Inference of horizontal velocity fields from the induction equation in the solar atmosphere. I. Analytical and numerical solutions in 2D

1. Planteamiento del Problema

Las observaciones espectroscópicas y espectropolarimétricas actuales del Sol, basadas en el efecto Doppler, solo permiten inferir la componente de la velocidad del plasma a lo largo de la línea de visión ($v_z$). Sin embargo, muchos procesos dinámicos cruciales en la atmósfera solar (como flujos subgranulares, remolinos, reconexión magnética y tornados magnéticos) involucran movimientos horizontales significativos ($v_x, v_y$).

Los métodos existentes para estimar estas velocidades horizontales, como el Local Correlation Tracking (LCT) y sus variantes, presentan dos limitaciones principales:

1. Son generalmente insensibles a las variaciones en altura (coordenada $z$), proporcionando solo un mapa bidimensional en un plano fijo ($v_x(x,y), v_y(x,y)$).
2. No aprovechan la dependencia vertical que ya es posible recuperar para el campo magnético ($B$) y la velocidad $v_z$ mediante técnicas modernas de inversión de Stokes.

El objetivo de este trabajo es desarrollar un método capaz de inferir la dependencia vertical de los campos de velocidad horizontal ($v_h(x,y,z)$) en la atmósfera solar.

2. Metodología

El método se basa en resolver la ecuación de inducción magnética bajo la hipótesis de magnetohidrodinámica (MHD) ideal (difusión magnética nula):
$$\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = \nabla \times (\mathbf{v} \times \mathbf{B})$$

Supuestos y Entradas:
El método asume que se conocen previamente, mediante técnicas de inversión de Stokes aplicadas a observaciones espectropolarimétricas:

• El vector del campo magnético $\mathbf{B}(x,y,z,t)$.
• Su derivada temporal $\dot{\mathbf{B}}$.
• La componente de velocidad a lo largo de la línea de visión $v_z(x,y,z,t)$.

Desarrollo en 2D (Plano $y, z$):
Como primer paso, el estudio se limita a un dominio bidimensional $(y, z)$, donde $z$ es la línea de visión y se asume $v_x = B_x = 0$. Bajo estas condiciones, las componentes no triviales de la ecuación de inducción forman un sistema sobredeterminado para la única incógnita $v_y(y,z)$:

1. $\dot{B}_y = \frac{\partial}{\partial z} (v_y B_z - v_z B_y)$
2. $\dot{B}_z = \frac{\partial}{\partial y} (v_z B_y - v_y B_z)$

Discretización y Solución Numérica:

• Se utiliza el método de diferencias finitas con un esquema de 5 puntos centrados para discretizar las derivadas espaciales.
• Esto genera un sistema de ecuaciones lineales sobredeterminado ($2 \cdot N \cdot M$ ecuaciones para $N \cdot M$ incógnitas, donde $N$ y $M$ son los puntos de la rejilla).
• El sistema se resuelve en el sentido de mínimos cuadrados ($x = (A^T A)^{-1} A^T c$) para obtener el campo de velocidad $v_y$.
• Se implementan condiciones de frontera de Neumann (derivada nula) utilizando celdas fantasma (ghost cells) para manejar los bordes del dominio sin requerir conocimiento previo de la velocidad en ellos.

3. Contribuciones Clave

• Nueva Metodología: Presentación de un algoritmo que utiliza las tres componentes de la ecuación de inducción (en 3D) o dos componentes (en 2D) para recuperar la estructura vertical de la velocidad horizontal, algo no posible con técnicas puramente ópticas o con solo la componente $z$ de la ecuación.
• Validación Rigurosa: El método se prueba en dos escenarios:
  1. Campos analíticos: Soluciones exactas prescritas para $\mathbf{B}$ y $\mathbf{v}$.
  2. Simulación MHD: Datos extraídos de una simulación de convección magnética solar 2D utilizando el código CO5BOLD.
• Análisis de Degeneraciones: Discusión teórica sobre las degeneraciones de la ecuación de inducción (gradiente de un escalar y componente paralela al campo) y cómo la incorporación de $v_z$ conocida ayuda a romper estas ambigüedades, especialmente en la extensión futura a 3D.

4. Resultados

• Precisión: En ambos casos (analítico y simulación MHD), el método recupera exitosamente la componente horizontal de la velocidad $v_y(y,z)$.
  • Error medio: Aproximadamente 1% en la magnitud de la velocidad.
  • Error angular: Menor a 0.5° en la orientación del vector de velocidad total.
  • Correlación: El coeficiente de correlación de Pearson entre la velocidad real y la inferida es casi unitario ($r \approx 0.999$).
• Limitaciones Detectadas:
  • La precisión disminuye en regiones donde la componente horizontal de la velocidad ($v_y$) es cercana a cero o donde la velocidad total es muy baja. En estas zonas, el error relativo y el error angular aumentan significativamente (hasta 50% y 5° en el caso analítico), debido a la naturaleza de las definiciones de error cuando el denominador tiende a cero.
  • En la simulación MHD, los errores máximos no coinciden con velocidades totales cero, sino con regiones donde el flujo está alineado con el eje $z$ (haciendo que $v_y \to 0$).

5. Significado y Trabajo Futuro

Este trabajo establece las bases fundamentales para la reconstrucción tridimensional de los campos de velocidad horizontal en el Sol.

• Implicaciones: La capacidad de conocer $v_h(x,y,z)$ es crucial para calcular con precisión el flujo de energía magnética y helicidad desde la fotosfera hacia la corona, así como para mejorar la inferencia de corrientes eléctricas solares.
• Próximos pasos:
  • Extender el método a 3D (incorporando la tercera componente de la ecuación de inducción para recuperar $v_x$ y $v_y$ simultáneamente). Esto aumentará significativamente el costo computacional debido al tamaño de la matriz del sistema.
  • Evaluar la robustez del método ante errores realistas en los datos de entrada (ruido en las inversiones de Stokes, muestreo temporal finito para calcular $\dot{B}$, y difusión magnética no nula).

En conclusión, el método propuesto demuestra que es posible inferir la estructura vertical de las velocidades horizontales solares con alta precisión en escenarios ideales, abriendo la puerta a nuevas capacidades de diagnóstico en la física solar.