Topological invariants and topological charges in photonic systems

Resumen Técnico: Invariantes topológicos y cargas topológicas en sistemas fotónicos

Planteamiento del Problema
La fotónica topológica opera actualmente con dos marcos conceptuales distintos: la topología global, definida por invariantes (p. ej., números de Chern, fases de Zak) obtenidos mediante la integración sobre toda la zona de Brillouin (BZ), y la topología local, definida por defectos como los vórtices de polarización en la emisión de campo lejano. Mientras que los invariantes globales se calculan típicamente utilizando soluciones numéricas de las ecuaciones de Maxwell (p. ej., métodos de elementos finitos) o modelos de enlace fuerte (TB), y los defectos locales se analizan a menudo mediante aproximaciones de red vacía (ELA) u órdenes de difracción, estos enfoques carecen de una intuición física unificada. Los métodos existentes para conectar modelos TB de corto alcance con modelos ELA de largo alcance son computacionalmente costosos y no permiten fácilmente el control independiente de las energías de los modos en puntos de alta simetría (HSP). Además, existe la necesidad de un marco que cierre la brecha entre las descripciones hamiltonianas de campo cercano y las propiedades de radiación de campo lejano, particularmente para campos vectoriales donde la polarización juega un papel crítico.

Metodología
Los autores proponen un marco general basado en un Hamiltoniano efectivo en el espacio real, $\hat{H} = \hat{H}_k + \hat{H}_c$, capaz de describir campos eléctricos como vectores tanto en campo cercano como en campo lejano.

1. Construcción del Hamiltoniano:

   • $\hat{H}_k(k)$ (Parte dependiente del momento): Este término aproxima la aproximación de red vacía (ELA) modelando la dispersión de los modos de propagación libre. Se construye mediante una transformada de Fourier inversa de las estructuras de bandas deseadas, permitiendo acoplamientos de largo alcance ($M$ vecinos) que evolucionan la dispersión de una forma TB de coseno estándar a una dispersión de cono de luz lineal.
   • $\hat{H}_c$ (Parte de acoplamiento): Esta matriz independiente del momento desplaza las energías de las bandas asociadas con diferentes modos de simetría en los HSP. Se construye utilizando matrices de proyección basadas en la teoría de grupos ($P_{IR}$) derivadas de las representaciones irreducibles (IR) del grupo de simetría de la red (p. ej., $C_4$ o $C_{4v}$). Esto permite el ajuste independiente de las energías de los modos para IR específicas, abriendo efectivamente brechas (gaps) y ordenando las bandas.

2. Extensiones Escalares y Vectoriales:

   • El modelo se desarrolla primero para campos escalares (p. ej., componentes fuera del plano) y luego se extiende a campos vectoriales (campos eléctricos en el plano).
   • Para campos vectoriales, la base se expande para incluir estados de polarización circular ($|L\rangle, |R\rangle$). Las matrices de representación para las operaciones de simetría se modifican para actuar tanto en los sitios de la red como en la base de polarización, permitiendo el tratamiento de los vórtices de polarización.

3. Conexión de Campo Lejano:

   • La emisión de campo lejano se calcula como una suma coherente de los autoestados de campo cercano en los sitios de la celda unidad.
   • Los autores definen dos tipos de curvaturas: la curvatura de Berry convencional ($B_{NF}$) derivada de los autovectores de campo cercano y la "curvatura de radiación" ($B_{FF}$) derivada de los parámetros de Stokes de campo lejano.
   • Las cargas topológicas (números de giro) de los vórtices de polarización se calculan en los HSP para analizar la topología local.

4. Aplicación a Modelos SSH 2D:

   • El marco se aplica para construir modelos Su-Schrieffer-Heeger (SSH) 2D con acoplamientos ajustables, incluyendo interacciones de largo alcance y términos de ruptura de la simetría de inversión temporal (TRS) para simular redes de flujo magnético.

Resultados Clave

• Marco Unificado: El Hamiltoniano propuesto cierra con éxito la brecha entre los modelos TB y ELA. Al aumentar el rango de los acoplamientos ($M$), el modelo transiciona suavemente de una dispersión de coseno a una dispersión de cono de luz lineal sin generar nuevos cruces de bandas, preservando los invariantes topológicos.
• Control de Fases Topológicas: Mediante el ajuste independiente de las energías de las IR en los HSP a través de $\hat{H}_c$, los autores demuestran la capacidad de diseñar estructuras con propiedades topológicas específicas:
  • Bandas Triviales: Configuraciones donde existen cargas topológicas locales pero cuya suma es cero, resultando en una fase de Zak y un número de Chern nulos.
  • Fase de Zak (Z): Se logran fases de Zak no triviales ($Z=1$) creando un desajuste en los autovalores de simetría de inversión entre los puntos $\Gamma$ y $X$. Los autores establecen una relación directa entre la fase de Zak y las cargas topológicas locales: $Z/\pi = (q_\Gamma + q_X) \mod 2$.
  • Número de Chern (C): Al romper la TRS (introduciendo acoplamientos intracelulares complejos), las degeneraciones en los HSP se dividen en estados de polarización circular, generando números de Chern no nulos.
• Topología Local vs. Global: El estudio revela que, si bien la distribución de la curvatura de Berry difiere entre el campo cercano y el campo lejano (debido a la sensibilidad a las variaciones de polarización en el campo lejano), los invariantes topológicos globales integrados (número de Chern) permanecen robustos e idénticos en ambos regímenes.
• Estados de Borde: Las simulaciones de sistemas con condiciones de contorno abiertas confirman la existencia de estados de borde topológicos. Se demuestra que estos estados son robustos frente a deformaciones estructurales y defectos. La emisión de campo lejano de estos estados de borde está totalmente polarizada en el espín y traza la forma del borde de la muestra en el espacio de momentos, diferenciándose de la emisión moteada de los modos de volumen (bulk).

Significación y Reivindicaciones
El artículo afirma proporcionar un "marco general" que permite el diseño de estructuras fotónicas con "propiedades topológicas casi arbitrarias" aprovechando los principios de simetría. La importancia principal radica en:

1. Intuición Física: Ofrecer un enfoque analítico basado en el Hamiltoniano que conecta los acoplamientos en el espacio real con la topología en el espacio de momentos, evitando la naturaleza de "caja negra" de los resolvedores de Maxwell puramente numéricos.
2. Puente de Escalas: Establecer un vínculo natural entre los defectos topológicos locales (vórtices de polarización en el campo lejano) y los invariantes topológicos globales (números de Chern, fases de Zak).
3. Versatilidad: El enfoque no se limita a los cristales fotónicos, sino que es aplicable a cualquier material sintético diseñado con acoplamientos controlables en el espacio real, como redes de circuitos y metamateriales mecánicos.
4. Herramienta de Diseño: El método sirve como una herramienta de diseño guiada por la simetría donde la desviación de las energías de las IR respecto al límite de red vacía puede utilizarse como parámetros de ajuste para lograr las fases topológicas deseadas, facilitando la realización experimental de sistemas fotónicos topológicos protegidos.