Density perturbations in nonminimally coupled gravity: symptoms of Lagrangian density ambiguity

Resumen Técnico: Perturbaciones de Densidad en Gravedad con Acoplamiento No Mínimo y Ambigüedad del Lagrangiano

Planteamiento del Problema
Este trabajo investiga la evolución tardía de las perturbaciones de densidad cosmológica dentro de una teoría de gravedad modificada que presenta un acoplamiento no mínimo (NMC, por sus siglas en inglés) entre la curvatura y la materia, específicamente el modelo $f(R, L_m)$. Un problema central abordado es la "ambigüedad de la densidad del Lagrangiano" inherente a las descripciones de fluidos perfectos. En la Relatividad General (GR), la elección entre las densidades del Lagrangiano de materia $L_m = -\rho$ y $L_m = p$ (donde $\rho$ es la densidad de energía y $p$ es la presión) produce dinámicas gravitatorias idénticas porque $L_m$ no aparece explícitamente en las ecuaciones de campo. Sin embargo, en las teorías NMC, las ecuaciones de campo y las leyes de conservación dependen explícitamente de $L_m$, rompiendo esta degeneración. El artículo tiene como objetivo determinar cómo estas distintas elecciones afectan la constante gravitacional efectiva ($G_{\text{eff}}$) y la viabilidad de los modelos NMC destinados a explicar la aceleración cósmica tardía.

Metodología
Los autores analizan el sector escalar de las perturbaciones en un fondo de Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker (FLRW) dentro de la métrica de Newton. El estudio procede a través de los siguientes pasos:

1. Derivación de las Ecuaciones Perturbadas: Los autores derivan el conjunto completo de ecuaciones de campo y de conservación perturbadas para la acción NMC $f(R)$, considerando tanto $L_m = -\rho$ como $L_m = p$.
2. Aproximación Cuasiestática ($L_m = -\rho$): El artículo primero revisa la derivación de las ecuaciones de perturbación de densidad bajo la aproximación cuasiestática (neglejando las derivadas temporales de las perturbaciones métricas) para el caso $L_m = -\rho$.
3. Evolución Completa No Cuasiestática ($L_m = -\rho$): Reconociendo potenciales patologías en el límite cuasiestático, los autores realizan un análisis completo sin la suposición cuasiestática. Introducen parámetros adimensionales para desacoplar el sistema de ecuaciones diferenciales, resultando en una ecuación diferencial homogénea de cuarto orden para el contraste de densidad $\delta$.
4. Análisis de Lagrangiano Alternativo ($L_m = p$): El estudio repite el análisis cuasiestático para la elección $L_m = p$, enfocándose específicamente en la era tardía dominada por polvo ($c_s^2 = 0$).
5. Aplicación Numérica: El marco teórico se aplica a modelos NMC de ley de potencia inversa de la forma $f_2(R) = 1 + (R_n/R)^n$. Los autores evolucionan numéricamente el factor de crecimiento $D(z)$ y la tasa de crecimiento $f_g(z)$ utilizando parámetros de fondo consistentes con los datos de Pantheon+.

Contribuciones Clave y Resultados

• Patologías en $L_m = -\rho$ bajo la Aproximación Cuasiestática:
  Para la elección $L_m = -\rho$, la aproximación cuasiestática produce una constante gravitacional efectiva $G_{\text{eff}}$ con un denominador que puede acercarse a cero para números de onda ($k$) específicos y parámetros del modelo. Esto conduce a un comportamiento singular no físico. Los autores demuestran que para los modelos que dominan en la etapa tardía (donde $f_2(R)$ disminuye a medida que $R$ aumenta), la condición $F_{,R} < 0$ (requerida para que el modelo recupere la GR en tiempos tempranos) combinada con $L_m = -\rho < 0$ desencadena esta divergencia. Esto sugiere que la teoría colapsa a nivel perturbativo incluso si la evolución del fondo parece viable.

• Resolución mediante el Análisis Completo No Cuasiestático ($L_m = -\rho$):
  Cuando se resuelven las ecuaciones completas no cuasiestáticas, se evita el comportamiento singular. Los términos de orden principal en el denominador de la constante gravitacional efectiva se vuelven proporcionales a potencias más altas del número de onda ($k^{14}$), las cuales permanecen positivas. Sin embargo, la $G_{\text{eff}}$ resultante exhibe una fuerte dependencia de escala (una relación $k^2$ respecto al denominador). Para mantener una $G_{\text{eff}}$ físicamente viable y consistente con la formación de estructuras a gran escala, la magnitud de las modificaciones de la NMC ($f_2 - 1$) debe ser extremadamente pequeña ($\sim 10^{-5}$). Esta restricción efectivamente impide que el sector NMC impulse la expansión acelerada del Universo, haciendo que tales modelos sean observacionalmente inviables para la cosmología de fondo.

• Viabilidad de $L_m = p$:
  En contraste, la elección $L_m = p$ produce resultados significativamente diferentes. En la era tardía dominada por polvo ($p \approx 0$), los términos NMC en la ecuación de Friedmann de fondo desaparecen, restaurando la evolución de fondo estándar de $\Lambda$CDM. Crucialmente, las ecuaciones perturbativas no sufren las singularidades o la severa dependencia de escala encontradas en el caso $L_m = -\rho$. La constante gravitacional efectiva permanece independiente de la escala y dentro de los límites observacionales, desviándose como máximo un $\sim 50\%$ de $G$. La tasa de crecimiento $f_g$ muestra un aumento transitorio seguido de una disminución, pero el modelo permanece físicamente consistente.

• Modelos de Ley de Potencia Inversa:
  Aplicando estos hallazgos a modelos con $f_2(R) = 1 + (R_n/R)^n$, los autores muestran que, mientras el fondo permanece como $\Lambda$CDM, la dinámica perturbativa difiere notablemente según la elección del Lagrangiano. Para $L_m = p$, los modelos predicen una evolución específica del factor y la tasa de crecimiento que podría ser probada contra datos observacionales, a diferencia del caso $L_m = -\rho$, que queda descartado por el requisito de una $G_{\text{eff}}$ no singular y viable.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma identificar un problema crítico, previamente pasado por alto, en la dinámica perturbativa de la gravedad $f(R)$ con NMC: la elección de la densidad del Lagrangiano de materia no es simplemente una ambigüedad formal, sino que tiene consecuencias físicas profundas para la viabilidad de la teoría.

• Restricción sobre los Modelos NMC: Los autores argumentan que para $L_m = -\rho$, el requisito de evitar singularidades y mantener una constante gravitacional efectiva viable impone restricciones tan estrictas sobre la función NMC que estos modelos no pueden explicar la aceleración de la expansión tardía del Universo sin un ajuste fino o sectores adicionales (por ejemplo, una constante cosmológica en $f_1(R)$).
• Resolución de la Ambigüedad: Los resultados sugieren que $L_m = p$ es la elección físicamente preferida para la cosmología tardía dentro de este marco, ya que evita el comportamiento patológico de $G_{\text{eff}}$ y permite modificaciones no patológicas en la formación de estructuras.
• Direcciones Futuras: El trabajo destaca la necesidad de una derivación fundamental del Lagrangiano del fluido perfecto en contextos de NMC para resolver la ambigüedad. También propone que las ecuaciones derivadas pueden utilizarse para restringir los parámetros de la NMC mediante los datos de la tensión de $\sigma_8$ y la tasa de crecimiento, de manera similar a cómo se ha abordado la tensión de Hubble en otros escenarios de gravedad modificada.

Los autores concluyen que mientras la elección $L_m = -\rho$ conduce a singularidades no físicas o a la trivialidad en el régimen perturbativo, la elección $L_m = p$ ofrece un marco consistente para estudiar las modificaciones tardías de la gravedad, siempre que la evolución del fondo no sea impulsada únicamente por el sector NMC.