Badly approximable points on non-linear carpets

Este artículo resuelve una pregunta de Das et al. (2019) al identificar la primera clase de atractores no lineales no conformes donde el conjunto de puntos mal aproximables tiene dimensión completa, y proporciona además una fórmula para la dimensión de Hausdorff de dichos atractores.

Lo esencial

Imagina que tienes un mapa del tesoro, pero en lugar de coordenadas exactas, solo tienes aproximaciones. En matemáticas, esto se llama aproximación diofántica: intentar encontrar números "perfectos" (como fracciones simples) que se acerquen lo más posible a números "difíciles" (números irracionales como $\pi$ o $\sqrt{2}$).

La mayoría de los números son fáciles de aproximar. Pero hay un grupo especial de números, llamados "puntos mal aproximables" (badly approximable points), que son como los "camaleones" del mundo matemático: son tan difíciles de atrapar que ningún número racional se acerca a ellos más de lo que la teoría básica permite. Son los más esquivos.

El gran misterio que este paper resuelve es: ¿Dónde se esconden estos camaleones?

El escenario: Las "Alfombras" Matemáticas

Los autores estudian un tipo de forma geométrica muy compleja llamada "alfombra no lineal" (non-linear carpet).

• La analogía: Imagina que tomas una cuadrícula (como una hoja de papel cuadriculado) y, en lugar de dibujar cuadrados perfectos, usas reglas que estiran y encogen el papel de forma diferente en horizontal y vertical (como si estuvieras estirando una goma elástica). Luego, repites este proceso infinitamente. El resultado es una figura fractal (una forma que se parece a sí misma a cualquier escala) que es irregular, "no lineal" y "no conforme" (no mantiene las formas originales).

Antes de este trabajo, los matemáticos sabían que estos camaleones (puntos mal aproximables) aparecían en formas simples y rectas (como las alfombras de Bedford-McMullen, que son como mosaicos rectangulares). Pero nadie sabía si aparecían en estas formas "estiradas" y curvas.

El Problema: ¿Están los camaleones en la alfombra curva?

En 2019, un grupo de matemáticos (Das, Fishman, Simmons y Urbański) se preguntó: "Si construimos una alfombra fractal usando reglas curvas y estiradas, ¿tendrá la misma cantidad de puntos mal aproximables que la alfombra misma?".

Es decir, si la alfombra tiene una dimensión (una medida de su complejidad) de, digamos, 1.5, ¿tienen los puntos difíciles una dimensión de 1.5 también? O, ¿se esconden en algún rincón tan pequeño que casi no existen?

La Solución: Un Juego de "Escondite"

Los autores (Anttila, Fraser y Koivusalo) dicen: "¡Sí! Están ahí, y ocupan todo el espacio posible".

Para demostrarlo, usaron una herramienta llamada "El Juego de Schmidt".

• La metáfora: Imagina un juego de dos jugadores. El "Jugador A" intenta construir una red de puntos racionales para atrapar a un número. El "Jugador B" (que representa a los puntos mal aproximables) intenta esquivar esa red.
• Si el "Jugador B" puede ganar el juego en un conjunto de puntos, significa que esos puntos son tan abundantes y están tan bien distribuidos que el "Jugador A" nunca puede cubrirlos completamente.
• Los autores demostraron que, incluso en estas alfombras curvas y estiradas, el "Jugador B" siempre tiene una estrategia ganadora. Esto significa que los puntos difíciles están esparcidos por toda la alfombra, llenándola por completo.

¿Cómo lo hicieron? (La Magia de los "Sub-alfombras")

El truco fue no mirar la alfombra completa de golpe, sino dividirla en pedacitos más pequeños y más ordenados.

1. El problema de la distorsión: Como la alfombra está estirada de forma desigual, es difícil medir su tamaño exacto.
2. La solución: Los autores crearon "sub-sistemas" (como tomar una foto de un rincón de la alfombra y ampliarlo). Descubrieron que, si miras estos rincones lo suficientemente de cerca, se comportan casi como alfombras rectas y simples.
3. El cálculo: Usaron estas versiones "simplificadas" para calcular la dimensión. Demostraron que, aunque la alfombra es curvada, la cantidad de puntos difíciles es tan grande que su dimensión es igual a la dimensión total de la alfombra.

¿Por qué importa esto?

1. Resuelve un misterio: Respondió a una pregunta abierta desde 2019 sobre si las matemáticas "sucias" (no lineales) podían tener la misma estructura de orden que las matemáticas "limpias" (lineales).
2. Nuevas herramientas: Desarrollaron una fórmula nueva para calcular el tamaño (dimensión de Hausdorff) de estas formas complejas, lo cual es útil para otros científicos que estudian fractales.
3. Distribución uniforme: Confirma que, en el mundo fractal, los números más difíciles de encontrar no se esconden en un rincón, sino que están distribuidos de manera muy uniforme, como sal esparcida sobre una pizza, incluso si la pizza tiene una forma extraña.

En resumen

Imagina que tienes un tapiz tejido con hilos que se estiran y encogen de formas locas. La pregunta era: "¿Hay agujeros en este tapiz donde no se pueda poner una aguja?".
Los autores demostraron que no hay agujeros. Si intentas poner una aguja (un punto racional) en cualquier parte del tapiz, siempre encontrarás un punto "difícil" (un punto mal aproximable) justo al lado. La complejidad del tapiz no esconde a estos puntos; al contrario, los puntos difíciles son tan abundantes que definen la esencia misma de la forma.

Es un triunfo de la geometría: incluso en el caos de las formas curvas y estiradas, hay un orden perfecto y una abundancia de "esquivos" que llenan todo el espacio.

Resumen técnico

Aquí presento un resumen técnico detallado del artículo "Badly Approximable Points on Non-Linear Carpets" (Puntos mal aproximables en alfombras no lineales) de Roope Anttila, Jonathan M. Fraser y Henna Koivusalo.

1. Planteamiento del Problema

El trabajo se sitúa en el campo de la aproximación diofántica y la geometría fractal. El problema central es determinar cuándo el conjunto de puntos mal aproximables ($\text{Bad}_d$) en $\mathbb{R}^d$ intersecta con un conjunto fractal dado $X$ en dimensión de Hausdorff completa.

• Puntos mal aproximables: Son aquellos puntos $x \in \mathbb{R}^d$ para los cuales el teorema de aproximación de Dirichlet no puede mejorarse más que por una constante. Formalmente, existen $c > 0$ tal que para todo $p \in \mathbb{Z}^d$ y $q \in \mathbb{N}$:
  $$\left\| x - \frac{p}{q} \right\| \geq \frac{c}{q^{1+1/d}}$$
  Aunque el conjunto $\text{Bad}_d$ tiene medida de Lebesgue cero, tiene dimensión de Hausdorff completa ($d$).
• La Conjetura: Se espera que si un conjunto fractal $X$ no está diseñado específicamente para evitar estos puntos, la intersección $\text{Bad}_d \cap X$ debería tener la misma dimensión de Hausdorff que $X$ ($\dim_H(X \cap \text{Bad}_d) = \dim_H X$).
• El Desafío: Esta propiedad se ha verificado para conjuntos autoafines lineales (como las alfombras de Bedford-McMullen) y ciertos conjuntos regulares de Ahlfors. Sin embargo, permanecía abierta la cuestión de si esto se mantiene para sistemas dinámicos que son no conformes (anisotrópicos) y no lineales. Esta fue la pregunta planteada por Das, Fishman, Simmons y Urbański en 2019.

2. Metodología

Los autores desarrollan una estrategia que combina la teoría de juegos de Schmidt, la dimensión inferior (lower dimension) y el análisis de sistemas de funciones iteradas (IFS) no lineales.

A. Herramientas Teóricas

1. Juego de Schmidt y Difusividad de Hipercuerpos: Utilizan una variante del juego de Schmidt. Un resultado clave (Proposición 1.1) establece que si un conjunto cerrado $X$ es "difuso respecto a hipercuerpos" (no está concentrado en hiperplanos), entonces:
   $$\dim_H(X \cap \text{Bad}_d) \geq \dim_L X$$
   donde $\dim_L$ es la dimensión inferior.
2. Dimensión Inferior Modificada ($\dim_{ML}$): Dado que a menudo $\dim_L X < \dim_H X$, introducen la dimensión inferior modificada:
   $$\dim_{ML} X = \sup \{ \dim_L Y : Y \subseteq X \}$$
   El objetivo es demostrar que $\dim_{ML} X = \dim_H X$ para ciertas subestructuras de $X$.
3. Espacios Simbólicos y Aproximación: Dado que los IFS no lineales son difíciles de manejar directamente, los autores aproximan el sistema no lineal mediante subsistemas generados por iteraciones profundas. Estos subsistemas se comportan asintóticamente como alfombras de Barański simbólicas (estructuras autoafines), permitiendo el uso de herramientas de la teoría de sistemas autoafines.

B. Construcción de Subsistemas Dominados

Un obstáculo técnico es que la dimensión inferior no es estable bajo mapas Hölder (a diferencia de la dimensión de Hausdorff). Para superar esto:

• Construyen subsistemas donde los exponentes de Lyapunov en las direcciones coordenadas son distintos ($\lambda_1 \neq \lambda_2$).
• Utilizan la distorsión acotada de los IFS conformes en las coordenadas para demostrar que, en estos subsistemas, la geometría es suficientemente "dominada" para controlar la dimensión inferior.
• Demuestran que se pueden encontrar subsistemas con dimensión inferior arbitrariamente cercana a la dimensión de Hausdorff del atractor original.

3. Contribuciones Clave

1. Respuesta a la Pregunta de Das et al. (2019): Proporcionan la primera clase de atractores no lineales y no conformes para los cuales se cumple la propiedad de intersección de dimensión completa con los puntos mal aproximables.
2. Principio Variacional para la Dimensión de Hausdorff: Establecen un principio variacional para la dimensión de Hausdorff de alfombras no lineales, expresándola como el supremo de las dimensiones de Hausdorff de medidas ergódicas.
3. Igualdad de Dimensiones: Demuestran que para estas alfombras no lineales, la dimensión de Hausdorff coincide con la dimensión inferior modificada ($\dim_H X = \dim_{ML} X$).
4. Fórmula de Dimensión: Proporcionan una fórmula explícita (límite de soluciones de problemas de optimización) para calcular la dimensión de Hausdorff de estas alfombras no lineales.

4. Resultados Principales

El trabajo se centra en alfombras no lineales definidas por un IFS planar $(S_{i,j} = (f_i, g_j))_{(i,j) \in \Lambda}$, donde $f_i$ y $g_j$ son IFS conformes en $[0,1]$, y $\Lambda \subset \Lambda_1 \times \Lambda_2$.

• Teorema 2.1 (Dimensión de Hausdorff): Si la alfombra no lineal $X$ satisface la condición de conjunto abierto coordenado (Coordinate OSC), entonces:
  $$\dim_H X = \sup \{ \dim_H \mu : \mu \text{ es una medida ergódica} \}$$
  Además, se da una fórmula límite basada en medidas de Bernoulli en espacios simbólicos aproximados.

• Teorema 2.2 (Dimensión Inferior Modificada): Bajo las mismas condiciones:
  $$\dim_H X = \dim_{ML} X$$
  Esto implica que existen subconjuntos cerrados dentro de $X$ con dimensión inferior tan alta como la dimensión de Hausdorff de $X$.

• Teorema 2.3 (Intersección con Puntos Mal Aproximables): Si $X$ satisface la Coordinate OSC y tiene al menos dos mapas en alguna "columna" y dos en alguna "fila" (garantizando difusividad respecto a hipercuerpos), entonces:
  $$\dim_H(X \cap \text{Bad}_2) = \dim_H X$$
  Este es el resultado principal que resuelve la pregunta abierta sobre sistemas no lineales y no conformes en dimensión 2.

• Proposición 5.1 (Conjuntos de Cantor Parabólicos): Extienden la metodología a conjuntos de Cantor parabólicos (IFS con puntos fijos indiferentes), demostrando que también satisfacen la propiedad de dimensión completa para puntos mal aproximables.

5. Significado e Impacto

• Avance en Geometría Fractal No Lineal: El trabajo rompe la barrera de la linealidad en el estudio de la aproximación diofántica en fractales. Antes, los resultados dependían fuertemente de la linealidad de las transformaciones (como en las alfombras de Bedford-McMullen).
• Unificación de Conceptos: Conecta la teoría de sistemas dinámicos no conformes, la teoría de la dimensión (Hausdorff, Assouad, inferior) y la teoría de números (aproximación diofántica).
• Nuevas Técnicas: La introducción de subsistemas simbólicos que aproximan el comportamiento no lineal mediante estructuras de Barański, junto con el manejo cuidadoso de la distorsión para preservar la dimensión inferior, ofrece un nuevo marco metodológico aplicable a otros problemas en geometría fractal.
• Generalización: Aunque el resultado principal se enuncia para $d=2$, los autores discuten cómo sus métodos se pueden adaptar a dimensiones superiores ($d \geq 2$) bajo ciertas restricciones de no-conformidad, y también abordan el caso unidimensional mediante conjuntos parabólicos.

En resumen, este artículo demuestra que la "dureza" de la aproximación diofántica (ser un punto mal aproximable) es una propiedad genérica en una amplia clase de fractales no lineales y no conformes, siempre que estos no estén degenerados en líneas o hiperplanos.