A Note on a Theorem of Apter

El artículo demuestra que la consistencia de $\mathrm{ZF} + \mathrm{AD}_{\mathbb{R}}$ junto con la afirmación de que $\Theta$ es medible implica la consistencia de un modelo donde $\Theta$ es simultáneamente el menor cardinal medible y el menor cardinal fuertemente regular, mientras que todos los cardinales no numerables por debajo de $\Theta$ tienen cofinalidad numerable.

Lo esencial

Imagina que el universo de las matemáticas es como un inmenso edificio llamado ZFC. En este edificio, hay una regla fundamental llamada "Axioma de Elección" (AC). Esta regla es como un superpoder que permite a los matemáticos organizar cosas infinitas de manera ordenada, pero tiene un precio: a veces crea situaciones extrañas y poco naturales.

Los matemáticos que estudian los "cardinales grandes" (números tan gigantes que desafían nuestra imaginación) a menudo se preguntan: ¿Qué pasa si quitamos ese superpoder? ¿Cómo se ve el edificio sin él?

Este artículo, escrito por Rahman Mohammadpour, Otto Rajala y Sebastiano Thei, es como un manual de ingeniería para reconstruir una parte específica de ese edificio sin usar el superpoder de la "Elección", pero manteniendo ciertas estructuras mágicas llamadas "medidas" (que son como filtros muy potentes que nos dicen qué conjuntos son "grandes").

Aquí tienes la explicación de su descubrimiento, usando analogías sencillas:

1. El Problema: ¿Dónde vive el "Rey" más pequeño?

En el mundo normal (con el Axioma de Elección), los números "medibles" (esos que tienen esos filtros mágicos) suelen ser gigantes, muy lejos de los números pequeños. Pero sin el Axioma de Elección, las reglas cambian.

Los matemáticos ya sabían que, bajo ciertas condiciones especiales (llamadas Axioma de Determinación o AD), los números "regulares" (números que no se pueden romper en pedazos más pequeños de una manera extraña) y los números "medibles" podían ser lo mismo.

El gran misterio era: ¿Cuál es el número más pequeño posible que pueda ser a la vez "medible" y "fuertemente regular" (es decir, muy robusto) en este mundo sin superpoderes?

Antes de este artículo, se sabía que podían ser números grandes, pero los autores querían saber si podían empujar a ese "Rey" hacia abajo, haciéndolo lo más pequeño posible.

2. La Herramienta: El "Destornillador" de Prikry

Para lograr esto, los autores usan una herramienta matemática llamada Forzamiento de Prikry.

• La Analogía: Imagina que tienes una torre de bloques (un número cardinal) que es muy alta y sólida. Quieres hacerla más baja o cambiar su estructura sin derrumbar todo el edificio.
• La Acción: El "Forzamiento de Prikry" actúa como un destornillador mágico. Toma un número que es "medible" (un bloque sólido) y le quita su "inaccesibilidad" (su capacidad de ser un muro impenetrable), convirtiéndolo en un número que tiene una "cofinalidad contable" (es decir, se puede construir con una secuencia infinita de pasos, como una escalera infinita).
• El Truco: Lo genial de esta herramienta es que, si la usas con cuidado, puedes romper la estructura de todos los números medibles que están debajo de un cierto límite, pero dejar intacto al número que está justo encima.

3. La Solución: El Gran Salto

Los autores tomaron un escenario matemático donde ya existía un número gigante llamado $\Theta$ (Theta). Este número es especial porque es el límite de todo lo que se puede hacer con los números reales en ese mundo.

Usando su "destornillador" (el forzamiento de Prikry) de manera simultánea sobre todos los números medibles que estaban por debajo de $\Theta$, lograron algo increíble:

1. Destruyeron a los rivales: Hicieron que todos los números medibles que estaban debajo de $\Theta$ dejaran de ser "regulares" (se volvieron débiles y quebradizos).
2. Protegieron al Rey: Mantuvieron a $\Theta$ intacto, fuerte y medible.
3. El Resultado: En el nuevo universo que crearon, $\Theta$ se convirtió en el número más pequeño posible que cumple dos requisitos:
   • Es "fuertemente regular" (no se puede romper).
   • Es "medible" (tiene el filtro mágico).

4. ¿Por qué es importante?

Imagina que estás buscando el "santo grial" de los números grandes. Antes, pensábamos que este santo grial tenía que ser un número enorme, muy lejos en el horizonte.

Este artículo nos dice: "¡Espera! No necesitas ir tan lejos. Si sabes cómo manipular las reglas del juego (quitando el Axioma de Elección y usando el destornillador de Prikry), puedes encontrar a este santo grial justo al principio de la carrera, en el número $\Theta$."

Esto es una noticia enorme porque:

• Ahorra energía: No necesitamos asumir la existencia de números gigantes y costosos para tener un número medible "pequeño".
• Clarifica el mapa: Nos ayuda a entender mejor cómo se comportan los números cuando quitamos las reglas más rígidas de la matemática tradicional.

En resumen

Los autores han demostrado que es posible construir un mundo matemático donde el número más pequeño y fuerte que tiene propiedades mágicas es exactamente el límite de los números reales ($\Theta$). Lo hicieron usando una técnica de "demolición controlada" para eliminar a todos los competidores más débiles que estaban por debajo, dejando a $\Theta$ como el único y más pequeño campeón.

Es como si en una carrera de obstáculos, en lugar de correr hasta la meta lejana, descubrieras que el primer obstáculo que puedes saltar perfectamente es, de hecho, el más alto y difícil de todos, y que todos los que estaban antes de él eran trampas que podías evitar fácilmente.

Resumen técnico

Aquí presento un resumen técnico detallado del artículo "A Note on a Theorem of Apter" de Rahman Mohammadpour, Otto Rajala y Sebastiano Thei, traducido y adaptado al español.

Resumen Técnico: Una Nota sobre un Teorema de Apter

1. Planteamiento del Problema

El trabajo se sitúa en el contexto de la teoría de conjuntos sin el Axioma de Elección (AC), específicamente bajo el Axioma de Determinación (AD) y sus variantes. El problema central es identificar la fuerza de gran cardinal necesaria y la configuración más pequeña posible para un cardinal medible en ausencia de AC.

• Contexto: Bajo AD + $V=L(\mathbb{R})$, se sabe que todos los cardinales regulares por debajo de $\Theta$ son medibles. Sin embargo, determinar cuál es el menor cardinal medible que también sea inaccesible (o fuertemente regular) es un desafío abierto.
• Antecedentes:
  • Apter [1] demostró que bajo AD + $V=L(\mathbb{R})$, existe un modelo donde el menor cardinal medible es el menor cardinal límite regular.
  • Gitik, Hayut y Karagila [5] mostraron que si $\kappa$ es un cardinal $\kappa^{++}$-supercompacto, existe una extensión por forcing donde $\kappa$ es el menor cardinal inaccesible y medible.
• Objetivo: Los autores buscan reducir la fuerza de gran cardinal requerida por el teorema de Gitik, Hayut y Karagila. Su meta es construir un modelo donde $\Theta$ (el cardinal más pequeño al cual no se puede mapear $\mathbb{R}$) sea simultáneamente el menor cardinal medible, el menor cardinal regular no numerable y el menor cardinal "fuertemente regular", partiendo de una hipótesis más débil que la de un límite de Woodin de cardinales de Woodin.

2. Metodología y Herramientas

La metodología se basa en la combinación de forcing de Prikry, extensiones simétricas y el análisis de modelos de Nairian (aunque el enfoque principal sigue el análisis de Apter).

• Definiciones Clave:
  • Cardinal Fuertemente Regular: Un cardinal $\kappa$ es fuertemente regular si es no numerable y para todo $\alpha < \kappa$ y toda función $f: \mathcal{P}(\alpha) \to \kappa$, la imagen de $f$ está acotada en $\kappa$. Esto difiere ligeramente de la inaccessibilidad estándar de Gitik et al., pero implica regularidad.
  • $\Theta_{meas}$: La conjunción de ADR (Determinación Alternada de Reales) y la existencia de un ultrafiltro $\mathbb{R}$-completo en $\Theta$. Se asume que esta hipótesis es consistente y es más débil que un límite de Woodin de cardinales de Woodin.
• Técnica de Forcing:
  • Se utiliza el forcing de Prikry ($\mathbb{P}_\mu$) asociado a una medida $\mu$ en un cardinal $\kappa$. Este forcing cambia la cofinalidad de $\kappa$ a $\omega$ sin añadir subconjuntos acotados de $\kappa$, preservando así la cardinalidad.
  • Se define un producto de soporte finito $\mathbb{P} = \prod_{\kappa \in M}^{fin} \mathbb{P}_\kappa$, donde $M$ es el conjunto de cardinales medibles por debajo de $\Theta$.
  • Se construye una extensión simétrica $N$ utilizando filtros genéricos pequeños ($G_\kappa$) para cada $\kappa \in M$. Esta construcción permite controlar qué conjuntos y funciones existen en el modelo final, asegurando que ciertas propiedades (como la regularidad de cardinales menores) se destruyan mientras se preservan otras (como la medibilidad de $\Theta$).

3. Contribuciones Clave y Resultados Principales

Teorema Principal (Teorema 1.1):
Bajo la hipótesis de $ZF + \Theta_{meas}$, existe una extensión que satisface $ZF$ donde:

1. $\Theta$ es un cardinal fuertemente regular.
2. $\Theta$ es el menor cardinal regular no numerable.
3. $\Theta$ es el menor cardinal medible.
4. Todos los cardinales no numerables por debajo de $\Theta$ tienen cofinalidad $\omega$ (son singulares).

Desglose de la Prueba:

• Destrucción de Medibilidad Inferior: Mediante el forcing de Prikry en cada cardinal medible $\kappa < \Theta$, se cambia su cofinalidad a $\omega$ (Lema 3.6). Esto garantiza que ningún cardinal por debajo de $\Theta$ sea medible en el modelo $N$, ya que los cardinales medibles deben ser regulares.
• Preservación de Cardinalidad: Se demuestra que la extensión simétrica $N$ preserva los cardinales (Lema 3.5).
• Regularidad Fuerte de $\Theta$: Se prueba que $\Theta$ sigue siendo fuertemente regular en $N$ (Proposición 3.8). La demostración utiliza el hecho de que cualquier función $f: \mathcal{P}(\alpha) \to \Theta$ en $N$ pertenece a una extensión genérica finita $V[G_c]$. Si tal función no estuviera acotada, implicaría la existencia de una función no acotada de $\mathbb{R}$ a $\Theta$ en el modelo base, contradiciendo la hipótesis de $\Theta_{meas}$.
• Medibilidad de $\Theta$: Se demuestra que un ultrafiltro $\mathbb{R}$-completo normal $\mu$ en $\Theta$ (existente en el modelo base) se "eleva" (lifts) a un ultrafiltro normal $\mu^*$ en $N$ (Proposición 3.9). La prueba implica mostrar que $\mu^*$ es un ultrafiltro, es $\Theta$-completo y es normal, utilizando la propiedad de que cualquier conjunto o función relevante en $N$ reside en alguna extensión genérica finita donde el ultrafiltro original induce una medida.

4. Significado e Implicaciones

• Reducción de Fuerza Axiomática: El resultado es significativo porque reduce la fuerza de gran cardinal necesaria para obtener un modelo donde el menor cardinal medible sea también el menor cardinal inaccesible (en el sentido de fuertemente regular). Mientras que trabajos anteriores requerían cardinales supercompactos o límites de Woodin, este trabajo muestra que la hipótesis $ZF + \Theta_{meas}$ (consistente bajo AD) es suficiente.
• Conexión con Modelos de Nairian: El trabajo apoya la expectativa de que los modelos de Nairian pueden producir configuraciones donde el menor cardinal medible coincide con el menor cardinal inaccesible, sin necesidad de axiomas de gran cardinal extremadamente fuertes.
• Conjetura: Los autores proponen la Conjetura 1.2: La teoría "$ZF + \Theta$ es el menor medible y el menor inaccesible" es más débil que un límite de Woodin de cardinales de Woodin.
• Preguntas Abiertas: El artículo finaliza planteando cuestiones sobre la estructura de los ultrafiltros en $\Theta$ en este contexto, como la posibilidad de que el menor medible tenga medidas que concentren en cardinales de cofinalidad $\omega_1$ o en cardinales regulares, y la magnitud del orden de $\Theta$ ($o(\Theta)$).

En resumen, el artículo proporciona una construcción técnica refinada que optimiza los requisitos axiomáticos para la existencia de un cardinal medible que sea también el primer cardinal regular no numerable en un universo sin elección, utilizando herramientas de forcing de Prikry y extensiones simétricas bajo la hipótesis de determinación.