Hedging Options on Asset Portfolios against Just One Underlying Asset in the Presence of Transaction Costs

Este estudio investiga la estrategia de cobertura óptima para opciones sobre una cartera de dos activos cuando existen costos de transacción, demostrando mediante simulación que cubrir con un activo correlacionado pero no subyacente puede ser preferible a cubrir con el activo correcto si la correlación es suficientemente alta y los costos de transacción son bajos, según lo determinado por métricas de valor ajustado al riesgo.

Lo esencial

Imagina que posees un boleto (una opción) que te otorga el derecho de comprar una casa específica (Activo 1) a un precio fijo en el futuro. El valor de este boleto depende enteramente de cómo cambie el precio de dicha casa.

Para protegerte de perder dinero si el precio de la casa cae, usualmente intentas "cubrirte" (hacer un hedge). En el mundo perfecto y sin fricciones de los libros de texto de matemáticas, comprarías y venderías constantemente la propia casa para equilibrar tu riesgo. Pero en el mundo real, comprar y vender casas es costoso. Hay comisiones de agentes, impuestos y el fastidio de mudarte (estos son los costos de transacción). Si intentas reequilibrar tu cartera cada vez que el precio se mueve un centavo, las comisiones se comerán todas tus ganancias.

Este artículo plantea una pregunta astuta: ¿Qué pasaría si te cubres con una casa diferente que es más barata de negociar, pero que se mueve de manera muy similar?

La Configuración: La casa "Correcta" frente a la casa "Incorrecta"

Los autores establecieron una simulación con dos casas:

1. La casa "Correcta" (Activo 1): Esta es la casa real en la que se basa tu boleto. Es la coincidencia perfecta, pero imagina que está en un área remota donde cada vez que intentas comprar o vender una participación de ella, cuesta mucho dinero (altos costos de transacción).
2. La casa "Incorrecta" (Activo 2): Esta es una casa diferente en un pueblo vecino. No es la casa exacta para la que es tu boleto, pero sube y baja de precio casi exactamente de la misma manera que la casa "Correcta". Crucialmente, está en una ciudad concurrida donde negociar es barato y fácil (bajos costos de transacción).

Los investigadores preguntaron: ¿Es mejor pagar altas comisiones por negociar la casa "Correcta" o pagar bajas comisiones por negociar la casa "Incorrecta"?

El Experimento: Simulando el Mercado

Utilizaron una computadora para ejecutar 10,000 escenarios diferentes de "qué pasaría si" (simulaciones). Jugaron con tres controles principales:

• Correlación ($\rho$): Qué tan estrechamente se mueven juntas las dos casas. Si $\rho$ es 0.99, son prácticamente gemelas. Si es 0.2, apenas se mueven juntas.
• Costos de Transacción: Cuánto cuesta negociar cada casa (desde 0% hasta 10%).
• Tolerancia al Riesgo ($\lambda$): Qué tanto le importa al inversor el riesgo. Un número alto significa que están muy nerviosos y quieren evitar el riesgo a toda costa. Un número bajo significa que están dispuestos a asumir riesgos por una ganancia potencial.

Medieron el éxito utilizando una métrica llamada Valor Ajustado al Riesgo (VAR). Piensa en esto como una "puntuación" que te dice: "¿Vale la pena el dinero que estoy ganando el estrés y el riesgo que estoy asumiendo?"

Los Hallazgos: Cuándo Negociar la casa "Incorrecta"

Aquí está lo que descubrieron, traducido a lógica cotidiana:

1. La "Coincidencia Perfecta" no siempre es la ganadora
Si la casa "Correcta" es muy costosa de negociar, y la casa "Incorrecta" es barata de negociar, podrías estar mejor negociando la casa "Incorrecta", pero solo si las dos casas son prácticamente idénticas en cómo se mueven.

• La Analogía: Imagina que necesitas cruzar un río. El puente "Correcto" es el camino directo, pero el peaje es de $100. El puente "Incorrecto" está a una milla de tu camino, pero el peaje es de $1. Si el puente "Incorrecto" es 99% paralelo al puente "Correcto", tomar el desvío te ahorra dinero. Pero si el puente "Incorrecto" va en una dirección completamente diferente (baja correlación), terminarás perdido, y el peaje barato no te ayudará.

2. La Trampa del "Alto Costo"
Si las comisiones para negociar cualquiera de las dos casas son enormes (como el 10%), la mejor estrategia a menudo es no hacer nada en absoluto.

• La Analogía: Si el peaje para cruzar cualquier puente es de $1,000, y tu boleto solo vale $500, no deberías cruzar en absoluto. Es mejor que guardes tu boleto y aceptes el riesgo que pagar el peaje y perder dinero. El artículo señala que esto a menudo se aplica a activos muy costosos como bienes raíces o criptomonedas, donde las comisiones de negociación son masivas.

3. El Factor "Aversión al Riesgo"
Tu decisión depende de cuánto te asusta perder dinero.

• Si eres muy averso al riesgo (alto $\lambda$), prefieres la casa "Correcta" incluso si es costosa, porque es la cobertura perfecta.
• Si te preocupa menos el riesgo (bajo $\lambda$) y la casa "Incorrecta" es muy barata y muy similar a la "Correcta", podrías elegir la casa "Incorrecta" para ahorrar en comisiones.

4. El Requisito de "Moverse al Unísono"
El artículo encontró que para negociar con éxito la casa "Incorrecta", la correlación ($\rho$) necesita ser extremadamente alta (alrededor de 0.99).

• La Analogía: Incluso si dos casas están en el mismo vecindario, si una sube un 1% y la otra sube un 0.5%, no se están moviendo "al unísono". Para usar la casa "Incorrecta" barata como un escudo, deben moverse casi exactamente juntas. Si se separan incluso un poco, la cobertura barata falla en protegerte.

La Conclusión

El artículo concluye que cubrirse no se trata solo de elegir el activo "correcto"; se trata del costo de la operación.

• Si los costos de negociación son bajos: Quédate con el activo "Correcto" (el que realmente sustenta tu opción). Es la apuesta más segura.
• Si los costos de negociación son altos: Tienes dos opciones. O no te cubres en absoluto (si los costos son astronómicos), o te cubres con el activo "Incorrecto" (si es barato de negociar y se mueve casi exactamente como la cosa real).
• La Trampa: Solo puedes usar el activo "Incorrecto" si los dos activos son prácticamente gemelos (correlación muy alta). Si no lo son, los ahorros en comisiones no compensarán el riesgo de que la cobertura falle.

En resumen: A veces, la herramienta "incorrecta" es en realidad la mejor herramienta, siempre que sea barata de usar y haga el trabajo casi tan bien como la herramienta "correcta". Pero si el trabajo es demasiado costoso de hacer, a veces es mejor simplemente dejarlo en paz.

Resumen técnico

Resumen Técnico: Cobertura de Opciones sobre Carteras de Activos frente a un Único Activo Subyacente en Presencia de Costos de Transacción

Planteamiento del Problema
El artículo aborda una limitación práctica en la teoría estándar de cobertura de opciones: la suposición de que el activo subyacente de una opción puede negociarse de forma continua y sin fricciones. En la realidad, los costos de transacción (compuestos por tarifas fijas y deslizamiento proporcional) hacen que la cobertura delta continua sea prohibitivamente costosa, lo que a menudo conduce a costos infinitos en modelos de tiempo continuo como Black-Scholes. Además, el artículo investiga un escenario específico donde un inversor posee una opción sobre una cartera compuesta por una mezcla de dos activos correlacionados ($S_{t1}$ y $S_{t2}$), pero está restringido a cubrirse utilizando únicamente uno de estos activos. La pregunta central de investigación es determinar la estrategia de cobertura óptima bajo estas restricciones: ¿debe el inversor cubrirse utilizando el "correcto" (el que subyace directamente al componente de la cartera), el "incorrecto" (el otro activo correlacionado, que puede ser más barato de negociar) o abstenerse de cubrirse por completo (mantener una posición desnuda)?

Metodología
Los autores emplean un marco de simulación Monte Carlo para analizar estrategias de cobertura delta para opciones sobre acciones en activos que siguen un Movimiento Browniano Geométrico (MBG).

• Construcción de la Cartera: La cartera subyacente se define como $S_t = \alpha S_{t1} + (1-\alpha)S_{t2}$, donde $\alpha$ representa la proporción del primer activo. El estudio se centra en casos donde $\alpha=0$ o $\alpha=1$ (la cartera está totalmente sobre un solo activo) y considera la cobertura de $S_{t1}$ o $S_{t2}$.
• Mecanismo de Cobertura: El estudio utiliza cobertura delta en tiempo discreto. El delta se calcula basándose en la fórmula de Black-Scholes, ajustada para el activo específico que se negocia. La cartera se reequilibra en intervalos fijos ($\delta t$).
• Costos de Transacción: Se aplican costos de transacción proporcionales ($k$) al activo que se negocia. La estructura de costos incluye un componente fijo y un componente proporcional, modelados como deslizamiento.
• Valor Ajustado por Riesgo (VAR): Para evaluar el rendimiento, los autores introducen el Valor Ajustado por Riesgo (VAR) como la métrica principal de decisión. El VAR se define como:
  $$VAR = \text{Valor Simulado Promedio} - \lambda(\text{Desviación Estándar del Valor Simulado})$$
  donde $\lambda$ representa el precio de mercado del riesgo. Esta métrica equilibra el rendimiento esperado contra la volatilidad.
• Parámetros de Simulación: El estudio ejecuta 10.000 simulaciones a través de parámetros variables: coeficientes de correlación ($\rho$) que van desde 0,2 hasta 0,99, costos de transacción ($k$) desde 0% hasta 20%, intervalos de reequilibrio (de 2 a 252 pasos) y precios de mercado del riesgo ($\lambda$) desde 0,2 hasta 2,0.
• Número de Leland: El estudio hace referencia al Número de Leland ($A$) para determinar la viabilidad de estrategias modificadas de Black-Scholes. Si $A > 1$, el artículo señala que no cubrirse es teóricamente superior a cubrirse bajo costos de transacción altos.

Resultados Clave
Los resultados de la simulación, analizados a través del VAR, arrojan los siguientes hallazgos:

1. Impacto de los Costos de Transacción: En presencia de costos de transacción, el reequilibrio frecuente conduce a pérdidas significativas en comparación con posiciones sin cubrir o con negociación menos frecuente. Cuando los costos de transacción son extremadamente altos (por ejemplo, 10% o 20%), la estrategia óptima es consistentemente no cubrirse en absoluto, independientemente de la correlación entre los activos.
2. Negociación del Activo "Incorrecto": El estudio identifica condiciones específicas donde cubrirse con el activo "incorrecto" (el activo que no constituye la exposición principal de la cartera) es superior a cubrirse con el activo "correcto" o no cubrirse. Esto ocurre cuando:
   • La correlación ($\rho$) entre los dos activos es muy alta (acercándose a 0,99).
   • Los costos de transacción en el activo "incorrecto" son significativamente más bajos que los del activo "correcto".
   • El precio de mercado del riesgo ($\lambda$) es bajo (lo que indica menor aversión al riesgo).
   • Específicamente, con un costo del 1% en el activo correcto y 0% en el incorrecto, negociar el activo incorrecto se vuelve óptimo en $\rho=0,99$ para frecuencias de reequilibrio altas.
3. Rol de $\lambda$: El precio de mercado del riesgo ($\lambda$) es un determinante crítico. Valores altos de $\lambda$ (alta aversión al riesgo) generalmente favorecen negociar el activo "correcto" o no cubrirse, mientras que valores más bajos de $\lambda$ hacen que la estrategia del activo "incorrecto" sea más viable cuando las correlaciones son altas.
4. Carteras Mezcladas: Para valores intermedios de $\alpha$ (carteras mezcladas), los precios de cartera simulados son generalmente más bajos que los de carteras puras ($\alpha=0$ o $1$), y el riesgo (desviación estándar) es mayor cuando la proporción del activo negociado es baja.

Significado y Afirmaciones
El artículo afirma proporcionar un marco cuantitativo para que los gestores financieros decidan si cubrir una cartera utilizando un activo correlacionado más barato en lugar del activo subyacente exacto cuando los costos de transacción son un factor.

• Perspectiva Gerencial: Los autores afirman que un gestor de cartera puede potencialmente lograr mayores rendimientos negociando un activo "incorrecto" pero más barato y correlacionado, siempre que la correlación sea suficientemente alta y los costos de transacción en el activo "correcto" sean prohibitivos.
• Umbral de Decisión: El estudio proporciona una matriz de decisión (resumida en la Tabla 3.6) que indica cuándo negociar el activo incorrecto, el correcto o ninguno, basándose en la interacción de $\rho$, $\lambda$ y los costos de transacción.
• Limitaciones: Los autores notan modestamente que sus conclusiones se basan en datos simulados utilizando MBG y modelos específicos de costos de transacción. Sugieren que la efectividad de la estrategia depende en gran medida de la suposición de que el activo "incorrecto" es más barato de negociar y altamente correlacionado. El artículo no afirma eliminar el riesgo, sino más bien gestionarlo de manera más rentable en mercados con fricciones.

En conclusión, el estudio demuestra que en mercados con costos de transacción, la adhesión rígida a cubrir el activo subyacente exacto no siempre es óptima. Bajo condiciones de alta correlación y costos de transacción dispares, sustituir el instrumento de cobertura por un activo correlacionado más barato puede ser una estrategia racional y ajustada al riesgo.