On the efficiency of pairwise Hamiltonian control to desynchronize the higher-order Kuramoto model

Resumen Técnico: Sobre la eficiencia del control Hamiltoniano por pares para desincronizar el modelo de Kuramoto de orden superior

Planteamiento del problema
La sincronización en sistemas de osciladores acoplados es un fenómeno ubicuo con implicaciones duales: es beneficiosa en contextos como las redes eléctricas, pero perjudicial en otros, como las crisis epilépticas. Mientras que las estrategias de control tradicionales suelen basarse en interacciones por pares, evidencia reciente indica que muchos sistemas naturales e ingenieriles exhiben interacciones de orden superior (de muchos cuerpos). Estas interacciones alteran fundamentalmente la dinámica del sistema, notablemente al aumentar la estabilidad lineal de los estados sincronizados y, simultáneamente, reducir el tamaño de sus cuencas de atracción —un fenómeno descrito como cuencas "más profundas pero más pequeñas".

El problema central abordado es cómo estos efectos contrapuestos de las interacciones de orden superior influyen en la eficiencia de una estrategia de control por pares mínimamente invasiva diseñada para desincronizar tales sistemas. Específicamente, los autores investigan si el aumento de la estabilidad lineal (que dificulta la desincronización) o la reducción del tamaño de la cuenca (que la facilita) predomina cuando se aplica un esquema de control diseñado originalmente para redes por pares a modelos de Kuramoto de orden superior.

Metodología
El estudio emplea un modelo de Kuramoto de orden superior que comprende $N$ osciladores de fase con interacciones tanto por pares ($K_1$) como de tres cuerpos ($K_2$). El sistema está gobernado por:
$$\dot{\theta}_i = \omega_i + \frac{K_1}{\langle k^{(1)} \rangle} \sum_{j} A^{(1)}_{ij} \sin(\theta_j - \theta_i) + \frac{K_2}{\langle k^{(2)} \rangle} \sum_{j,k} A^{(2)}_{ijk} \sin(\theta_j + \theta_k - 2\theta_i) + \mu \delta_i p_i$$
donde $\mu$ es la fuerza de control y $\delta_i$ indica si un nodo $i$ está controlado.

El mecanismo de control es un control Hamiltoniano por pares mínimamente invasivo, adaptado de Asllani et al. [35]. El término de control $p_i$ se define como:
$$p_i = -\frac{1}{2K_1^2} \frac{M^2}{\langle k^{(1)} \rangle^2} R_M \tilde{R}_{M,i} \cos(\Psi_M - \tilde{\Psi}_{M,i})$$
Este control actúa únicamente sobre un subconjunto de $M$ nodos anclados. Mide el nivel de sincronización de los nodos controlados y aplica una fuerza proporcional a la magnitud de la sincronización, la cual se anula cuando el sistema está completamente desincronizado. Este enfoque evita la complejidad computacional de derivar términos de control de orden superior.

Los autores evalúan la eficiencia del control utilizando dos parámetros de orden:

1. Sincronización de fase ($\hat{R}$): El parámetro de orden de Kuramoto promediado en el tiempo.
2. Sincronización de frecuencia ($\hat{R}_{\dot{\theta}}$): Una medida de el bloqueo de fase (sincronización de frecuencia).

Los experimentos numéricos se realizaron en dos topologías:

• Hiperanillos (Hyperrings): Estructuras regulares que soportan estados retorcidos (twisted states).
• Hipergrafos aleatorios de Erdős-Rényi: Estructuras irregulares sin invarianza rotacional.

El estudio varió sistemáticamente la fuerza de acoplamiento de orden superior ($K_2$), la fuerza de control ($\mu$), el número de nodos controlados ($M$) y la distancia inicial ($\epsilon$) del estado del sistema respecto al centro de la cuenca de sincronización.

Resultados clave

1. Condiciones iniciales sincronizadas:
   Cuando el sistema comienza cerca del estado totalmente sincronizado (centro de la cuenca de atracción), aumentar la fuerza de acoplamiento de orden superior $K_2$ hace que la desincronización sea más difícil. La fuerza de control crítica ($\mu_c$) requerida para lograr la desincronización aumenta monótonamente con $K_2$. Esto indica que en este régimen, el aumento de la estabilidad lineal inducido por las interacciones de orden superior predomina sobre la reducción de la cuenca de atracción. El control por pares sigue siendo efectivo si $\mu$ es suficientemente grande, pero el costo del control aumenta con $K_2$.

2. Condiciones iniciales perturbadas:
   Cuando el sistema comienza más lejos del estado sincronizado (mayor $\epsilon$), emerge un comportamiento no monótono:

   • $K_2$ intermedio: La desincronización es más difícil; el control es menos eficiente.
   • $K_2$ grande: La desincronización se vuelve más fácil; la eficiencia del control mejora.
     Este comportamiento sugiere que para un $K_2$ grande, la reducción de la cuenca de atracción se convierte en el factor dominante, permitiendo que el control empuje las trayectorias fuera de la cuenca más fácilmente a pesar de la mayor estabilidad lineal.

3. Control parcial:
   El estudio confirma que la desincronización puede lograrse incluso cuando solo una fracción de los nodos ($M < N$) es controlada. El número mínimo de nodos requeridos ($M_c$) generalmente aumenta con $K_2$ para condiciones iniciales sincronizadas, pero exhibe un comportamiento no monótono para condiciones iniciales perturbadas, reflejando las tendencias observadas con la fuerza de control.

4. Desincronización de frecuencia vs. fase:
   El control suprime eficazmente la sincronización de fase. Sin embargo, la sincronización de frecuencia (por ejemplo, en estados retorcidos o de clúster) es más robusta, particularmente para $K_2$ moderados en hiperanillos, debido a las simetrías estructurales y al hecho de que el control no apunta directamente al bloqueo de frecuencia.

Significancia y afirmaciones
El artículo afirma proporcionar una visión más clara de la interacción entre las interacciones de orden superior y la eficiencia del control. La contribución principal es demostrar que el efecto de "más profunda pero más pequeña" de las interacciones de orden superior conduce a distintos regímenes de control dependiendo del estado inicial:

• Cerca del estado sincronizado, las interacciones de orden superior actúan como un obstáculo para el control debido a la estabilidad mejorada.
• Lejos del estado sincronizado, las interacciones de orden superior suficientemente fuertes pueden, de hecho, facilitar el control al reducir el tamaño de la cuenca de atracción.

Los autores sostienen que una estrategia de control por pares, mínimamente invasiva y simple, es suficiente para desincronizar sistemas de Kuramoto de orden superior, siempre que la intensidad del control o el número de nodos controlados sea adecuado. Este hallazgo es significativo porque sugiere que los términos de control de orden superior complejos y computacionalmente costosos (como los propuestos en la Ref. [100]) pueden no ser estrictamente necesarios para la desincronización, ofreciendo una vía de implementación más práctica. Los resultados resaltan la importancia de considerar tanto la estabilidad lineal como la geometría de la cuenca al diseñar estrategias de control para redes complejas con interacciones de orden superior.