Spectral asymmetry via pseudodifferential projections: the massless Dirac operator

Resumen Técnico: Asimetría Espectral mediante Proyecciones Pseudodiferenciales para el Operador de Dirac Sin Masa

Planteamiento del Problema
El artículo aborda el estudio de la asimetría espectral para sistemas de ecuaciones diferenciales parciales (EDP) en variedades riemannianas cerradas, conexas y orientadas de dimensión 3. Específicamente, se centra en el operador de Dirac sin masa (también conocido como operador de Weyl), denotado como $W$. Si bien la asimetría espectral se cuantifica tradicionalmente mediante el invariante eta —un número global o una función local derivada de la función zeta espectral—, los autores buscan aplicar un enfoque más reciente, de carácter operador-teórico. Este enfoque pretende codificar la información de la asimetría dentro de un operador pseudodiferencial de orden negativo, denominado "operador de asimetría", construido a partir de proyecciones espectrales. El desafío central consiste en calcular el símbolo principal de este operador para el caso de Dirac sin masa, teniendo en cuenta la invariancia de gauge y las propiedades geométricas específicas de la variedad, y demostrar que se puede definir una traza regularizada que produzca invariantes geométricos.

Metodología
Los autores emplean el marco del cálculo pseudodiferencial desarrollado en sus trabajos previos [9, 10]. La metodología procede a través de los siguientes pasos:

1. Proyecciones Espectrales: El operador de Dirac sin masa $W$ es autoadjunto y elíptico con un espectro discreto que acumula en $\pm \infty$. Los autores definen las proyecciones espectrales positiva ($P_+$) y negativa ($P_-$) basadas en los autovalores de $W$. Estas son operadores pseudodiferenciales de orden cero.
2. Construcción del Operador de Asimetría: El operador de asimetría $A$ se define como la traza matricial de la diferencia entre estas proyecciones: $A := \text{tr}(P_+ - P_-)$. Aunque $P_+ - P_-$ no es de clase traza, la operación de traza matricial produce un operador $A$ de orden negativo.
3. Cálculo de Símbolos y Cancelaciones: El núcleo del análisis consiste en la construcción explícita de los símbolos completos de $P_\pm$ utilizando un algoritmo iterativo (basado en [8]). Los autores calculan los símbolos principales de los componentes de la expansión asintótica de $A$. Un aspecto crítico de la metodología es la explotación de las cancelaciones que ocurren al realizar la traza matricial.
4. Invariancia de Gauge y Enmarcado (Framing): El operador de Dirac depende de una elección de enmarcado global. Los autores analizan el comportamiento del operador bajo transformaciones de gauge (rotaciones del enmarcado). Demuestran que, si bien los cálculos intermedios dependen del enmarcado, los invariantes espectrales no lo hacen. Para simplificar los cálculos, fijan un "enmarcado de Levi-Civita" generado por el transporte paralelo en coordenadas normales geodésicas centradas en un punto $z$. En este marco específico, la torsión de la conexión de Weitzenböck asociada se anula en $z$, simplificando la expansión simbólica.
5. Traza Regularizada: Dado que el operador de asimetría resultante es de orden $-1$ (a diferencia del orden $-3$ encontrado para el operador de rotacional/curl en estudios previos), no es inmediatamente de clase traza. Los autores definen una "traza local regularizada" aislando la parte continua del núcleo de Schwartz de $A$ a lo largo de la diagonal ($x=y$).

Contribuciones Clave y Resultados
El artículo proporciona cálculos explícitos para el operador de Dirac sin masa en una variedad de dimensión 3, arrojando los siguientes resultados principales:

• Vanecimiento de Términos de Orden Inferior: Los autores demuestran que el símbolo principal del operador de asimetría $A$ asociado al enmarcado de Levi-Civita se anula para los órdenes $j=0, -1, -2$. Específicamente, los términos $a_0, a_{-1}$ y $a_{-2}$ en la expansión asintótica del símbolo son cero en el centro de la vecindad geodésica.
• Cálculo del Símbolo Principal: El primer término no nulo es el símbolo principal de orden $-3$, denotado como $a_{-3}(z, \xi)$. Los autores lo calculan explícitamente como:
  $$\tilde{a}_{-3}(z, \xi) = -\frac{1}{12} \frac{E_{\alpha\beta\gamma}(z) \nabla_\alpha \text{Ric}_{\beta\rho}(z) \xi^\gamma \xi^\rho}{|\xi|^5}$$
  donde $E_{\alpha\beta\gamma}$ es el tensor de Levi-Civita, $\text{Ric}$ es el tensor de Ricci y $\nabla$ es la derivada covariante. Este resultado establece que el operador de asimetría es de orden $-3$ en el enmarcado de Levi-Civita, a pesar de ser de orden $-1$ en un enmarcado genérico.
• Descomposición del Núcleo: El artículo deriva el núcleo integral local del operador de asimetría, mostrando que puede descomponerse en una parte singular (dependiente de la distancia entre puntos y la curvatura) y una parte continua.
• Invariantes Geométricos: Basándose en la descomposición del núcleo, los autores definen una traza local regularizada $\psi_{\text{Dir}}^{\text{loc}}(x)$ y una traza global $\psi_{\text{Dir}}$. Demuestran que la traza local es una función escalar bien definida e independiente de la elección de coordenadas locales, constituyendo así un invariante geométrico que describe la asimetría espectral.

Significancia y Pretensiones
El artículo posiciona estos resultados como una extensión del enfoque "directo" a la asimetría espectral propuesto en [9, 10] al caso físicamente significativo del operador de Dirac sin masa.

• Comparación con el Rotacional (Curl): Los autores señalan que la estructura del símbolo principal para el operador de Dirac es idéntica a la del operador de rotacional (salvo por un factor de 6), lo que refuerza la universalidad del método en diferentes sistemas no semibotados.
• Relevancia Física: El estudio está motivado por aplicaciones en física de altas energías (teoría de Chern–Simons) y física de la materia condensada (fases topológicas, semimetales de Weyl), donde el invariante eta es una cantidad crucial.
• Conjetura sobre los Invariantes Eta: Los autores conjeturan que sus trazas regularizadas recién definidas coinciden con los invariantes eta locales y globales clásicos evaluados en $s=0$ (es decir, $\psi_{\text{Dir}}^{\text{loc}}(x) = \eta_{\text{Dir}}^{\text{loc}}(0; x)$). Sin embargo, declaran explícitamente que una prueba completa de esta correspondencia está fuera del alcance del presente trabajo y queda reservada para investigaciones futuras.
• Modestia de las Pretensiones: El artículo no pretende haber resuelto por completo el problema de la asimetría espectral, sino que proporciona la maquinaria computacional necesaria (el símbolo principal y la definición de la traza regularizada) para hacerlo. Enfatiza que este enfoque proporciona un "operador definido invariantemente" que contiene más información que el invariante eta por sí solo, ofreciendo una herramienta potencialmente más accesible para la comunidad matemática aplicada.