Optimal control of a tumor growth model with hyperbolic relaxation of the chemical potential

Titel: Optimal Control of a Tumor Growth Model with Hyperbolic Relaxation of the Chemical Potential

Autoren: Pierluigi Colli, Elisabetta Rocca, Jürgen Sprekels

1. Problemstellung und Modellierung

Das Paper untersucht ein Optimalsteuerungsproblem für ein Phasenfeld-Modell des Tumorwachstums vom Cahn-Hilliard-Typ. Ein zentrales Merkmal dieses Modells ist die Ersetzung der üblichen parabolischen Relaxation des chemischen Potentials durch eine hyperbolische Relaxation.

Das zugrundeliegende Zustandssystem (State System) besteht aus drei gekoppelten partiellen Differentialgleichungen auf einem beschränkten Gebiet $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ über die Zeit $[0, T]$:

1. Chemisches Potential ($\mu$): Eine hyperbolische Gleichung zweiter Ordnung in der Zeit:
   $$\alpha \partial_{tt}\mu + \partial_t\phi - \Delta\mu = P(\phi)(\sigma + \chi(1-\phi) - \mu) - h(\phi)u_1$$
   Hier stellt der Term $\alpha \partial_{tt}\mu$ ($\alpha > 0$) die hyperbolische Regularisierung dar.
2. Phasenfeld ($\phi$): Eine viskose Cahn-Hilliard-Gleichung:
   $$\tau \partial_t\phi - \Delta\phi + F'(\phi) = \mu + \chi\sigma$$
   Der Term $\tau \partial_t\phi$ ($\tau > 0$) repräsentiert eine Viskositätsbeiträge.
3. Nährstoffkonzentration ($\sigma$): Eine parabolische Diffusionsgleichung:
   $$\partial_t\sigma - \Delta\sigma = -\chi\Delta\phi - P(\phi)(\sigma + \chi(1-\phi) - \mu) + u_2$$

Steuergrößen (Controls):

• $u_1$: Steuert die Applikation eines zytotoxischen Medikaments (gekoppelt über eine Abschneidefunktion $h(\phi)$, die nur im Tumorgebiet wirkt).
• $u_2$: Steuert die Zufuhr von Medikamenten oder Nährstoffen.

Zielfunktion (Cost Functional):
Es wird ein Kostenfunktional $J$ minimiert, das Abweichungen des Phasenfelds von einem Zielzustand sowie die Energie der Steuerung berücksichtigt:
$$J = \frac{b_1}{2}\int_Q |\phi - \bar{\phi}_Q|^2 + \frac{b_2}{2}\int_\Omega |\phi(T) - \bar{\phi}_\Omega|^2 + \frac{b_3}{2}\int_Q |u|^2 + \kappa G(u)$$
Der Term $\kappa G(u)$ dient der Förderung von Sparsity (Dünnbesetztheit), d.h., er soll dazu führen, dass die optimale Steuerung in Teilen des Raum-Zeit-Zylinders $Q$ verschwindet. Als prototypisches Beispiel wird $G(u) = \|u\|_{L^1(Q)}$ betrachtet.

Potenziale:
Die Analyse deckt zwei Fälle für das Doppelmulden-Potenzial $F$ ab:

1. Reguläre Potenziale: Wie das polynomiale Potential $F_{reg}(r) = \frac{1}{4}(1-r^2)^2$.
2. Singuläre Potenziale: Wie das logarithmische Potential $F_{log}$, das physikalisch relevanter ist, aber Singularitäten an den Rändern $r = \pm 1$ aufweist.

2. Methodik

Die Analyse folgt einem rigorosen funktionalanalytischen Ansatz in Banachräumen:

1. Existenz und Eindeutigkeit:
   Aufbauend auf früheren Arbeiten [7] wird die Wohlgestelltheit des Zustandssystems für beide Potenzialtypen (regulär und singulär) bestätigt. Für singuläre Potenziale ist eine uniforme Trennungsbedingung (Uniform Separation Condition) entscheidend, die sicherstellt, dass das Phasenfeld $\phi$ strikt innerhalb des Definitionsbereichs des Potentials ($(-1, 1)$) bleibt und nicht die Singularitäten erreicht.

2. Differentierbarkeit des Steuer-zu-Zustand-Operators:
   Ein Kernstück der Arbeit ist der Nachweis der Fréchet-Differenzierbarkeit des Operators $S: u \mapsto (\mu, \phi, \sigma)$.

   • Für reguläre Potenziale wird dies für Steuerungen in $L^\infty(Q) \times L^2(Q)$ gezeigt.
   • Für singuläre Potenziale ist die Situation schwieriger. Die Differenzierbarkeit kann nur unter stärkeren Annahmen an die Steuerungen (insbesondere $u_1 \in L^\infty(Q) \cap L^2(0,T; V)$) garantiert werden, um die uniforme Trennungsbedingung zu sichern.
   • Es werden drei Szenarien für singuläre Potenziale behandelt, bei denen die Steuerung $u_1$ entweder fixiert, zeitabhängig mit räumlicher Struktur oder über einen linearen Operator definiert ist, um die Anforderungen an die Regularität zu erfüllen.

3. Linearisierung und Adjungiertes System:
   Zur Herleitung der Optimalitätsbedingungen wird das linearisierte System um eine Referenzlösung betrachtet. Anschließend wird ein adjungiertes System (Rückwärtsgleichungen) eingeführt, um die Ableitung des reduzierten Kostenfunktionals auszudrücken. Die Regularität der Lösungen des adjungierten Systems (insbesondere für $p$, die zum hyperbolischen Teil gehört) wird sorgfältig analysiert.

4. Optimalitätsbedingungen:
   Unter Verwendung der Differenzierbarkeit und der Konvexität des Kostenfunktionals werden notwendige Bedingungen erster Ordnung in Form von Variationsungleichungen hergeleitet. Diese beinhalten die adjungierten Variablen und den Subgradienten des Sparsity-Terms.

3. Wichtige Ergebnisse

1. Wohlgestelltheit und Regularität:
   Es wurden Existenz-, Eindeutigkeits- und Regularitätsresultate für das hyperbolisch relaxierte Tumorwachstumsmodell etabliert. Besonders hervorzuheben ist die Behandlung der singulären Potenziale unter der Bedingung der uniformen Trennung.

2. Fréchet-Differenzierbarkeit:
   Der Steuer-zu-Zustand-Operator ist in geeigneten Banachräumen Fréchet-differenzierbar. Dies ist eine Voraussetzung für die Anwendung der klassischen Optimalsteuerungstheorie.

3. Notwendige Optimalitätsbedingungen:
   Es wurden Variationsungleichungen hergeleitet, die eine optimale Steuerung $u$ charakterisieren. Diese Bedingungen verknüpfen die Steuerungen mit den adjungierten Variablen $p$ (für $\mu$), $q$ (für $\phi$) und $r$ (für $\sigma$).

   • Für den Fall mit Sparsity-Term ($\kappa > 0$) führt dies zu Punktweisen Projektionsformeln.
   • Beispiel für $u_1$: $u_1 = \max(\underline{u}_1, \min(\overline{u}_1, -b_3^{-1}(-h(\phi)p + \kappa\lambda_1)))$.

4. Sparsity-Ergebnisse:
   Ein zentrales Ergebnis ist die Analyse der Sparsity (Dünnbesetztheit) der optimalen Steuerung.

   • Es wird gezeigt, dass die Steuerung $u_i(x,t)$ genau dann Null ist, wenn der Betrag der zugehörigen adjungierten Variable (bzw. einer gewichteten Kombination) einen Schwellenwert $\kappa$ nicht überschreitet.
   • Konkret: $u_1(x,t) = 0 \iff |h(\phi(x,t))p(x,t)| \le \kappa$.
   • Dies bedeutet, dass das Medikament nur in den Raum-Zeit-Bereichen appliziert wird, in denen der "Druck" (repräsentiert durch die adjungierte Variable) groß genug ist, um den Sparsity-Strafterm zu überwiegen.

5. Behandlung singulärer Potenziale:
   Das Paper zeigt, wie man trotz der mathematischen Schwierigkeiten bei singulären Potenzialen (wie dem logarithmischen Potential) zu Optimalitätsbedingungen gelangt, indem man die Steuerungsraum-Einschränkungen anpasst (z.B. Fixierung von $u_1$ oder spezielle Strukturannahmen), um die Trennungsbedingung zu garantieren.

4. Bedeutung und Relevanz

• Mathematische Innovation: Die Arbeit ist einer der ersten, die Optimalsteuerung für Tumorwachstumsmodelle mit hyperbolischer Relaxation behandelt. Dies modelliert physikalisch realistischere Effekte (z.B. endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit von Signalen) im Vergleich zu den üblichen parabolischen Modellen.
• Umgang mit Singularitäten: Die detaillierte Analyse der singulären Potenziale (logarithmisch) ist von großer praktischer Bedeutung, da diese Potenziale die physikalische Beschränkung des Phasenfelds auf $(-1, 1)$ besser abbilden als polynomiale Potenziale. Die Arbeit liefert einen Weg, um diese mathematischen Schwierigkeiten im Kontext der Steuerungstheorie zu überwinden.
• Medizinische Anwendung: Die Herleitung von Sparsity-Ergebnissen ist direkt für die medizinische Therapieplanung relevant. Sie liefert theoretische Grundlagen für Strategien, die Medikamente nur dann und dort einzusetzen, wo es notwendig ist, um Nebenwirkungen zu minimieren und die Behandlungskosten zu senken.
• Rigorose Grundlage: Die Arbeit liefert einen strengen mathematischen Rahmen (Existenz, Differenzierbarkeit, Optimalitätsbedingungen), der als Basis für die numerische Implementierung und Simulation solcher Therapiestrategien dienen kann.

Zusammenfassend stellt das Paper einen bedeutenden Fortschritt in der mathematischen Modellierung und Steuerung von Tumorwachstum dar, indem es neuartige Relaxationsterme einbezieht und die komplexe Theorie der singulären Potenziale in den Kontext der Optimalsteuerung integriert.