Design-Based Inference under Random Potential Outcomes

Resumen Técnico: Inferencia Basada en el Diseño bajo Resultados Potenciales Aleatorios

Planteamiento del Problema
El artículo aborda una limitación fundamental en la inferencia causal basada en el diseño clásica, específicamente el marco de Resultados Potenciales Fijos (FPO, por sus siglas en inglés) establecido por Neyman (1923/1990) y Rubin (1974). En el marco FPO, los resultados potenciales se tratan como cantidades fijas, y la aleatoriedad surge únicamente del mecanismo de asignación del tratamiento. En consecuencia, los estimandos causales se definen condicionados a una única realización del entorno experimental. Si bien esto permite la identificación de efectos de tratamiento dentro de esa realización específica, no garantiza la recuperabilidad de las cantidades a nivel de mecanismo —definidas como expectativas sobre entornos estocásticos latentes— a partir de un único experimento realizado.

El problema inferencial central es que la identificación por sí sola es insuficiente para la recuperabilidad. Si todas las unidades comparten un choque latente común, aumentar el tamaño de la muestra no proporciona información adicional sobre la expectativa sobre el entorno latente. El artículo busca determinar si, y bajo qué condiciones, el promedio transversal entre las unidades en un solo experimento puede recuperar consistentemente las expectativas definidas sobre el mecanismo estocástico subyacente.

Metodología y Marco Teórico
El autor propone un marco de Resultados Potenciales Aleatorios (RPO) donde los resultados potenciales se modelan como elementos aleatorios indexados por un entorno estocástico latente $\omega$.

1. Especificación del Modelo:

   • Los resultados potenciales se representan como mapeos medibles $\tilde{y}_i(z, \omega) = y_i(z, x_i(\omega), \epsilon_i(\omega))$, donde $z$ es el vector de tratamiento y $\omega$ es un elemento aleatorio latente en un espacio de probabilidad común.
   • Los estimandos causales se definen como expectativas sobre $\omega$ (por ejemplo, $\tau_{RPO} = E_\omega[\frac{1}{n}\sum (\tilde{y}_i(1, \omega) - \tilde{y}_i(0, \omega))]$), en lugar de estar condicionados a un esquema fijo.
   • Los efectos de tratamiento se formalizan como funcionales lineales continuos en un espacio de modelos $M_i \subset L^2(Z \times \Omega)$. Mediante el Teorema de Representación de Riesz, estos funcionales admiten un representador único $\psi_i$, permitiendo que el efecto de tratamiento se exprese como un producto interno $\theta_i(\tilde{y}_i) = \langle \tilde{y}_i, \psi_i \rangle$.

2. Estrategia de Estimación:

   • El artículo utiliza estimadores de Riesz ($\hat{\theta}_i = \tilde{y}_i \psi_i$) que son insesgados para el estimando a nivel de mecanismo bajo la aleatoriedad conjunta de la asignación del tratamiento y el entorno latente.
   • Se construye un Estimador de Riesz Agregado como una suma ponderada de estimadores de Riesz individuales.

3. Condiciones de Recuperabilidad (Dependencia Local):

   • Para cerrar la brecha entre el promedio transversal de las unidades y el promedio sobre los entornos latentes, el artículo introduce condiciones de dependencia local modeladas mediante vecindarios de dependencia (siguiendo a Chen y Shao, 2004; Ross, 2011).
   • Supuestos 6 y 7: El tamaño máximo y promedio de los vecindarios de dependencia deben crecer suficientemente lento en relación con el tamaño de la muestra $n$ (específicamente $D_n = o(n^d)$ con $d \leq 1/4$ para la normalidad asintótica).
   • Estas condiciones inducen una propiedad de tipo ergódica, asegurando que el promedio transversal entre las unidades recupere asintóticamente la expectativa sobre el entorno estocástico latente a partir de un único experimento realizado.

4. Estimación de la Varianza:

   • A diferencia del marco FPO, donde los estimadores de varianza de tipo Neyman están estructuralmente limitados a límites superiores conservadores, el marco RPO permite la estimación consistente de la varianza.
   • Los estimadores de varianza propuestos aprovechan la escasez de la estructura de dependencia. Al sumar los productos cruzados de los residuos centrados solo sobre pares dentro de los vecindarios de dependencia (o pares correlacionados), el estimador recupera consistentemente la verdadera varianza de muestreo asociada al mecanismo estocástico.

Resultos Clave

• Consistencia y Recuperabilidad: Bajo condiciones de dependencia local y de acotación, el estimador de Riesz agregado es consistente en el sentido del error cuadrático medio para el estimando a nivel de mecanismo. El promedio transversal sustituye asintóticamente al promedio sobre los entornos latentes.
• Normalidad Asintótica: El estimador satisface un Teorema del Límite Central ($\sigma_n^{-1}(\hat{\tau}_n - \tau_n) \xrightarrow{d} N(0,1)$), siempre que los vecindarios de dependencia sean suficientemente dispersos ($d \leq 1/4$) y existan momentos de cuarto orden finitos.
• Estimación Consistente de la Varianza: El artículo establece que los estimadores factibles, construidos con base en las estructuras de dependencia local, son consistentes para la verdadera varianza de muestreo. Esto resuelve la limitación estructural del marco FPO, donde solo se dispone de límites superiores conservadores.
• Evidencia de Simulación: Las simulaciones de Monte Carlo confirman que el procedimiento propuesto mantiene un control de tamaño preciso y una cobertura empírica cercana a los niveles nominales (por ejemplo, 95%) bajo diversas tasas de crecimiento de la dependencia y tamaños de muestra, siempre que se cumplan las condiciones teóricas de escasez. El método también demuestra un alto poder estadístico.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma reencuadrar la inferencia basada en el diseño bajo RPO como un problema de recuperabilidad de las cantidades causales a nivel de mecanismo. Sus principales contribuciones son:

1. Puente Teórico: Demuestra que una dependencia local adecuadamente dispersa induce una propiedad ergódica, permitiendo que un único experimento realizado proporcione inferencia asintóticamente válida para los estimandos de nivel de mecanismo.
2. Estimación de la Varianza: Resuelve el problema de la estimación inconsistente de la varianza en entornos de diseño al desplazar el objetivo inferencial de esquemas fijos hacia mecanismos estocásticos. Esto permite la estimación consistente de la varianza en lugar de depender de límites superiores conservadores.
3. Distinción de los Marcos Existentes: El trabajo se distingue de los enfoques asistidos por modelos (que dependen del modelado de resultados) y de las formulaciones basadas en el muestreo (que abordan cantidades a nivel de población bajo incertidumbre de muestreo). En su lugar, se basa únicamente en el diseño de aleatorización y la estructura del entorno latente para lograr la recuperabilidad.

El artículo concluye que, si bien la identificación es un requisito previo, la recuperabilidad desde un solo experimento solo es posible bajo estructuras probabilísticas específicas (dependencia local) inducidas por el diseño experimental. El marco propuesto permite realizar inferencias asintóticamente válidas para las cantidades de nivel de mecanismo sin requerir repeticiones del experimento.