The Jones polynomial in systems with Periodic Boundary Conditions

Imagina un mundo hecho enteramente de hilos enredados. En el mundo real, estos hilos están en todas partes: son las largas cadenas de átomos que componen los polímeros plásticos, los hilos tejidos en tu suéter favorito e incluso las fibras microscópicas en ciertos cristales. Los científicos se han sentido fascinados durante mucho tiempo por cómo se enredan estos hilos, porque la forma en que se retuercen y se lazan unos alrededor de otros determina qué tan fuerte, elástico o flexible es el material. Para estudiar esto, los matemáticos utilizan una herramienta especial llamada "polinomio de Jones", que actúa como una huella dactilar única para los nudos. Si tienes un lazo cerrado de cuerda (como una banda elástica), esta huella dactilar te dice exactamente qué tipo de nudo es. Pero aquí está el truco: la mayoría de los materiales del mundo real no son solo una banda elástica solitaria. Son patrones masivos y repetitivos de hilos que continúan infinitamente en todas las direcciones, como un mundo de un videojuego que se envuelve sobre sí mismo para que nunca choques contra una pared. Esto se llama "Condiciones de Contorno Periódicas". El problema es que las viejas herramientas matemáticas fallan cuando se enfrentan a un enredo infinito y repetitivo. No puedes simplemente medir una pequeña pieza del rompecabezas y asumir que cuenta toda la historia, porque un hilo puede parecer simple en una caja pequeña, pero convertirse en un nudo masivo y complejo cuando ves cómo se conecta con sus vecinos en la siguiente caja.

Este artículo presenta dos versiones superpotentes del polinomio de Jones, diseñadas específicamente para manejar estos mundos infinitos y repetitivos. Los autores, Kasturi Barkataki y Eleni Panagiotou, se dieron cuenta de que para entender el "grano" del enredo en estos sistemas, se necesitan dos lentes diferentes. La primera es el "polinomio de Jones de celda", que observa solo una habitación diminuta (una celda unidad) del sistema infinito para ver cómo están enredados los hilos localmente. La segunda, una herramienta más poderosa, es el "polinomio de Jones periódico". Esta es como una lupa mágica que se expande lo suficiente para capturar la unidad repetitiva más pequeña de todo el enredo infinito. No solo mira los hilos dentro de una caja; sigue los hilos a medida que salen por un lado y vuelven a entrar por el otro, capturando la verdadera complejidad del nudo global. Los investigadores demostraron matemáticamente que, para ciertos sistemas, este nuevo polinomio es un bloque de construcción fundamental que se repite una y otra vez en las matemáticas que describen todo el sistema infinito. Luego, probaron estas herramientas en dos cosas muy diferentes: modelos 3D de tejidos de tela (como los tejidos de punto jersey y sarga) y simulaciones por computadora de fundidos de polímeros (plástico líquido) con diferentes longitudes de cadena. Sus resultados mostraron que estos nuevos polinomios pueden medir y comparar con éxito la complejidad de estos enredos. Por ejemplo, descubrieron que a medida que las cadenas de polímero se hacían más largas (aumentando el peso molecular de 10 a 30 unidades), el "alcance" del polinomio aumentaba, lo que sugiere que el material se volvía más complejo topológicamente. Del mismo modo, demostraron que un tejido de punto jersey es matemáticamente más complejo que un tejido de sarga. Aunque las herramientas funcionan maravillosamente para lazos cerrados, los autores señalan que, para cadenas abiertas o infinitas, los resultados son funciones continuas de la geometría en lugar de invariantes topológicos estrictos, lo que significa que son sensibles a la forma y posición exactas de los hilos, no solo a su tipo de nudo. En última instancia, este trabajo proporciona una forma de poner finalmente un número al "desorden" de los enredos infinitos y repetitivos, ofreciendo una nueva manera de entender la arquitectura oculta de todo, desde los textiles hasta los plásticos.