merkt: „Ah, es geht hier bergab, ich muss in diese Richtung gehen.“ Das funktioniert super, aber der Wanderer ist ein bisschen stur: Er macht immer nur einen Schritt nach dem anderen, basierend auf der Steigung, die er gerade unter seinen Füßen spürt. Das ist effizient, aber man kann die Geschwindigkeit nicht einfach „hochschalten“.

Die neue Idee: Der „Turbo-Wanderer“ (Das Paper)

Der Autor Alois Schiessl hat nun ein neues Verfahren erfunden. Anstatt nur den Boden vor den Füßen abzutasten, nutzt er eine mathematische „Superkraft“.

Die Analogie: Vom Wanderer zum Satelliten

Stell dir vor, du willst nicht mehr nur mit einem Stab den Boden abtasten (Newton), sondern du schickst einen hochmodernen Satelliten hoch. Dieser Satellit schaut sich nicht nur die Steigung an, sondern er berechnet die gesamte Form des Tals mit einer extrem präzisen mathematischen Formel (einem sogenannten Polynom).

Das Besondere an diesem Satelliten ist: Du kannst ihn tunen.

In der alten Methode (Newton) war die Geschwindigkeit (die Konvergenzordnung) fest auf „2“ eingestellt. Das heißt: Bei jedem Schritt verdoppelt sich die Anzahl der richtigen Nachkommastellen. Das ist gut, aber nicht alles.

Schiessls Methode erlaubt es dir, einen Regler zu drehen. Er nennt das die „beliebige Konvergenzordnung“.

Drehst du den Regler auf „3“, verdreifacht sich die Genauigkeit pro Schritt.
Drehst du ihn auf „4“, vervierfacht sie sich.
Du kannst den Regler theoretisch so hoch drehen, wie dein Computer es schafft.

Wie funktioniert das „Tuning“? (Die Mathematik vereinfacht)

Der Autor nutzt ein mathematisches Werkzeug namens Integral. Man kann sich das Integral wie eine Art „Flächen-Scanner“ vorstellen. Er nimmt die Funktion, die das Tal beschreibt, und „scannt“ sie mit einer speziellen Formel ab. Durch diesen Scan entsteht ein mathematisches Modell (das Polynom), das so perfekt auf den tiefsten Punkt zugeschnitten ist, dass man mit jedem Schritt gigantische Sprünge in der Genauigkeit macht.

Der Beweis: Was bringt das in der Praxis?

Das Paper zeigt zwei beeindruckende Beispiele:

Die kleine Aufgabe: Er berechnet eine Wurzel ganz normal und zeigt, dass es funktioniert.
Die Monster-Aufgabe: Er wollte die Wurzel aus 2 auf eine Million Nachkommastellen genau berechnen.

Mit der alten Methode hätte das ewig gedauert. Aber mit seinem „Turbo-Modus“ (Konvergenzordnung 4) hat sein Computer das Ganze in nur 3 Sekunden erledigt! Während der normale Wanderer mühsam Schritt für Schritt bergab kriecht, ist der Satellit mit seinem Turbo-Modus quasi mit einem Teleportations-Gerät direkt am Ziel gelandet.

Zusammenfassung für den Stammtisch

Was wurde gemacht? Eine neue Art, Wurzeln zu berechnen.
Was ist der Clou? Man kann die Geschwindigkeit der Berechnung selbst bestimmen („Tuning“).
Warum ist das cool? Man kann extrem präzise Ergebnisse (wie eine Million Stellen einer Zahl) in Sekundenbruchteilen erreichen, anstatt Stunden oder Tage zu warten.

Es ist, als hätte man das Fahrrad gegen einen Raketenantrieb getauscht, bei dem man selbst entscheiden kann, wie viel Treibstoff man in den Motor pumpt.

Technische Zusammenfassung: Ein iteratives Wurzelberechnungsverfahren mit beliebiger Konvergenzordnung

Autor: Alois Schiessl (Universität Regensburg)
Datum: 10. Februar 2026

1. Problemstellung

Das Ziel der Arbeit ist die effiziente Berechnung des $M$ -ten Grades einer reellen positiven Zahl $a$ (also $\sqrt[M]{a}$ ). Klassische Verfahren wie das Newton-Verfahren zur Lösung der Gleichung $f(x) = x^M - a = 0$ konvergieren zwar quadratisch (Konvergenzordnung 2), sind jedoch in ihrer Ordnung auf diesen Wert beschränkt. Die Herausforderung besteht darin, ein Verfahren zu entwickeln, das eine beliebige Konvergenzordnung $(P+1)$ erreicht und dabei ausschließlich auf Polynomauswertungen basiert, um die numerische Effizienz zu maximieren.

2. Methodik

Der Autor schlägt ein neues Verfahren vor, das auf einer speziellen Fixpunktiteration basiert.

Die Fixpunktfunktion: Anstatt direkt $x^M - a$ zu verwenden, wird die Funktion $f(t) = 1 - \frac{t^M}{a}$ betrachtet. Daraus wird eine Fixpunktfunktion $F(x)$ definiert, die durch ein Integral über die $P$ -te Potenz von $f(t)$ konstruiert wird:
$F(x) = \left( \prod_{\ell=1}^{P} \left( 1 + \frac{1}{\ell \cdot M} \right) \right) x \int_{0}^{x} \left( 1 - \frac{t^M}{a} \right)^P dt$
Polynomielle Reduktion: Durch Anwendung des Binomialsatzes auf den Integranden und anschließende Integration lässt sich $F(x)$ als ein Polynom der Form $F(x) = \sum_{k=0}^{P} c_k \cdot x^{k \cdot M + 1}$ darstellen. Die Koeffizienten $c_k$ sind vorab berechenbar und hängen nur von $a, M$ und $P$ ab.
Iterative Anwendung: Die Annäherung an die Wurzel erfolgt durch die Folge $x_{n+1} = F(x_n)$ .

3. Zentrale Beiträge und mathematische Beweise

Die Arbeit liefert die theoretische Fundierung für die Effektivität des Verfahrens durch drei Hauptbeweise:

Fixpunkt-Eigenschaft: Es wird mittels der Beta- und Gamma-Funktionen bewiesen, dass $\sqrt[M]{a}$ ein Fixpunkt von $F(x)$ ist, also $F(\sqrt[M]{a}) = \sqrt[M]{a}$ .
Ableitungen im Fixpunkt: Es wird gezeigt, dass die ersten $P$ Ableitungen von $F(x)$ am Fixpunkt verschwinden ( $F^{(k)}(\sqrt[M]{a}) = 0$ für $1 \le k \le P$ ). Dies ist die mathematische Voraussetzung für eine hohe Konvergenzordnung.
Konvergenzordnung: Mittels Taylor-Reihenentwicklung wird bewiesen, dass die Konvergenzordnung exakt $P+1$ beträgt. Das bedeutet, dass mit jeder Iteration die Anzahl der korrekten Dezimalstellen etwa um den Faktor $P+1$ steigt.

4. Ergebnisse und numerische Tests

Der Autor validiert die Theorie durch zwei praktische Anwendungsbeispiele:

Berechnung von $\sqrt[3]{10}$ mit $P=1$ : Hier wird eine quadratische Konvergenz (Ordnung 2) demonstriert, wobei sich die Genauigkeit pro Schritt verdoppelt.
Berechnung von $\sqrt{2}$ mit $P=3$ : Dies ist der beeindruckendste Test. Durch die Wahl von $P=3$ wird eine Konvergenzordnung von 4 erreicht. Innerhalb von nur 9 Iterationen konnte die Zahl $\sqrt{2}$ mit einer Genauigkeit von über einer Million Dezimalstellen berechnet werden. Die Berechnung dauerte auf einem Standard-PC (AMD Ryzen 5) lediglich etwa 3 Sekunden.

5. Bedeutung und Signifikanz

Die Arbeit leistet einen wichtigen Beitrag zur numerischen Analysis durch:

Flexibilität: Die Konvergenzordnung ist nicht fix, sondern kann durch die Wahl von $P$ nach Belieben gesteuert werden.
Recheneffizienz: Da das Verfahren auf Polynom-Evaluierungen (z. B. mittels Horner-Schema) basiert, ist es hochgradig optimierbar für moderne Computerarchitekturen.
Präzision: Das Verfahren eignet sich hervorragend für Anwendungen, die eine extrem hohe numerische Präzision erfordern, da die Anzahl der benötigten Iterationen bei steigendem $P$ drastisch sinkt.