Benchmarking non-Clifford gates using only Pauli twirling group

Resumen Técnico: Evaluación de Puertas No-Clifford utilizando únicamente el Grupo de Twirling de Pauli

Planteamiento del Problema
La caracterización precisa de los procesos cuánticos es esencial para el desarrollo de la computación cuántica tolerante a fallos. Sin embargo, las técnicas estándar como el Benchmarking Aleatorio (RB) suelen verse confundidas por los errores de Preparación y Medición de Estado (SPAM). Aunque el RB aborda esto empleando el twirling de grupo para regularizar los canales de ruido, las implementaciones prácticas favorecen las puertas de twirling "locales" (por ejemplo, puertas de Pauli o Clifford de un solo qubit) debido a su alta fidelidad y viabilidad experimental. Existe una brecha significativa en este marco: mientras que el twirling local caracteriza eficazmente las puertas Clifford, enfrenta limitaciones fundamentales cuando se aplica a puertas de múltiples qubits de tipo no-Clifford genéricas. Los métodos existentes para puertas no-Clifford suelen requerir grupos de twirling de múltiples qubits, lo que viola el supuesto de ruido independiente de la puerta e incurre en una sobrecarga de compilación sustancial. Además, se ha demostrado que las puertas de twirling locales no pueden realizar un twirling efectivo de los canales de ruido de ciertas puertas de fase controlada de múltiples qubits. En consecuencia, existe una falta de un protocolo robusto, libre de errores de SPAM, para caracterizar puertas no-Clifford utilizando únicamente operaciones locales.

Metodología: Benchmarking de Carácter de Transferencia de Pauli (PTCB)
Para abordar esto, los autores proponen el protocolo de Benchmarking de Carácter de Transferencia de Pauli (PTCB). La innovación central radica en la estimación del producto de dos elementos simétricos de la Matriz de Transferencia de Pauli (PTM), específicamente $\tilde{U}_{PQ} \tilde{U}_{QP}$, para un canal ruidoso $\tilde{U}$, utilizando exclusivamente el grupo de twirling de Pauli y SPAM en la base de Pauli.

El protocolo opera bajo los siguientes principios:

1. Conjugación Virtual: En lugar de realizar el twirling directamente sobre el canal de ruido, el protocolo construye un canal "twirled" combinando la puerta objetivo $U$ con una puerta Clifford $C$. Al seleccionar $C$ tal que $C P C^\dagger = \pm Q$ (donde $P$ y $Q$ son operadores de Pauli), el elemento fuera de la diagonal de la PTM $\tilde{U}_{PQ}$ se desplaza efectivamente a una posición diagonal.
2. Par de Clifford Virtual: Para asegurar que todas las operaciones permanezcan locales (Pauli), el protocolo emplea un par de Clifford conjugado virtual ($C$ y $C^\dagger$). En la implementación del circuito, la secuencia involucra la puerta objetivo $\tilde{U}$, seguida de $C^\dagger$, una operación de Pauli, y $C$. Crucialmente, los autores demuestran que la secuencia $C^\dagger P_2 P_1^\dagger C$ puede compilarse en una sola puerta de Pauli. Esto permite al protocolo acceder a elementos fuera de la diagonal de la PTM sin implementar físicamente las puertas Clifford, evitando así el ruido y la sobrecarga asociados con la compilación de Clifford de múltiples qubits.
3. Robustez ante SPAM: El protocolo utiliza el twirling de grupo sobre el grupo de Pauli. Al promediar sobre secuencias de Pauli aleatorias y aplicar proyectores específicos (sumas ponderadas de puertas de Pauli), el método aisla el término $(\tilde{U}_{PQ} \tilde{U}_{QP})^m$. La probabilidad de supervivencia se ajusta exponencialmente para extraer el producto de los elementos de la PTM, lo que hace que la estimación sea robusta a los errores de SPAM.
4. Estimación de Fidelidad: Para puertas unitarias que satisfacen $U^2 = I$ (autoadjuntas), el protocolo estima la fidelidad del proceso. Los autores derivan un límite inferior para la fidelidad basado en la media geométrica de los productos de PTM estimados. Observan que para canales de ruido suficientemente cercanos a la identidad, este límite inferior es una aproximación ajustada. El protocolo también se extiende a puertas no autoadjuntas incorporando la puerta inversa $U^\dagger$ en la estructura del circuito.

Contribuciones Clave

• Protocolo PTCB: Introducción de un nuevo método de benchmarking que estima productos de elementos de PTM utilizando únicamente operaciones de Pauli locales, evitando la necesidad de grupos de twirling de múltiples qubits.
• Benchmarking de No-Clifford: Desarrollo de un esquema específico de benchmarking de fidelidad para puertas no-Clifford (específicamente aquellas que satisfacen $U^2=I$) que es robusto ante errores de SPAM.
• Implementación Virtual: El uso de un par de Clifford conjugado virtual para acceder a elementos fuera de la diagonal de la PTM manteniendo la localidad de todas las operaciones físicas.
• Marco Teórico: Una demostración de que el twirling local puede extenderse para caracterizar puertas no-Clifford construyendo el canal twirled como una combinación de la puerta objetivo y una puerta Clifford, en lugar de realizar el twirling del ruido directamente.

Resultados
Los autores validan el protocolo mediante simulaciones numéricas utilizando la puerta Toffoli como un ejemplo concreto. El modelo de ruido incluye dephasing local, amortiguamiento de amplitud local y ruido unitario (modelado como errores de rotación controlada en puertas CNOT), con infidelidades que oscilan entre 0.01 y 0.04.

• Precisión: Se encontró que la discrepancia entre la infidelidad de proceso real y la infidelidad estimada (usando el límite inferior derivado) fue insignificante, no excediendo $1 \times 10^{-4}$ en todos los canales de ruido simulados.
• Robustez ante SPAM: Las simulaciones confirmaron que el protocolo permanece robusto contra los errores de SPAM, con la estimación convergiendo al valor real independientemente de la tasa de error de SPAM.
• Eficiencia de Muestreo: El estudio analizó los tamaños de muestra requeridos para el "muestreo externo" (selección de pares $(P,Q)$) y el "muestreo interno" (selección de secuencias de Pauli). Se determinó que un número moderado de muestras externas ($M=30$) y muestras internas ($M'$) es suficiente para la convergencia, y que el número de repeticiones del circuito tiene un impacto mínimo en la precisión de la estimación.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma proporcionar una vía teórica para el benchmarking de puertas no-Clifford utilizando exclusivamente operaciones locales. Esto se presenta como un paso significativo hacia la computación cuántica tolerante a fallos, ya que las puertas no-Clifford son indispensables para la computación cuántica universal pero difíciles de caracterizar con los métodos actuales de twirling local. Los autores enfatizan que su método resuelve el desafío de caracterizar puertas no-Clifford de múltiples qubits sin la sobrecarga de los grupos de twirling de múltiples qubits.

Los autores mantienen la modestia respecto a la escalabilidad inmediata y la varianza del método. Reconocen que para puertas de múltiples qubits con términos de PTM que decaen exponencialmente (como la puerta de control-X), el marco actual puede requerir números de muestreo grandes para lograr la convergencia. Además, señalan que el protocolo actual exhibe una varianza no despreciable en la estimación de la fidelidad para las puertas Toffoli, lo que sugiere espacio para la optimización en aplicaciones de corto plazo. Se sugiere como trabajo futuro explorar grupos de twirling alternativos (como el grupo de Clifford local) o métricas de fidelidad alternativas para reducir aún más la sobrecarga de muestreo.