Abelian-normal decimal expansions

Este artículo introduce el concepto de número abeliano-normal inspirado en la complejidad abeliana, construye una constante análoga no normal a la de Champernowne ($D_{10}$) y demuestra que es abeliano-normal bajo una función de ponderación específica, finalizando con dos problemas abiertos sobre dicha constante.

Lo esencial

¡Hola! Imagina que los números decimales (como 0.123456...) son como cintas de música infinitas o historias interminables escritas con solo 10 letras (los dígitos del 0 al 9).

El artículo que me has pasado, escrito por John M. Campbell, trata sobre un juego muy curioso con estas "cintas de números". Aquí te lo explico paso a paso, usando analogías sencillas:

1. El concepto de "Normalidad": La mezcla perfecta

Imagina que tienes un bote gigante lleno de canicas de 10 colores diferentes (del 0 al 9). Si sacas canicas al azar y las pones en fila, eventualmente verás que:

• Cada color aparece el mismo número de veces.
• Si buscas parejas de colores (como "rojo-azul"), verás todas las combinaciones posibles con la misma frecuencia.

En matemáticas, a un número que hace esto se le llama número normal. Es como un dado perfecto: no hay trucos, todo es aleatorio y equilibrado. El famoso Constante de Champernowne ($C_{10}$) es un número normal. Se crea simplemente escribiendo todos los números enteros uno tras otro:
0.123456789101112131415...
Si miras muy lejos, verás que el 7 aparece tanto como el 2, y que "12" aparece tanto como "21". Es una mezcla perfecta.

2. El nuevo juego: "Abeliano" (El juego de las letras)

El autor se pregunta: ¿Qué pasa si no nos importa el orden exacto de las letras, sino solo cuántas hay?

Imagina que tienes una palabra como "GATO".

• En la versión normal, "GATO" es diferente a "TAGO" o "OTAG".
• En la versión "Abeliana", todas esas palabras son lo mismo. ¡Todas tienen una G, una A, un T y una O! Solo importa el conteo de las letras, no su posición.

El autor introduce un nuevo concepto llamado número "Abeliano-Normal". Un número es Abeliano-Normal si, cuando miras trozos de su secuencia, la cantidad de cada dígito (0, 1, 2...) aparece con la frecuencia correcta, aunque los dígitos estén desordenados.

3. La gran creación: El monstruo $D_{10}$

Aquí viene la parte divertida. El autor toma el número normal de Champernowne ($C_{10}$) y le hace una "cirugía" para crear un nuevo número llamado $D_{10}$.

¿Cómo lo hace?

1. Toma la secuencia original: ...123456789101112...
2. Busca trozos que solo tengan ceros y unos (como 101101).
3. Ordena esos trozos como si fueran palabras en un diccionario: pone todos los ceros primero y luego todos los unos.
   • Si tenía 101101, ahora se convierte en 000111.
4. Deja todo lo demás (los dígitos del 2 al 9) exactamente igual.

El resultado ($D_{10}$):
Este nuevo número es raro. Si lo miras con lupa, verás que nunca aparece la secuencia "10" (un uno seguido de un cero) en los trozos que manipuló, porque siempre pone los ceros antes que los unos.

• ¿Es un número normal? ¡NO! Si no aparece "10", no es una mezcla perfecta. Es un número "anormal".
• ¿Es Abeliano-Normal? ¡SÍ! Aunque los ceros y unos estén siempre en orden (000111), la cantidad total de ceros y unos que aparecen en la historia infinita sigue siendo la correcta.

4. La balanza mágica (La función de peso)

Para probar que $D_{10}$ es "Abeliano-Normal", el autor tuvo que inventar una balanza especial (una función de ponderación).

Imagina que estás contando cuántas veces aparece la palabra "GATO" en un libro.

• En un libro normal, cuentas "GATO", "TAGO", "OTAG", etc., por separado.
• En el libro de $D_{10}$, como el autor reordenó las letras, algunas palabras "GATO" desaparecieron y otras aparecieron de formas extrañas.

El autor creó una fórmula matemática que actúa como un traductor o un compensador. Esta fórmula le dice a la balanza: "Oye, como reordenamos los ceros y unos, debemos contar las apariciones de esta manera específica para que el resultado final sea justo".

Gracias a esta balanza especial, el autor demuestra que, aunque $D_{10}$ parece desordenado y "trampa", en realidad cumple con las reglas del juego "Abeliano".

5. ¿Por qué importa esto?

El autor nos deja con dos preguntas abiertas (como si fuera un acertijo para futuros matemáticos):

1. ¿Es este nuevo número $D_{10}$ un número "transcendente"? (Es decir, ¿es un número tan especial que no puede ser la solución de ninguna ecuación algebraica simple, como $\pi$ o $e$?).
2. ¿Existe un número que sea "Abeliano-Normal puro" pero que no sea normal? (Un número que sea perfecto en el juego de contar letras, pero que sea un desastre total en el juego del orden).

En resumen

El autor tomó un número perfecto y aleatorio, le dio un "baile" a sus ceros y unos (ordenándolos siempre de la misma forma), creó un número que ya no es aleatorio, pero demostró que, si cambiamos las reglas del juego para ignorar el orden y solo contar cuántas veces aparece cada cosa, ¡sigue siendo perfecto!

Es como si mezclaras una ensalada, la ordenaras por colores (todos los tomates juntos, todos los pepinos juntos), y aunque ya no se vea como una ensalada mezclada, si le pides a alguien que cuente cuántos tomates y pepinos hay, la proporción sigue siendo la misma. ¡Esa es la magia de la "Abeliano-normalidad"!

Resumen técnico

A continuación presento un resumen técnico detallado del artículo "Abelian-normal decimal expansions" (Expansiones decimales abelianas normales) de John M. Campbell, estructurado según los puntos solicitados.

1. Planteamiento del Problema

El artículo aborda la intersección entre la teoría de números (específicamente la teoría de números normales) y la combinatoria sobre palabras.

• Contexto: Un número $\alpha$ se considera normal en base $B$ si, en su expansión decimal, cada bloque de dígitos $E$ de longitud $\ell(E)$ aparece con una frecuencia asintótica de $1/B^{\ell(E)}$.
• La Brecha: Si bien existen numerosos estudios sobre reglas de selección que preservan o violan la normalidad (como subsecuencias en progresiones aritméticas o inserción/eliminación de dígitos), faltaba una definición que incorporara la complejidad abeliana. La complejidad abeliana cuenta los factores de una palabra considerando equivalentes a aquellas que son permutaciones entre sí (es decir, se ignoran los órdenes de los dígitos, solo importa la composición multiconjunto).
• La Pregunta Central: ¿Es posible definir un concepto de "normalidad abeliana" y, más importante aún, ¿existe un número que sea abelianamente normal pero no normal en el sentido clásico? El autor busca construir tal ejemplo, desafiando la intuición de que la normalidad abeliana es simplemente una consecuencia débil de la normalidad fuerte.

2. Metodología

El autor emplea una metodología constructiva y analítica basada en la combinatoria de palabras:

• Definición de Normalidad Abeliana: Se introduce la función de conteo $BE(\alpha, n)$, que cuenta las ocurrencias de un bloque $E$ y de cualquiera de sus permutaciones en los primeros $n$ dígitos.
  • Para que un número sea abelianamente normal, se requiere una función de ponderación $W(E)$ que normalice el cociente $BE(\alpha, n)/n$.
  • La función de ponderación natural propuesta es el tamaño de la clase de equivalencia de permutaciones de $E$: $W(E) = \frac{\ell(E)!}{0_E! 1_E! \dots (B-1)_E!}$.
• Construcción del Contraejemplo ($D_{10}$):
  • Se parte de la constante de Champernowne $C_{10} = 0.123456789101112\dots$, que es conocida por ser normal en base 10.
  • Se define una transformación $\sigma$ que actúa sobre la expansión decimal de $C_{10}$. Esta transformación identifica subpalabras binarias máximas (secuencias contiguas de dígitos 0 y 1) y las reordena lexicográficamente (ordenándolas, por ejemplo, poniendo todos los 0 antes de los 1).
  • El resultado es una nueva constante $D_{10}$. Por construcción, $D_{10}$ no es normal porque, al ordenar las secuencias binarias, se eliminan patrones específicos (por ejemplo, la subpalabra "10" deja de aparecer en ciertos contextos donde era inevitable en $C_{10}$).
• Análisis de Casos y Función de Ponderación:
  • El autor realiza un análisis exhaustivo de casos para determinar cómo la permutación afecta el conteo de bloques. Se distinguen casos donde las permutaciones aparecen en $C_{10}$ pero no en $D_{10}$ (y viceversa).
  • Se define una función de ponderación $W(w)$ específica para $D_{10}$ que incluye un término correctivo basado en la diferencia asintótica entre el conteo de ciertos subbloques en $C_{10}$ y $D_{10}$. Esta función ajusta la normalidad para compensar las alteraciones introducidas por el reordenamiento.

3. Contribuciones Clave

1. Introducción del Concepto: Se define formalmente el concepto de número abelianamente normal, extendiendo la teoría de números normales mediante el uso de clases de equivalencia de permutaciones (complejidad abeliana).
2. Construcción de $D_{10}$: Se presenta la primera construcción explícita de un número $D_{10}$ que es abelianamente normal pero no normal. Esto demuestra que la normalidad abeliana es una propiedad estrictamente más débil que la normalidad clásica.
3. Función de Ponderación Específica: Se deriva una función de ponderación $W$ no trivial que depende de la estructura de las subpalabras binarias y de las diferencias de conteo entre la constante original y la modificada, permitiendo probar la propiedad de normalidad abeliana.
4. Conexión Interdisciplinaria: El trabajo vincula exitosamente la teoría de números (normalidad) con la combinatoria de palabras (complejidad abeliana, morfismos, palabras de papel plegado, secuencia de Rudin-Shapiro).

4. Resultados Principales

• Teorema 1: La constante $D_{10}$ es abelianamente normal con respecto a la función de ponderación $W$ definida en el artículo.
  • La prueba demuestra que, para cualquier bloque $E$, el límite $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{W(E)} \frac{BE(D_{10}, n)}{n}$ converge a $1/10^{\ell(E)}$.
  • El análisis distingue tres tipos de palabras: aquellas sin dígitos binarios (donde la normalidad se hereda directamente), dígitos binarios individuales, y palabras mixtas. Para las palabras mixtas, se demuestra que la corrección introducida en la definición de $W$ compensa exactamente las pérdidas o ganancias de conteo debidas al reordenamiento de las subpalabras binarias.
• Propiedad de No Normalidad: Se establece que $D_{10}$ no es normal en base 10 porque la transformación $\sigma$ elimina sistemáticamente ciertas configuraciones de dígitos (como la aparición de "10" dentro de bloques binarios ordenados), violando la condición de normalidad clásica (Ecuación 1).

5. Significado e Implicaciones

• Nuevas Perspectivas sobre la Aleatoriedad: El trabajo sugiere que la "aleatoriedad" en las expansiones decimales puede ser vista desde múltiples ángulos. Un número puede parecer "desordenado" o no normal bajo una visión estricta de secuencias, pero mantener una estructura estadística perfecta si se ignora el orden de los dígitos (perspectiva abeliana).
• Herramientas para la Teoría de Números: La metodología de reordenar subpalabras para construir contraejemplos o variantes de constantes famosas (como la de Champernowne) ofrece una nueva herramienta para explorar las propiedades de los números trascendentes y sus expansiones.
• Problemas Abiertos: El autor concluye planteando dos problemas importantes:
  1. ¿Es $D_{10}$ un número trascendente? (Dado que $C_{10}$ lo es, ¿se mantiene esta propiedad bajo la transformación?).
  2. ¿Existe un número que sea "puramente abelianamente normal" (usando la ponderación natural de permutaciones) pero no normal? El artículo sugiere que $D_{10}$ requiere una ponderación ajustada, dejando abierta la cuestión de la existencia de un número que satisfaga la condición con la ponderación "pura" sin ajustes ad-hoc.

En resumen, el artículo de Campbell es una contribución significativa que redefine los límites de la normalidad numérica, demostrando que la estructura estadística de los dígitos puede preservarse incluso cuando el orden local de los mismos es alterado drásticamente, siempre que se utilice la métrica de complejidad abeliana adecuada.