Automatic calculation of symmetry-adapted tensors under spin-group symmetry. STENSOR, a new tool of the Bilbao Crystallographic Server

Resumen Técnico: STENSOR – Cálculo Automático de Tensores Adaptados a la Simetría bajo el Grupo de Espín

Planteamiento del Problema
Los materiales magnéticos poseen simetrías descritas por grupos espaciales magnéticos, que son simetrías exactas que incluyen el acoplamiento espín-órbita (SOC). Sin embargo, en el límite no relativista donde el SOC está ausente, estos materiales están gobernados por "grupos de espín" (o grupos de espacio de espín). Aunque los efectos del SOC suelen ser débiles, son cruciales para distinguir las propiedades físicas dominantes y robustas de aquellas que son puramente relativistas. Un desafío significativo en el análisis de materiales magnéticos es la derivación automática de formas adaptadas a la simetría para tensores de propiedades físicas bajo la simetría del grupo de espín. A diferencia de los grupos puntuales magnéticos (MPG), los grupos puntuales de espín (SpPG) implican una interacción más compleja entre operaciones espaciales ($R$) y operaciones de espín ($U$), lo que requiere reglas de transformación generalizadas que se extienden más allá del principio de Neumann estándar. Las herramientas existentes, como MTENSOR, gestionan simetrías magnéticas pero no abordan las restricciones específicas impuestas por los grupos de espín, particularmente la distincción entre coeficientes tensoriales no relativistas y aquellos impulsados por el SOC.

Metodología
Los autores presentan STENSOR, una herramienta computacional integrada en el Servidor Cristalográfico de Bilbao, diseñada para automatizar el cálculo de tensores adaptados a la simetría bajo la simetría de un SpPG. El software está implementado en el lenguaje Mathematica y utiliza una combinación de métodos de proyectores, descomposición gaussiana (reducción de filas) y manejo de SparseArray para gestionar las matrices de alta dimensión asociadas con la reducción de tensores.

El programa acepta la entrada a través de dos opciones distintas:

1. Opción A: Carga de archivos de datos estructurales en formatos scif (spin CIF) o mcif (magnetic CIF). Si se proporciona un archivo mcif, el programa asume un SpPG mínimo, derivando las operaciones de solo espín basadas en la colinealidad o coplanaridad de los momentos magnéticos.
2. Opción B: Entrada manual de los generadores del SpPG orientado. Los usuarios proporcionan vectores de 6 componentes (que representan las bases de red y de espín) o de 7 componentes (incluyendo el determinante de la operación de espín). El usuario también debe especificar el tipo de alineación de espín (colineal, coplanar o no coplanar) y el vector de dirección asociado.

El algoritmo central procede en varios pasos:

• Identificación del MPG: El programa identifica el grupo puntual magnético como un subgrupo del SpPG mediante la búsqueda de operaciones donde las partes de espín y espaciales están relacionadas ($U = \pm R$).
• Reducción Tensorial (MPG): Utilizando operadores proyectores, el programa calcula las restricciones impuestas por el MPG sobre los componentes del tensor. Esto implica la construcción de matrices de $3^r \times 3^r$ (donde $r$ es el rango del tensor) que representan los productos de Kronecker de las operaciones de simetría.
• Reducción Tensorial (SpPG): El programa extiende la reducción al SpPG completo. Para los casos colineales y coplanares, esto implica un paso adicional para considerar el "grupo de solo espín intrínseco" (por ejemplo, el grupo de rotación infinita $\infty_n$ para espines colineales). Para el grupo infinito, el programa emplea una expansión en serie de la matriz de rotación para derivar ecuaciones homogéneas lineales que restringen aún más los coeficientes del tensor.
• Simetrización: El algoritmo incorpora simetrías intrínsecas (pares de índices simétricos o antisimétricos) utilizando matrices de proyecciones adicionales, manejando símbolos de Jahn complejos que pueden incluir componentes toroidales.

El resultado proporciona las formas tensoriales adaptadas a la simetría tanto para el SpPG como para el MPG, expresadas en un marco ortonormal.

Contribuciones Clave y Resultados
La contribución principal es el desarrollo de una herramienta capaz de manejar los símbolos de Jahn generalizados requeridos para los grupos de espín, que caracterizan cómo se transforman los componentes del tensor bajo operaciones combinadas de espacio y espín. El artículo demuestra la utilidad de STENSOR a través de dos ejemplos extraídos de la base de datos MAGNDATA:

1. MnF$_2$ (Colineal): El programa analiza el tensor de resistividad del efecto Hall. Revela que, mientras que la simetría magnética permite múltiples coeficientes, la simetría de espín restringe significativamente el tensor, dejando solo un coeficiente no nulo ($c_{63}$). Esto indica que los coeficientes que se anulan bajo la simetría de espín (como $c_{41}$) deben surgir del SOC. El análisis también identifica un desdoblamiento de bandas electrónicas de onda-$d$ no relativista (dependencia $k_x k_y$).
2. Mn$_3$Sn (Coplanar): La herramienta analiza tensores para susceptibilidad magnética, piezomagnetismo y el efecto Hall anomal (AHE). Muestra que el tensor del AHE es nulo bajo la simetría SpPG pero no nulo bajo la simetría MPG, confirmando su origen en el SOC. Además, el artículo ilustra la opción de "base de espín", demostrando cómo manejar estructuras que difieren solo por una rotación rígida de la disposición de espín (por ejemplo, la entrada 0.199 frente a la 0.200 en MAGNDATA), lo que resulta en propiedades tensoriales físicas diferentes a pesar de tener la misma simetría de grupo de espacio de espín subyacente.

Significancia y Reivindicaciones
Los autores afirman que STENSOR llena un vacío crítico en el conjunto de herramientas computacionales para la investigación de materiales magnéticos, permitiendo la distinción sistemática entre efectos no relativistas y relativistas (SOC). Al comparar las formas tensoriales permitidas bajo SpPG frente a MPG, los investigadores pueden identificar inmediatamente qué propiedades físicas son robustas (no relativistas) y cuáles son probablemente correcciones pequeñas impulsadas por el SOC.

El artículo posiciona a STENSOR como un complemento para herramientas existentes como MTENSOR y bases de datos como MAGNDATA. Enfatiza que, si bien la herramienta es poderosa para derivar restricciones teóricas, las estructuras magnéticas experimentales pueden incorporar características de SOC que reducen la simetría real por debajo del caso ideal libre de SOC. Por consiguiente, los autores advierten que en tales escenarios del mundo real, la comparación de las formas tensoriales puede no separar perfectamente las contribuciones relativistas de las no relativistas si la simetría observada ya se ha visto reducida por los efectos del SOC. La herramienta se presenta como un medio para facilitar estudios sistemáticos de compuestos magnéticos, particularmente en el campo emergente del altermagnetismo y la espintrónica no relativista.