Euclid preparation: The flat-sky approximation for the clustering of Euclid's photometric galaxies

1. El Problema

El satélite Euclid generará dos sondeos principales: uno espectroscópico y otro fotométrico (aprox. $1.5 \times 10^9$ galaxias). Para el análisis del sondeo fotométrico, una de las estadísticas clave es el espectro de potencia angular de los conteos de galaxias (y su correlación con el cizallamiento débil).

El desafío principal radica en la eficiencia computacional frente a la precisión:

• Para realizar inferencias cosmológicas (ej. mediante cadenas de Markov Monte Carlo - MCMC), es necesario calcular espectros de potencia teóricos miles de veces. El cálculo completo (sin aproximaciones) es computacionalmente prohibitivo.
• La aproximación de Limber se utiliza habitualmente porque acelera el cálculo en un orden de magnitud de ~100 veces. Sin embargo, es conocida por fallar en bins de redshift estrechos (comunes en sondeos fotométricos de alta precisión) y a grandes escalas angulares ($\ell \lesssim 100$), subestimando o sobreestimando la potencia en factores de 2 o más.
• La aproximación de cielo plano (flat-sky) es una alternativa que mejora la precisión a grandes escalas manteniendo una velocidad superior al cálculo completo, pero su rendimiento específico para los bins fotométricos de Euclid (especialmente en la liberación final de datos) necesitaba ser validado.

2. Metodología

Los autores compararon tres métodos para calcular los espectros de potencia angular de conteos de galaxias ($C_\ell$):

1. Cálculo Completo: Utilizando el código CLASS (incluyendo todos los términos relativistas: densidad, distorsiones del espacio de redshift -RSD-, y magnificación por lente).
2. Aproximación de Limber: La implementación estándar que asume que los modos paralelos al línea de visión son despreciables.
3. Aproximación de Cielo Plano: Una extensión recalibrada (según Gao et al. 2024) que trata el cielo como un plano, reemplazando los armónicos esféricos por transformadas de Fourier 2D, pero conservando la componente paralela del vector de onda ($k_\parallel$).

Configuraciones de Simulación:
Se utilizaron datos del simulador Flagship de Euclid para dos escenarios:

• DR1 (Primera liberación de datos): 6 bins de redshift equi-populados, corte de magnitud $I_E < 23.5$. Representa un escenario optimista con bins más anchos.
• DR3 (Tercera y última liberación): 13 bins de redshift equi-populados, corte de magnitud $I_E < 24.5$. Representa el sondeo completo con bins más estrechos.

Análisis Estadístico:

• Se generaron 1000 realizaciones de ruido gaussiano basadas en la matriz de covarianza teórica.
• Se calculó la distribución de $\chi^2$ para cada aproximación comparándola con el "verdadero" espectro completo.
• Se evaluó si la diferencia ($\Delta\chi^2$) entre la aproximación y el cálculo completo era estadísticamente significativa (rechazo de la hipótesis nula) dentro de los límites de error observacional (1$\sigma$).

3. Contribuciones Clave

• Validación Rigurosa para Euclid: Es el primer estudio que cuantifica sistemáticamente el error de la aproximación de Limber frente a la de cielo plano específicamente para los bins fotométricos planificados de Euclid (DR1 y DR3).
• Implementación de Efectos Relativistas: El análisis incluye no solo fluctuaciones de densidad, sino también distorsiones del espacio de redshift (RSD) y magnificación por lente, demostrando cómo la aproximación de Limber falla particularmente al recuperar los términos RSD en bins estrechos.
• Desarrollo de un Umbral de Precisión: Se establece que la precisión requerida depende de la configuración de bins: lo que es aceptable para DR1 no lo es para DR3.

4. Resultados Principales

Caso DR1 (6 bins):

• La aproximación de Limber es suficientemente precisa. Aunque introduce un ligero error, este se mantiene dentro de la banda de error de 1$\sigma$ de la encuesta.
• La aproximación de cielo plano no ofrece una mejora significativa en la recuperación de los datos respecto a Limber en este escenario, ya que los bins son lo suficientemente anchos para que Limber funcione bien.
• Resultado estadístico: El valor de $p$ para Limber es 0.038 (rechazado al 95% de confianza, pero marginalmente), mientras que el cielo plano tiene $p=0.393$.

Caso DR3 (13 bins):

• La aproximación de Limber falla catastróficamente. A partir del 4º bin de redshift, los errores superan la banda de 1$\sigma$, especialmente en correlaciones auto-bin y entre bins adyacentes.
• El fallo se debe a que los bins son demasiado estrechos; la aproximación de Limber ignora la componente $k_\parallel$, lo cual es crítico cuando la separación en redshift es pequeña. Además, falla en recuperar correctamente los términos de RSD.
• Resultado estadístico: La distribución de $\Delta\chi^2$ para Limber se desplaza masivamente ($\Delta\chi^2 \sim 410$), con un valor $p < 0.001$, rechazando la hipótesis nula con un 99% de confianza. Esto indica un sesgo inaceptable.
• La Aproximación de Cielo Plano es exitosa: Mantiene una recuperación precisa con un error relativo menor al 5% en los espectros de potencia. Su distribución de $\Delta\chi^2$ es compatible con cero ($p=0.131$), indicando que no introduce sesgos significativos.

Desempeño Computacional:

• Limber: ~200 veces más rápido que el cálculo completo.
• Cielo Plano: ~2 veces más rápido que el cálculo completo (en la implementación actual).
• Nota: Aunque el cielo plano es más lento que Limber, es mucho más rápido que el cálculo completo y su precisión es indispensable para DR3. Se sugiere que con optimizaciones adicionales (pre-cálculo de integrales) se puede mejorar su velocidad.

5. Significado e Implicaciones

• Para el Análisis de Datos de Euclid: Este estudio concluye que la aproximación de Limber no debe utilizarse para el análisis de la liberación final de datos (DR3) del sondeo fotométrico de Euclid, ya que introduciría un sesgo sistemático que podría comprometer la inferencia de parámetros cosmológicos.
• Solución Propuesta: La aproximación de cielo plano es la herramienta recomendada para DR3. Ofrece un equilibrio óptimo: es lo suficientemente precisa para evitar sesgos y lo suficientemente rápida para ser viable en análisis de MCMC, especialmente si se combina con técnicas de pre-cálculo.
• Estrategia Híbrida: Se sugiere que para escalas muy grandes ($\ell \lesssim 20$) donde las discrepancias son mayores, o para términos dominantes como lente-lente (L-L) en bins separados, se podría usar una combinación de aproximaciones.
• Impacto en Sondeos Espectroscópicos: Los resultados también son relevantes para el análisis combinado (6x2 puntos) de los sondeos espectroscópicos si se utilizan bins de redshift estrechos, donde Limber también resultaría insuficiente.

En resumen, el trabajo establece un nuevo estándar para el análisis de datos de Euclid, demostrando que la precisión requerida por la misión final (DR3) exige abandonar la aproximación de Limber en favor de la aproximación de cielo plano para los conteos de galaxias fotométricas.