On equations of fake projective planes with automorphism group of order $21$

El artículo presenta ecuaciones explícitas para dos nuevos pares de planos proyectivos falsos con un grupo de automorfismos de orden 21, completando así la clasificación de tales superficies y abarcando el caso descubierto por J. Keum.

Lo esencial

Imagina que el mundo de las matemáticas es como un vasto océano de formas geométricas. En este océano, hay una isla muy especial llamada el Plano Proyectivo Real (la forma "estándar" y perfecta). Durante décadas, los matemáticos sabían que debían existir otras islas, llamadas Planes Proyectivos Falsos, que se veían idénticas al plano real desde lejos (tenían las mismas "medidas" o propiedades topológicas), pero que, al acercarse, revelaban una estructura interna completamente diferente y exótica.

El problema es que, aunque sabíamos que estas islas existían, nadie había logrado dibujar sus mapas exactos (sus ecuaciones matemáticas). Era como saber que hay un tesoro en una isla, pero no tener las coordenadas para llegar.

El artículo que nos ocupa es el viaje de Lev Borisov, un explorador matemático, que finalmente logra dibujar los mapas de dos de estas islas exóticas. Aquí te explico cómo lo hizo, usando analogías sencillas:

1. El punto de partida: Las "Superficies de Dolgachev"

Para encontrar estas islas, Borisov no buscó directamente en el plano proyectivo. En su lugar, miró una estructura más simple que actúa como un "andamio" o una "maqueta" llamada Superficie de Dolgachev.

Imagina que esta superficie es como un pastel de capas (una fibración) donde:

• La mayoría de las capas son círculos perfectos (genus 1).
• Pero hay dos capas "especiales" que están dobladas: una está doblada dos veces (fibra doble) y otra tres veces (fibra triple).
• Además, hay una "cinta" (una curva llamada $S$) que atraviesa todo el pastel.

El objetivo era encontrar un pastel con una configuración tan específica que, si lo "doblamos" y lo "recortamos" de una manera muy particular, nos daría uno de los Planes Falsos.

2. El rompecabezas de las ecuaciones

Borisov sabía que las ecuaciones que describen este pastel debían seguir ciertas reglas estrictas (como un rompecabezas de piezas que encajan).

• El desafío: Tenía que encontrar un conjunto de 9 "perillas" o parámetros (como los controles de un sintetizador de sonido) que ajustaran la forma del pastel.
• La herramienta: Usó una computadora (Mathematica) para probar millones de combinaciones. Imagina que tienes que encontrar la combinación exacta de 92 ingredientes para que una receta salga perfecta. Borisov escribió un programa que probó estas combinaciones hasta encontrar un conjunto de 9 parámetros que funcionaban.

3. El filtro de "calidad": Encontrando la superficie perfecta

Con esa receta general en mano, Borisov necesitaba encontrar la versión específica que correspondía a los Planes Falsos.

• El problema: La mayoría de los pasteles que generaba eran "normales". Necesitaba uno que tuviera "defectos" muy específicos en ciertos puntos (singularidades), como si el pastel se hubiera derrumbado de una forma muy concreta en dos lugares.
• La estrategia del detective: En lugar de intentar resolver las ecuaciones gigantes directamente (que eran demasiado grandes para cualquier cerebro humano), Borisov usó un truco de "reducción".
  • Imagina que intentas adivinar un número secreto muy grande. En lugar de probar todos los números, primero lo reduces a un número pequeño (como el resto de dividir por un número primo, en este caso, el 79).
  • Probó miles de combinaciones en este "mundo pequeño" (campo finito) hasta encontrar una que tuviera los "defectos" correctos.
  • Una vez encontrado el "defecto" en el mundo pequeño, usó un método matemático (lifting p-ádico) para "inflar" esa solución pequeña hasta reconstruir el número gigante exacto en el mundo real. Fue como encontrar una huella dactilar pequeña en la arena y, a partir de ella, reconstruir el rostro completo de la persona.

4. El resultado: Dos nuevos mapas

El proceso le dio dos resultados principales:

1. El Plan Falso de Keum: Confirmó y encontró las ecuaciones exactas de un plano que el matemático JongHae Keum había descubierto teóricamente años antes, pero que nadie había podido escribir en papel. Es como encontrar la partitura exacta de una canción que solo se conocía por su melodía.
2. Un Plan Falso Nuevo: Descubrió un segundo par de islas que nadie había visto antes. Estas islas tienen una simetría especial: tienen un grupo de 21 "movimientos" o transformaciones que las dejan iguales (como girar un cubo de Rubik y que vuelva a verse igual).

5. La prueba final: ¿Son realmente falsos?

Para asegurarse de que no se había equivocado, Borisov tuvo que verificar que estas nuevas islas no eran el plano real disfrazado.

• Usó un método de "búsqueda de torsión": Imagina que el plano real es como un edificio con un solo tipo de puerta. Los Planes Falsos, en cambio, tienen muchas puertas secretas (llamadas haces de líneas de torsión) que el plano real no tiene.
• Al contar estas "puertas secretas" en sus nuevas islas, vio que había demasiadas para ser el plano real, confirmando así que había encontrado verdaderos Planes Falsos.

En resumen

Este artículo es la historia de cómo un matemático, usando la computadora como una lupa y un martillo, logró pasar de la teoría abstracta ("sabemos que existen") a la realidad concreta ("aquí están sus ecuaciones").

Borisov construyó un "andamio" matemático, ajustó sus perillas hasta encontrar una forma con defectos específicos, y luego usó un truco de reducción numérica para descifrar las coordenadas exactas de dos islas misteriosas que habían permanecido ocultas durante décadas. Ahora, gracias a este trabajo, tenemos los mapas exactos de estos mundos geométricos exóticos.

Resumen técnico

Aquí presento un resumen técnico detallado del artículo "On equations of fake projective planes with automorphism group of order 21" de Lev Borisov, publicado en Épijournal de Géométrie Algébrique.

1. Planteamiento del Problema

Los planos proyectivos falsos son superficies de tipo general que comparten los mismos números de Hodge que el plano proyectivo complejo $\mathbb{CP}^2$ (es decir, $p_g = q = 0$ y $c_1^2 = 3c_2 = 9$), pero no son isomorfos a él. Aunque la clasificación de todos los pares conjugados de estos planos (50 pares en 28 clases) fue completada por Cartwright y Steger, esta clasificación es aritmética y no proporciona ecuaciones polinómicas explícitas que definan estas superficies.

El objetivo principal de este trabajo es encontrar ecuaciones explícitas para dos pares específicos de planos proyectivos falsos que poseen un grupo de automorfismos de orden 21. Estos son:

1. El plano proyectivo falso descubierto por J. Keum (clasificación CS: $(a=7, p=2, \{7\}, D_{327})$).
2. Un nuevo par de planos proyectivos falsos (clasificación CS: $(C_{20}, p=2, \emptyset, D_{327})$).

Ambos casos comparten la propiedad de que el cociente de la superficie por el subgrupo normal $C_7$ de su grupo de automorfismos es una superficie de Dolgachev con fibras múltiples de multiplicidad 2 y 3.

2. Metodología

El autor emplea una estrategia computacional y algebraica sofisticada que combina teoría de superficies, geometría biracional y búsqueda en campos finitos. El proceso se divide en los siguientes pasos clave:

A. Construcción de la Superficie de Dolgachev ($Y_0$)

El punto de partida es estudiar la resolución mínima $Y$ del cociente $P^2_{fake}/C_7$. Esta superficie $Y$ es una superficie elíptica fibrada sobre $\mathbb{CP}^1$ con:

• Una fibra doble $2F_3$y una fibra triple$3F_2$.
• Una sección racional $S$ de grado 6.
• Una fibra especial de tipo $I_9$ (un anillo de 9 curvas $\mathbb{CP}^1$).

El autor construye un modelo biracional $Y_0$ mediante el anillo de secciones $R = \bigoplus H^0(Y, \mathcal{O}(aF + bS))$. Se postula que este anillo tiene una estructura de módulo libre sobre un subanillo generado por variables con pesos específicos.

• Paso 1: Se define una familia de 9 parámetros de superficies de Dolgachev $(2,3)$ mediante 9 ecuaciones cuadráticas (quadrics) en variables ponderadas. La asociatividad del anillo genera un sistema de más de 1600 ecuaciones con 92 incógnitas, resuelto computacionalmente (usando Mathematica) para reducir los parámetros a 9 libres.
• Paso 2: Se imponen condiciones geométricas adicionales sobre la fibra especial (presencia de líneas disjuntas y nodos específicos) para reducir la familia a subfamilias de 7, 5 y finalmente 2 parámetros.

B. Búsqueda en Campos Finitos y Levantamiento $p$-ádico

Dado que las ecuaciones son demasiado complejas para resolverlas simbólicamente directamente, se utiliza un método de reducción:

• Paso 3: Se busca una reducción de la superficie $Y_0$ módulo un primo $p$ tal que la superficie resultante tenga singularidades "peores que nodales" en puntos específicos de la fibra especial. El primer primo exitoso encontrado fue $p=79$.
• Paso 4: Se utilizan los valores de los parámetros en $\mathbb{F}_{79}$ para realizar un levantamiento $p$-ádico (a potencias de 79). Mediante algoritmos de reducción de retículos, se identifican los parámetros como números algebraicos de grado 12, permitiendo definir $Y_0$ sobre el cuerpo de números $\mathbb{Q}(\sqrt{-7})$.

C. Construcción del Plano Proyectivo Falso

Una vez obtenidas las ecuaciones de $Y_0$, se construye el plano proyectivo falso como un recubrimiento cíclico de grado 7:

• Paso 5: Se calcula el recubrimiento de Galois de grado 7 ramificado sobre las curvas especiales ($S, B, C, \dots$). Esto se logra añadiendo la raíz séptima de una función racional específica construida a partir de las secciones de $Y_0$.
• Paso 6: Se calcula el sistema lineal bicanónico del plano proyectivo falso resultante, obteniendo una inmersión en $\mathbb{CP}^9$ definida por 84 ecuaciones cúbicas.

D. Identificación y Verificación

• Paso 7: Para distinguir entre las dos posibilidades (Keum vs. el nuevo caso), se estudia el grupo de torsión del grupo de Picard. Se buscan elementos de torsión 2 invariantes bajo la acción de $C_3$. La existencia de múltiples elementos de torsión permite identificar el primer caso como $(C_{20}, p=2, \emptyset, D_{327})$.
• Para el segundo caso (Keum), se repite el proceso de búsqueda en campos finitos (en este caso $p=53$) sobre una subfamilia diferente de superficies de Dolgachev, confirmando que corresponde a la construcción de Keum.

3. Contribuciones Clave

1. Ecuaciones Explícitas: Por primera vez, se proporcionan ecuaciones polinómicas explícitas (aunque de gran tamaño) para el plano proyectivo falso de Keum y para un nuevo par de planos proyectivos falsos con grupo de automorfismos de orden 21.
2. Método Computacional Híbrido: Se demuestra la eficacia de combinar la teoría de anillos graduados, la búsqueda exhaustiva en campos finitos y el levantamiento $p$-ádico para resolver problemas de geometría algebraica que son intratables simbólicamente.
3. Análisis de Torsión: Se utiliza la estructura de torsión del grupo de Picard como una herramienta de identificación precisa para distinguir entre clases de superficies que son aritméticamente similares.
4. Modelo de Dolgachev: Se proporciona una descripción detallada y ecuacional de las superficies de Dolgachev subyacentes, incluyendo sus fibraciones y curvas especiales, que sirven como base para la construcción de los planos falsos.

4. Resultados Principales

• Se han obtenido las ecuaciones de dos nuevos pares de planos proyectivos falsos.
• El primer par identificado es el de Keum (anteriormente conocido teóricamente, pero sin ecuaciones explícitas).
• El segundo par corresponde a la clase $(C_{20}, p=2, \emptyset, D_{327})$, un caso que no estaba implicado en otras construcciones conocidas hasta este trabajo.
• Las ecuaciones se expresan en términos de variables ponderadas y coeficientes en el cuerpo $\mathbb{Q}(\sqrt{-7})$. Los archivos de datos completos (que contienen las ecuaciones demasiado largas para el texto) están disponibles en el repositorio del autor.

5. Significado e Impacto

Este trabajo es un hito en el estudio de las superficies de tipo general. La clasificación de Cartwright-Steger, aunque completa, era puramente aritmética; este artículo cierra la brecha proporcionando la realización geométrica explícita de objetos teóricos.

La disponibilidad de estas ecuaciones permite:

• Realizar cálculos numéricos y experimentales sobre estas superficies.
• Investigar propiedades finas como la estructura del grupo de Picard, la acción de automorfismos y la geometría de sus fibraciones.
• Servir como punto de partida para intentar encontrar ecuaciones para el plano proyectivo falso original de Mumford (que es conmensurable con el de Keum), un problema abierto que el autor sugiere podría abordarse mediante recubrimientos no galoisianos de grado 7.

En resumen, el artículo transforma la comprensión de los planos proyectivos falsos de una clasificación abstracta a una geometría computable, abriendo nuevas vías para la investigación en geometría algebraica y teoría de números.