Holographic pressure and volume for black holes

Dieser Artikel schlägt eine holographische Definition des thermodynamischen Drucks und Volumens für Schwarze Löcher auf der Grundlage der quasilokalen Gravitationsthermodynamik vor und zeigt, dass dieser Rahmen eine konsistente Definition der Extensivität sowie einen Grenzfall großer Systeme ermöglicht, in dem sowohl Schwarzschild- als auch Anti-de-Sitter-Schwarze Löcher von nicht-extensivem zu extensivem Verhalten übergehen.

Das Wesentliche

Die große Idee: Schwarze Löcher brauchen einen „Raum", um gemessen zu werden

Stellen Sie sich vor, Sie versuchen, die Temperatur und den Druck eines Gases in einem Ballon zu messen. In der normalen Physik können Sie leicht sagen: „Dieses Gas hat ein bestimmtes Volumen (die Größe des Ballons) und einen bestimmten Druck (wie stark es gegen die Wände drückt)."

Aber lange Zeit hatten Physiker große Schwierigkeiten, dies mit schwarzen Löchern zu tun. Ein schwarzes Loch ist ein Bereich des Raums, in dem die Schwerkraft so stark ist, dass nichts entkommen kann. Als Physiker versuchten, die „Gesetze der Thermodynamik" (die Regeln für Wärme und Energie) für schwarze Löcher aufzuschreiben, fehlte etwas. Die Standardgleichung für ein schwarzes Loch sah so aus:

Änderung der Energie = Temperatur × Änderung der Entropie

Vergleichen Sie das mit einem normalen Gas, das so aussieht:

Änderung der Energie = Temperatur × Änderung der Entropie − Druck × Änderung des Volumens

Der Gleichung für das schwarze Loch fehlte der Teil mit Druck und Volumen. Es war, als würde man versuchen, einen Automotor zu beschreiben, ohne Benzin oder Kolben zu erwähnen. Darüber hinaus waren die Wissenschaftler verwirrt darüber, ob schwarze Löcher „extensiv" sind. Einfach ausgedrückt bedeutet „extensiv", dass man, wenn man die Größe eines Systems verdoppelt, auch seine Energie verdoppelt. Wenn man die Größe eines Raumes voller Luft verdoppelt, erhält man doppelt so viel Luft und doppelt so viel Energie. Aber bei schwarzen Löchern schien diese Regel zu brechen.

Die Lösung: Der „holographische" Raum

Die Autoren dieses Papiers schlagen eine neue Art vor, schwarze Löcher zu betrachten. Sie schlagen vor, aufzuhören, das schwarze Loch als isoliertes Objekt im leeren Raum zu betrachten, und stattdessen daran zu denken, dass es in einem endlichen Raum (einer Grenze) eingeschlossen ist.

Die Analogie:
Stellen Sie sich ein schwarzes Loch als eine heiße Suppe vor.

• Alte Sichtweise: Wir haben nur die Suppe selbst betrachtet und die Schüssel, in der sie ist, ignoriert. Wir konnten den Druck nicht messen, weil wir keinen Behälter hatten.
• Neue Sichtweise (dieses Papier): Wir geben die Suppe in eine starre, kugelförmige Schüssel. Jetzt drückt die Suppe gegen die Wände der Schüssel. Das „Volumen" des Systems ist nicht die Suppe selbst; es ist die Oberfläche der Schüssel. Der „Druck" ist, wie stark die Suppe gegen diese Schüssel drückt.

Die Autoren verwenden ein Konzept namens Holographie. Dies ist die Idee, dass sich alle physikalischen Vorgänge innerhalb eines 3D-Raums (die Suppe) durch Physik beschreiben lassen, die auf der 2D-Oberfläche dieses Raums (der Schüssel) stattfindet.

• Die Oberfläche der Schüssel = Das Volumen des Systems.
• Der Druck auf die Schüssel = Der Druck des Systems.

Indem sie diese „Schüssel" verwenden (die Physiker eine „York-Grenze" nennen), können sie endlich die Gleichung für das schwarze Loch mit einem Druck- und Volumenterm aufschreiben, genau wie bei einem normalen Gas:

Änderung der Energie = Temperatur × Änderung der Entropie − Druck × Änderung des Volumens

Das Rätsel der „Extensivität": Kleine vs. große schwarze Löcher

Sobald sie eine korrekte Definition des Volumens hatten, stellten sie die Frage: „Sind schwarze Löcher extensiv?" (Das heißt: Wenn wir die Schüssel größer machen, skaliert die Energie dann ordnungsgemäß?)

Sie fanden heraus, dass die Antwort von zwei Dingen abhängt: der Art des schwarzen Lochs und wie groß die Schüssel ist.

1. Schwarze Löcher im flachen Raum (das „schwebende" schwarze Loch)

Stellen Sie sich ein schwarzes Loch im leeren Raum vor (ohne kosmologische Konstante).

• Das kleine schwarze Loch: Wenn Sie ein winziges schwarzes Loch in einer kleinen Schüssel haben, verhält es sich seltsam. Es ist nicht extensiv. Wenn Sie die Größe der Schüssel verdoppeln, verdoppelt sich die Energie nicht auf einfache Weise. Es ist wie ein kleiner, wackeliger Ballon, der den Regeln normaler Gase nicht folgt.
• Das große schwarze Loch: Wenn Sie ein riesiges schwarzes Loch in einer riesigen Schüssel haben, beginnt es, sich wie ein normales Gas zu verhalten. Es wird extensiv. Die Energie skaliert linear mit der Größe der Schüssel.
• Der Haken: Dies funktioniert nur, wenn man das System aus der „kanonischen" Perspektive betrachtet (bei festgehaltener Temperatur). Wenn man es aus der „Energie"-Perspektive betrachtet, verhält sich sogar das große schwarze Loch seltsam. Es ist wie ein Chamäleon, das sein Verhalten ändert, je nachdem, wie man es misst.

2. Schwarze Löcher im Anti-de-Sitter-Raum (AdS) (das „eingeschachtelte" schwarze Loch)

Stellen Sie sich nun ein schwarzes Loch in einem Universum vor, das sich natürlich nach innen krümmt (wie eine Schachtel mit elastischen Wänden).

• Das Ergebnis: Hier sind die Regeln viel freundlicher. Sowohl die kleinen als auch die großen schwarzen Löcher gelangen schließlich in einen Zustand, in dem sie extensiv sind, wenn die Schüssel sehr groß wird.
• Der „Casimir"-Effekt: Die Autoren fanden heraus, dass bei endlichen Größen ein „Korrektur"-Term existiert. Denken Sie daran wie an eine kleine Gebühr, die Sie zahlen müssen, um einen großen Konzertsaal zu betreten. Wenn der Saal winzig ist, ist die Gebühr im Vergleich zum Ticketpreis riesig. Aber wenn der Saal riesig wird, wird die Gebühr vernachlässigbar, und der Ticketpreis (die Energie) skaliert perfekt mit der Größe des Saals. Diese „Gebühr" ist eine sub-extensive Korrektur, die im Grenzfall eines sehr großen Systems verschwindet.

Die „Smarr-Formel" und das fehlende Stück

Das Papier untersucht auch eine alte Gleichung namens Smarr-Formel neu, die die Masse, Temperatur und Größe eines schwarzen Lochs in Beziehung setzt.

• Alte Sichtweise: Wissenschaftler glaubten, dass die zusätzlichen Terme in dieser Gleichung eine neue Art von „Druck" vom Universum selbst darstellten (die kosmologische Konstante).
• Neue Sichtweise: Die Autoren argumentieren, dass dieser zusätzliche Term kein neuer Druck ist. Stattdessen ist es ein mathematischer Fehler, der durch die Endlichkeit des Systems verursacht wird. Es ist eine „Korrektur", die uns sagt, dass das System noch nicht perfekt extensiv ist. Wenn das System unendlich groß wird, verschwindet dieser Fehler, und die Standardregeln der Thermodynamik übernehmen.

Zusammenfassung der Ergebnisse

1. Wir brauchen eine Grenze: Um Druck und Volumen für schwarze Löcher zu definieren, müssen wir sie uns innerhalb einer endlichen Grenze (einer „Schüssel") vorstellen. Die Fläche dieser Schüssel fungiert als Volumen.
2. Flacher Raum ist knifflig: Schwarze Löcher im flachen Raum sind im Allgemeinen „nicht extensiv" (sie skalieren nicht einfach), insbesondere wenn sie klein sind. Sie verhalten sich nur dann „normal" (extensiv), wenn sie sehr groß sind und wir sie auf eine bestimmte Weise betrachten.
3. AdS-Raum ist netter: Schwarze Löcher im Anti-de-Sitter-Raum (mit einer kosmologischen Konstante) verhalten sich viel mehr wie normale Materie. Sie werden vollständig extensiv, wenn das System groß wird.
4. Die „Gebühr" verschwindet: Die seltsamen zusätzlichen Terme in den Gleichungen sind nur Korrekturen für endliche Größen. Sie verschwinden, wenn das System groß genug ist, und stellen die Standardgesetze der Thermodynamik wieder her.

Kurz gesagt argumentiert das Papier, dass schwarze Löcher verstanden werden können als normale thermodynamische Systeme mit Druck und Volumen, vorausgesetzt, wir hören auf, sie als unendliche Objekte im leeren Raum zu betrachten, und beginnen, sie als Systeme zu behandeln, die in einer endlichen Grenze eingeschlossen sind. Wenn wir dies tun, ergibt sich das seltsame, nicht-extensive Verhalten kleiner schwarzer Löcher, und die großen schwarzen Löcher offenbaren sich als völlig normale, extensive Systeme.

Technische Zusammenfassung

Technische Zusammenfassung: Holographischer Druck und Volumen für Schwarze Löcher

Problemstellung
Die Thermodynamik Schwarzer Löcher fehlt eine wohldefinierte Vorstellung von thermodynamischem Druck und Volumen, was zu konzeptionellen Unklarheiten bezüglich der Extensivität von Variablen Schwarzer Löcher führt. Standardformulierungen des ersten Hauptsatzes für Schwarzschild-Schwarze Löcher (z. B. $dM = T_H dS$) fehlen ein $PdV$-Arbeitsterm. Bestehende Vorschläge zur Definition eines thermodynamischen Volumens leiden unter erheblichen Einschränkungen:

1. Vorschlag von Padmanabhan: Definiert das Volumen als das naive euklidische Volumen, das vom Horizont eingeschlossen wird. Für statische, sphärisch symmetrische Schwarze Löcher hängen jedoch sowohl Entropie als auch Volumen ausschließlich vom Horizontradius ab, wodurch sie zu nicht-unabhängigen Variablen werden. Dies führt zu einem entarteten thermodynamischen Zustandsraum, in dem die fundamentale Gleichung schlecht definiert ist.
2. Erweiterte Thermodynamik Schwarzer Löcher (Schwarze-Loch-Chemie): Erhebt die kosmologische Konstante $\Lambda$ zu einem thermodynamischen Druck ($P_\Lambda = -\Lambda/8\pi G$). Obwohl dies einen konsistenten ersten Hauptsatz für AdS-Schwarze Löcher liefert, fällt das konjugierte Volumen mit dem naiven euklidischen Volumen zusammen, wodurch das Volumen erneut durch die Entropie festgelegt wird. Darüber hinaus ist die Behandlung von $\Lambda$ als Zustandsvariable konzeptionell problematisch, da sie die Theorie selbst verändert und nicht den Gleichgewichtszustand. Im holographischen Kontext entspricht die Variation von $\Lambda$ der Variation der zentralen Ladung der dualen konformen Feldtheorie (CFT) und nicht einem Standard-Thermodynamikprozess.

Folglich bleibt die Frage, ob die Entropie Schwarzer Löcher extensiv ist, ungeklärt, da Standarddefinitionen der Extensivität (Homogenität ersten Grades) ohne ein unabhängiges thermodynamisches Volumen nicht sinnvoll angewendet werden können.

Methodik
Die Autoren plädieren für eine holographische Definition von Druck und Volumen basierend auf der quasilokalen Gravitationsthermodynamik (York-Formalismus). Die Kernmethodik umfasst:

• Quasilokaler Rahmen: Betrachtung eines Schwarzen Lochs, das von einer endlichen zeitartigen Grenze (der „York-Grenze") umschlossen ist. In diesem Setting werden thermodynamische Variablen quasilokal definiert und nicht im Unendlichen.
• Holographische Identifikation: Unter Annahme einer holographischen Dualität zwischen der Gravitationstheorie im Volumen und einer nicht-gravitativen Quantentheorie, die auf der Grenze lebt. Die Autoren identifizieren die Grenzfläche $A$ als thermodynamisches Volumen $V$ und den konjugierten Oberflächendruck $s$ (abgeleitet aus dem Brown-York-Spannungstensor) als thermodynamischen Druck $P$.
  $$P \equiv s, \quad V \equiv A$$
• Kovarianter Phasenraum-Formalismus: Herleitung des quasilokalen ersten Hauptsatzes und einer neuen quasilokalen Smarr-Relation für AdS-Schwarzschild-Schwarze Löcher unter Verwendung des kovarianten Phasenraums (CPS). Dies ermöglicht eine rigorose Behandlung von Randtermen und Hintergrundsubtraktionen.
• Analyse der Extensivität: Untersuchung der Extensivität in zwei verschiedenen thermodynamischen Darstellungen:
  1. Darstellung der inneren Energie: $E(S, V)$, mit den unabhängigen Variablen Entropie $S$ und Volumen $V$.
  2. Kanonische Darstellung: $F(T, V)$, mit den unabhängigen Variablen Temperatur $T$ und Volumen $V$.
     Extensivität wird definiert als die Homogenität ersten Grades des thermodynamischen Potentials bezüglich der extensiven Variablen im Grenzfall großer Systeme ($V \to \infty$).

Hauptbeiträge und Ergebnisse

1. Herleitung quasilokaler Gesetze
Der Artikel leitet das quasilokale erste Gesetz für statische, sphärisch symmetrische Schwarze Löcher her:
$$dE = TdS - s dA$$
wobei $E$ die Brown-York-quasilokale Energie, $T$ die Tolman-Temperatur und $s$ der Oberflächendruck ist. Unter der holographischen Identifikation ($P=s, V=A$) ergibt sich daraus die Standardform des thermodynamischen Gesetzes $dE = TdS - PdV$. Entscheidend ist, dass $S$ und $V$ auch für Schwarzschild-Schwarze Löcher unabhängige Variablen sind, wodurch die Entartung früherer Vorschläge aufgelöst wird.

Die Autoren leiten zudem eine quasilokale Smarr-Relation für AdS-Schwarzschild-Schwarze Löcher her:
$$(d-3)E = (d-2)(TS - PV) - \frac{\Lambda \tilde{V}_\xi}{4\pi G N_B}$$
wobei $\tilde{V}_\xi$ ein hintergrundsubtrahiertes Killing-Volumen ist. Die Autoren interpretieren den letzten Term nicht als neues konjugiertes Paar (wie $P_\Lambda V_\Lambda$), sondern als eine subextensive Korrektur, die das Versagen der exakten Homogenität bei endlichem Volumen signalisiert.

2. Extensivität asymptotisch flacher Schwarzer Löcher

• Energiedarstellung: Die quasilokale Energie $E(S, V)$ ist nicht-extensiv, selbst im Grenzfall großer Volumina. Sie erfüllt eine quasihomogene Skalierungsrelation anstelle einer homogenen.
• Kanonische Darstellung: Das System zeigt zwei Zweige: kleine und große Schwarze Löcher.
  • Der Zweig der kleinen Schwarzen Löcher ist nicht-extensiv.
  • Der Zweig der großen Schwarzen Löcher wird im Grenzfall großer Volumina extensiv für die Helmholtz-Freie-Energie $F(T, V)$ (d. h. $F \propto V$). Die innere Energie $E(T, V)$ bleibt jedoch subextensiv.
• Fazit: Die Extensivität für asymptotisch flache Schwarze Löcher ist darstellungs- und zweigabhängig. Die Nicht-Extensivität in der Energiedarstellung deutet auf ein Hindernis für die Realisierung eines holographischen Duals der flachen Raumzeit-Gravitation als lokale Quantenfeldtheorie hin.

3. Extensivität von AdS-Schwarzschild-Schwarzen Löchern

• Energiedarstellung: Die quasilokale Energie zerfällt in einen subextensiven Teil und einen extensiven Teil $E_{ext}(S, V)$, der im Grenzfall großer Systeme dominiert. Die Autoren leiten einen expliziten Ausdruck in geschlossener Form für diese extensive Energie her:
  $$E_{ext}(S, V) = \frac{(d-2)V}{8\pi G L} \left( 1 - \sqrt{1 - \left(\frac{4GS}{V}\right)^{\frac{d-1}{d-2}}} \right)$$
  Diese Funktion ist homogen vom Grad eins. Im Grenzfall großer Systeme wird die Euler-Relation $E_{ext} = TS - PV$ wiederhergestellt.
• Kanonische Darstellung: Ähnlich wie im flachen Fall ist der Zweig der kleinen Schwarzen Löcher nicht-extensiv. Für den Zweig der großen Schwarzen Löcher werden jedoch sowohl die Helmholtz-Freie-Energie als auch die innere Energie im Grenzfall großer Volumina extensiv.
• Bedeutung: Im Gegensatz zum flachen Fall erlaubt die AdS-Gravitation ein thermodynamisches Regime (der Zweig der großen Schwarzen Löcher), in dem die Extensivität konsistent über verschiedene Darstellungen hinweg gilt. Dies steht im Einklang mit der Lokalität der dualen CFT.

4. Interpretation der AdS-Smarr-Formel
Der Artikel bietet eine thermodynamische Interpretation der AdS-Smarr-Formel, die sich von der „erweiterten Thermodynamik Schwarzer Löcher" unterscheidet. Der zusätzliche Term, der das Killing-Volumen beinhaltet, wird als endliche, subextensive Korrektur identifiziert (analog zu einer thermischen Casimir-Energie in der dualen CFT), die im Grenzfall großer Systeme verschwindet. Diese Interpretation vermeidet es, die kosmologische Konstante als thermodynamische Zustandsvariable zu behandeln.

Bedeutung und Behauptungen
Der Artikel behauptet, dass die quasilokale Gravitationsthermodynamik in Kombination mit dem holographischen Prinzip eine physikalisch sinnvolle und nicht-entartete Definition von Druck und Volumen für Schwarze Löcher liefert.

• Sie löst das Problem der Variablenunabhängigkeit und ermöglicht eine Standard-Thermodynamikanalyse der Extensivität.
• Sie zeigt, dass die Extensivität der Thermodynamik Schwarzer Löcher keine universelle Eigenschaft ist, sondern von der asymptotischen Struktur der Raumzeit (flach vs. AdS), der thermodynamischen Darstellung und dem spezifischen Gleichgewichtszweig (kleine vs. große Schwarze Löcher) abhängt.
• Die Nicht-Extensivität asymptotisch flacher Schwarzer Löcher in der Energiedarstellung wird als konkrete Einschränkung für jede holographische Beschreibung der flachen Raumzeit-Gravitation präsentiert, die auf einer endlichen Grenze formuliert ist, was darauf hindeutet, dass ein solcher Dual möglicherweise keine lokale Quantenfeldtheorie ist.
• Die Wiederherstellung der Extensivität für große AdS-Schwarze Löcher unterstützt die Konsistenz der AdS/CFT-Korrespondenz im thermodynamischen Grenzfall.

Die Autoren behaupten nicht, den mikroskopischen Ursprung der Entropie Schwarzer Löcher gelöst zu haben, sondern stellen einen makroskopischen thermodynamischen Rahmen bereit, der die Bedingungen klärt, unter denen Schwarze Löcher als extensive Systeme verhalten. Sie weisen darauf hin, dass ihre Analyse strikt auf dem Niveau der Gleichgewichtsthermodynamik stattfindet und weder die Existenz noch die Eindeutigkeit zugrunde liegender mikroskopischer Ensembles voraussetzt.