Lines in the prime number graph

Stellen Sie sich vor, Sie haben ein riesiges Streudiagramm auf einem Blatt karierten Papiers. Auf der horizontalen Achse (der x-Achse) notieren Sie die natürlichen Zahlen: 1, 2, 3, 4 und so weiter. Auf der vertikalen Achse (der y-Achse) notieren Sie die entsprechenden Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11 usw.

Der erste Punkt ist also (1, 2), der zweite (2, 3), der dritte (3, 5) und so weiter. Diese Ansammlung von Punkten nennen Mathematiker den Primzahlgraphen.

Dieses Papier, verfasst von Carl Pomerance und Patrick Solé, stellt zwei unterhaltsame Fragen zu diesen Punkten:

1. Die „Schnur"-Frage: Wenn Sie alle ersten $n$ Punkte mit so wenigen geraden Linien wie möglich verbinden wollten (als würden Sie mit einem Lineal zeichnen), wie viele Linien bräuchten Sie dann? Sie nennen diese Zahl $L(n)$.
2. Die „überfüllte Linie"-Frage: Was ist die maximale Anzahl von Punkten, die Sie finden können, die alle perfekt auf einer einzigen geraden Linie liegen? Sie nennen diese Zahl $B(n)$.

Das große Ganze: Warum ist das schwierig?

Primzahlen sind ein wenig wie eine spärliche Menschenmenge auf einer riesigen Party. Je größer die Zahlen werden, desto weiter kommen sie auseinander. Da sie so weit verstreut sind, ist es unmöglich, eine einzige Linie zu zeichnen, die für immer jede Primzahl trifft. Irgendwann wird die Linie den nächsten Punkt verfehlen.

Die Autoren versuchen, die Regeln dieses Spiels für sehr große Zahlen herauszufinden.

Frage 1: Wie viele Linien brauchen wir? ($L(n)$)

Stellen Sie sich vor, Sie versuchen, einen Pfad aus Trittsteinen (den Primzahl-Punkten) mit Holzplanken (geraden Linien) abzudecken. Sie wollen so wenige Planken wie möglich verwenden.

• Die alte Vermutung: Ein Mathematiker namens Sloane vermutete, dass die benötigte Anzahl an Planken sehr langsam wächst, ungefähr wie die Anzahl der Steine geteilt durch den natürlichen Logarithmus dieser Zahl.
• Das neue Ergebnis: Die Autoren haben zwar nicht genau bewiesen, dass Sloanes Vermutung exakt richtig ist, aber sie kamen ihr sehr nahe. Sie bewiesen, dass die benötigte Anzahl an Linien ungefähr proportional zur Anzahl der Punkte ist, geteilt durch den Logarithmus der Zahl, jedoch mit einem winzigen zusätzlichen „Verschmierungs"-Faktor (mathematisch geschrieben als $n \log \log n / \log n$).
• Die „unbequemen" Primzahlen: Das Papier spricht auch von „unbequemen" Primzahlen. Das sind die spezifischen Punkte, bei denen Sie eine neue Linie hinzufügen müssen, weil die aktuellen Linien sie nicht erreichen können. Die Autoren beweisen, dass diese unbequemen Momente auftreten, aber sie werden selten genug, dass, wenn man die „Reziproken" (1 geteilt durch die Zahl) all dieser unbequemen Primzahlen aufsummieren würde, die Gesamtsumme eine endliche Zahl wäre.

Frage 2: Wie viele Punkte passen auf eine Linie? ($B(n)$)

Stellen Sie sich nun vor, Sie suchen die „heißeste" Linie auf Ihrem Graphen – diejenige, die die meisten Punkte trifft.

• Die untere Schranke (die minimale Garantie): Die Autoren bewiesen, dass Sie, egal wie weit Sie gehen, immer eine Linie finden können, die mindestens eine bestimmte Anzahl von Punkten trifft. Konkret können Sie für eine große Anzahl von Punkten $n$ garantieren, eine Linie zu finden, die mindestens einen winzigen Bruchteil des Logarithmus von $n$ Punkten trifft. Denken Sie daran wie an eine „Glückssträhne" von Punkten, die zufällig auf einer Linie liegen.
• Die obere Schranke (das Limit): Sie bewiesen auch, dass Sie nicht zu viele Punkte auf einer einzigen Linie finden können. Die Anzahl der Punkte auf der besten Linie wird durch die „Wellenbewegung" der Primzahlen begrenzt.
• Die „Riemann-Hypothese"-Wendung: Es gibt ein berühmtes, ungelöstes mathematisches Rätsel namens Riemann-Hypothese (RH). Es ist wie ein „supergenaues" Regelbuch dafür, wie Primzahlen verteilt sind.
  • Wenn wir annehmen, dass RH wahr ist: Die Autoren können viel engere Grenzen angeben. Sie zeigen, dass unter dieser Annahme die „überfüllte Linie" nicht mehr als etwa $n^{3/4}$ Punkte haben kann (ungefähr die Quadratwurzel der Quadratwurzel von $n$, multipliziert mit einigen Faktoren).
  • Die Konsequenz: Wenn die Linie nicht zu überfüllt sein kann, bedeutet das, dass Sie mehr Linien benötigen, um alles abzudecken. Also muss unter RH die minimale Anzahl an Linien ($L(n)$) mindestens eine bestimmte Größe haben (ungefähr $n^{1/4}$).

Die verwendeten Werkzeuge

Um dies zu lösen, haben die Autoren nicht nur geraten; sie benutzten ein mächtiges mathematisches Werkzeug namens Primzahlsatz mit Restglied.

Denken Sie an den Primzahlsatz als eine sehr gute Karte, die vorhersagt, wo die Primzahlen sein sollten. Der „Rest"-Teil ist der Fehlerbereich auf dieser Karte. Die Autoren verwendeten eine sehr präzise Karte (mit einem winzigen Fehlerbereich), um „Parallelogramme" (schräge Kästen) um die Punkte zu zeichnen. Sie zeigten, dass, wenn Sie Linien mit bestimmten Steigungen zeichnen (basierend auf einer mathematischen Folge namens Farey-Folge), diese Linien viele der Punkte innerhalb dieser Kästen einfangen werden.

Das Fazit

Das Papier schließt mit der Aussage:

1. Wir haben eine gute obere Grenze dafür, wie viele Linien wir benötigen, um die Primzahlen abzudecken.
2. Wir haben eine gute untere Grenze dafür, wie viele Primzahlen auf einer Linie sitzen können.
3. Allerdings besteht immer noch eine „Lücke" zwischen der bestmöglichen Antwort und der Antwort, die wir derzeit beweisen können. Die Autoren geben zu, dass ihre Schätzungen noch nicht perfekt sind und dass noch Arbeit zu leisten ist, um die Lücke zwischen den „notwendigen Mindestlinien" und den „maximalen Punkten auf einer Linie" zu schließen.

Kurz gesagt: Sie haben einen besseren Zaun um das Problem gebaut, aber sie haben noch nicht ganz die genaue Form des Gartens im Inneren gefunden.