Placebo Discontinuity Design

Resumen Técnico: Diseño de Discontinuidad de Placebo

1. El Problema
El Diseño de Regresión por Discontinuidad (RDD) estándar se basa en el supuesto de identificación de que los resultados potenciales esperados son continuos en el punto de corte. Este supuesto garantiza que las unidades justo por encima y por debajo del umbral sean comparables en ausencia de tratamiento. Sin embargo, esta continuidad puede verse violada cuando la variable de asignación está sujeta a manipulación estratégica o clasificación por parte de agentes que conocen el punto de corte (por ejemplo, administradores escolares que manipulan la matrícula para activar la reducción del tamaño de las clases, o médicos que manipulan los informes de peso al nacer para activar intervenciones médicas).

Cuando ocurre tal manipulación, la distribución condicional de los confundidores no observados dado la variable de asignación se vuelve discontinua en el punto de corte. En consecuencia, los estimadores de RDD estándar resultan sesgados porque la discontinuidad en el resultado refleja tanto el efecto del tratamiento como la discontinuidad en el confundidor no observado. Si bien la literatura existente utiliza variables de placebo (resultados o covariables que no deberían verse afectadas por el tratamiento) como herramientas diagnósticas para detectar tales violaciones, los métodos actuales no ofrecen un camino para recuperar el efecto del tratamiento una vez detectada una violación.

2. Metodología y Estrategia de Identificación
Los autores proponen una nueva estrategia de identificación, denominada "Diseño de Discontinuidad de Placebo" (PDD, por sus siglas en inglés), que aprovecha un tratamiento de placebo ($Z$) y un resultado de placebo ($W$) para corregir el confundidor no observado y recuperar el efecto causal incluso cuando el supuesto de continuidad estándar falla.

• Modelo Estructural: El artículo modela el resultado $Y$ como una función del tratamiento $A$, la variable de asignación $D$, el confundidor no observado $U$ y el ruido idiosincrático $\eta_y$. Crucialmente, los autores permiten que la densidad de $U$ dado $D$ sea discontinua en el punto de corte $d^*$.

• Supuestos Clave:

  • Continuidad Condicional: Aunque los resultados potenciales pueden ser discontinuos en $D$ marginalmente, se asume que son continuos condicionados al confundidor no observado $U$. Es decir, $E[Y(a, D, U, \eta_y) | D=d, U=u]$ es continuo en $d$ para un $u$ fijo.
  • Variables de Placebo:
    • Tratamiento de Placebo ($Z$): Una variable que afecta a la variable de asignación $D$ (y, por ende, al tratamiento $A$) pero que es independiente del confundidor no observado $U$ y del resultado $Y$ condicionado a $D$ y $U$.
    • Resultado de Placebo ($W$): Una variable que es un proxy del confundidor no observado $U$, pero que no es causada directamente por el tratamiento $A$, la variable de asignación $D$, ni el tratamiento de placebo $Z$.
  • Puente de Confusión (Confounding Bridge): Los autores asumen la existencia de una función de "puente de confusión" $h$ tal que la esperanza condicional del resultado dado $D$ y $U$ puede expresarse como una integral de $h$ con respecto a la distribución del resultado de placebo $W$ dado $D$ y $U$.
  • Completitud: Una condición de rango que asegura que la solución a la ecuación integral sea única, permitiendo la identificación de punto.

• Resultado de Identificación: Bajo estos supuestos, el efecto del tratamiento $\tau_0$ se identifica como la diferencia entre el límite por la derecha y el límite por la izquierda ajustado del resultado, donde el ajuste se deriva de la discontinuidad del resultado de placebo ponderada por un coeficiente de variable instrumental local. Específicamente, el estimador se descompone en un término de RDD estándar menos un término de ajuste basado en la discontinuidad del resultado de placebo ponderado por un coeficiente de variable instrumental local.

3. Estimación
El artículo propone un estimador de Variable Instrumental Local (LIV) para operacionalizar la estrategia de identificación.

• Enfoque: Los autores aproximan la función de puente de confusión utilizando una especificación parcialmente lineal. Estiman los parámetros utilizando un marco de regresión lineal local extendido para incluir variables instrumentales.
• Descomposición: El estimador resultante, $\hat{\tau}_{pdd}$, es numéricamente equivalente a:
  $$\hat{\tau}_{pdd} = \hat{\tau}^y_{rdd} - (\hat{\tau}^w_{rdd})^\top \hat{\gamma}_-$$
  donde $\hat{\tau}^y_{rdd}$ es el estimador RDD estándar para el resultado objetivo, $\hat{\tau}^w_{rdd}$ es el estimador RDD para el resultado de placebo, y $\hat{\gamma}_-$ es un vector de pesos derivado de una regresión de IV local del resultado objetivo residualizado sobre el resultado de placebo residualizado (instrumentado por $Z$) por debajo del punto de corte.
• Interpretación: Si el resultado de placebo no muestra discontinuidad ($\hat{\tau}^w_{rdd} \approx 0$), el término de ajuste desaparece y el estimador se reduce al RDD estándar. Si existe una discontinuidad, el estimador la utiliza para corregir el sesgo en el resultado objetivo.

4. Resultados Teóricos

• Consistencia: Los autores establecen que el estimador LIV es consistente para el efecto del tratamiento bajo el supuesto de que el puente de confusión es parcialmente lineal (o bien aproximado por este).
• Normalidad Asintótica y Corrección de Sesgo: Siguiendo el marco de Calonico et al. (2014), el artículo deriva el sesgo asintótico del estimador ingenuo cuando se utilizan anchos de banda óptimos de Error Cuadrático Medio (MSE). Los autores proponen un procedimiento de inferencia robusto con corrección de sesgo. Demuestran que, tras la corrección de sesgo, el estimador es asintóticamente normal a una tasa de $n^{-2/5}$, lo que permite la construcción de intervalos de confianza válidos y pruebas de hipótesis.

5. Principales Contribuciones y Significado

• Del Diagnóstico a la Corrección: La principal contribución es cambiar el papel de las variables de placebo en RDD de meras herramientas diagnósticas (para detectar invalidez) a mecanismos de corrección activos (para recuperar la validez).
• Identificación de Punto bajo Manipulación: A diferencia de enfoques previos que solo proporcionan límites para el efecto del tratamiento cuando la variable de asignación es manipulada (por ejemplo, Gerard et al., 2020), este artículo proporciona condiciones para la identificación de punto del efecto del tratamiento en presencia de comportamiento estratégico.
• Recuperación No Paramétrica: El método recupera el efecto de tratamiento de RDD de forma no paramétrica, evitando la necesidad de supuestos paramétricos fuertes sobre la función de producción o la distribución de los no observables requeridos por otros métodos (por ejemplo, Garicano et al., 2016).
• Implementación Práctica: El estimador propuesto se descompone en componentes de RDD familiares y un ajuste ponderado, lo que lo hace computacionalmente tratable e interpretable para investigadores empíricos. Evita la "maldición de la dimensionalidad" asociada frecuentemente a la estimación no paramétrica que involucra múltiples covariables mediante el uso de una aproximación parcialmente lineal.

6. Reivindicaciones y Limitaciones
Los autores reivindican modestamente proporcionar un nuevo resultado de identificación y una nueva variación del estimador de regresión lineal local. Reconocen que los supuestos estructurales (específicamente la existencia del puente de confusión y la condición de completitud) son generalmente no testeables, de manera similar a los supuestos estándar de las variables instrumentales. El método depende de la disponibilidad de variables de placebo válidas que cumplan con restricciones específicas de exclusión e independencia. El artículo no pretende resolver todas las formas de invalidez de RDD, sino que apunta específicamente a entornos donde la manipulación estratégica conduce a discontinuidades en los confundidores no observados, un problema común en aplicaciones de ciencias sociales que involucran beneficios gubernamentales o programas sociales. Se sugiere que trabajos futuros exploren la inferencia consciente del sesgo y el comportamiento del estimador con proxies débiles.