Ergodicity breaking in matrix-product-state effective Hamiltonians

1. Planteamiento del Problema

El estudio de sistemas cuánticos de muchos cuerpos interactuantes presenta un desafío fundamental: la explosión exponencial del espacio de Hilbert con el tamaño del sistema.

• Limitación actual: Las propiedades de los estados propios de baja energía (estado fundamental) se pueden estudiar eficientemente con métodos de estados de producto matricial (MPS) y el grupo de renormalización de matriz densidad (DMRG). Sin embargo, las propiedades a densidades de energía finitas (por encima del estado fundamental), donde ocurren fenómenos críticos como la localización de muchos cuerpos (MBL) y la ruptura débil de ergodicidad (cicatrices cuánticas o QMBS), son difíciles de acceder.
• El obstáculo: En el régimen térmico, los estados propios obedecen la Hipótesis de Termalización de Estados Propios (ETH) y tienen entrelazamiento de ley de volumen, lo que impide su representación eficiente con MPS de dimensión de enlace fija. Esto restringe los estudios numéricos precisos a sistemas pequeños mediante diagonalización exacta (ED), los cuales a menudo no son suficientes para capturar la física de la transición de fase o los efectos de tamaño finito.
• La pregunta central: ¿Pueden los métodos basados en MPS, tradicionalmente sesgados hacia estados de bajo entrelazamiento, proporcionar información espectral fiable sobre la ruptura de ergodicidad en sistemas grandes más allá del alcance de la ED?

2. Metodología

Los autores proponen y validan el uso del Hamiltoniano Efectivo de DMRG ($H_{eff}$) no solo como una herramienta variacional para encontrar el estado fundamental, sino como una sonda espectral completa para estados de alta energía.

• Construcción de $H_{eff}$:
  • Se parte de un estado de referencia $|\psi(A)\rangle$ en forma de MPS (obtenido, por ejemplo, mediante el algoritmo DMRG-S para estados excitados).
  • Se utiliza la forma canónica mixta del MPS (tensores canónicos izquierdo $A_L$, derecho $A_R$ y central $A_C$).
  • Se contrae la representación de operador de producto matricial (MPO) del Hamiltoniano original $H$ con el MPS en todo el sistema, excepto en un subconjunto de $M$ sitios (generalmente $M=1$).
  • Esto genera una matriz $H_{eff}$ de dimensión $\chi^{M} d^M$ (donde $\chi$ es la dimensión de enlace y $d$ la dimensión física) que actúa sobre el tensor central.
• Diagonalización y Reconstrucción:
  • Se diagonaliza exactamente $H_{eff}$ para obtener sus autovalores $E_j$ y autovectores $v_j$.
  • Cada autovector $v_j$ se reorganiza en un tensor de MPS para construir un estado completo $|\psi(A, v_j)\rangle$ en el espacio de Hilbert total.
  • Aunque estos estados no son eigenestados exactos de $H$ (ya que $(H_{eff})^2 \neq (H^2)_{eff}$), el artículo demuestra que capturan las correlaciones locales y las propiedades estadísticas del espectro.
• Diagnósticos Utilizados:
  • Ratio de espaciado de niveles ($\langle r \rangle$): Para distinguir entre estadísticas de Poisson (localizado) y GOE (caótico/térmico).
  • Factor de Forma Espectral (SFF): Para analizar correlaciones de largo alcance y extraer el tiempo de Thouless.
  • Entropía de Entrelazamiento ($S_E$): Para verificar leyes de área (MBL) vs. leyes de volumen (térmico).
  • Varianza de Energía: Para filtrar los estados de $H_{eff}$ que son buenas aproximaciones a los eigenestados físicos de $H$.

3. Contribuciones Clave

1. Revelación de Información Espectral Oculta: Demuestran que el espectro completo de $H_{eff}$, construido a partir de un solo estado de referencia, codifica información detallada sobre la dinámica fuera del equilibrio y la transición entre regímenes térmicos y localizados.
2. Escalabilidad: Permiten estudiar sistemas de tamaño $N=50$ (y escalando efectivamente más allá gracias a la dimensión de enlace $\chi$), superando las limitaciones de la diagonalización exacta que suele limitarse a $N \approx 20-24$.
3. Unificación de Fenómenos: El mismo marco metodológico captura tanto la ruptura fuerte de ergodicidad (MBL en cadenas desordenadas) como la ruptura débil (cicatrices cuánticas en modelos caóticos sin desorden).
4. Sonda Espacialmente Resuelta: El método permite investigar "burbujas ergódicas" (regiones raras de bajo desorden dentro de un aislante) y su estabilidad frente a avalanchas térmicas.

4. Resultados Principales

A. Localización de Muchos Cuerpos (MBL) en la Cadena XXZ Aleatoria

• Transición de Fase: Al aplicar el método a la cadena XXZ en campo aleatorio, el espectro de $H_{eff}$ reproduce correctamente la transición de fase MBL.
• Estadísticas de Niveles: El ratio medio de espaciado $\langle r \rangle$ transita de valores GOE ($\approx 0.53$) a Poisson ($\approx 0.39$) al aumentar la fuerza del desorden $W$.
• Factor de Forma Espectral: Se observa la estructura característica "dip-ramp-plateau" en el régimen caótico, que desaparece en el régimen localizado, permitiendo extraer el tiempo de Thouless con acuerdo cuantitativo con estudios previos de ED.
• Entrelazamiento: La entropía de entrelazamiento muestra una ley de volumen en el régimen térmico y una ley de área en el régimen MBL.
• Exponentes Críticos: Mediante escalamiento de tamaño finito sobre la varianza de la entropía, los autores estiman el desorden crítico $W_c \approx 4.4$ y exponentes críticos $\nu \approx 0.89$, consistentes con la literatura.

B. Cicatrices Cuánticas de Muchos Cuerpos (QMBS) en el Modelo PXP

• Detección de Cicatrices: En el modelo PXP (cadenas de átomos de Rydberg), que es caótico pero posee estados propios que violan la ETH, el método identifica la estructura de "torres" de estados cicatriz.
• Simetría Algebraica: Al apuntar a un estado cicatriz específico con DMRG-S, el espectro de $H_{eff}$ recupera no solo ese estado, sino también otros estados de la torre con menor energía, reflejando la estructura algebraica $su(2)$ emergente de las cicatrices.
• Baja Entropía: Los estados cicatriz se identifican claramente por su baja entropía de entrelazamiento en comparación con el "bulk" térmico del espectro.

C. Burbujas Ergódicas y Estabilidad del MBL

• En el apéndice, los autores simulan una región de bajo desorden ("grano térmico") dentro de un sistema localizado.
• Muestran que $H_{eff}$ puede resolver espacialmente cómo se extiende la influencia térmica desde esta región.
• Encuentran que para desorden débil, la entropía crece con el tamaño efectivo, sugiriendo inestabilidad por avalancha, mientras que para desorden fuerte, la influencia decae rápidamente, confirmando la estabilidad del MBL.

5. Significado e Impacto

• Nueva Herramienta Computacional: Establece al Hamiltoniano efectivo de DMRG como una herramienta versátil y potente para explorar la física fuera del equilibrio en sistemas grandes, llenando un vacío entre los métodos de estado fundamental y la diagonalización exacta.
• Validación de la Aproximación Local: Demuestra que, incluso cuando los eigenestados globales no pueden ser representados fielmente por un MPS de dimensión de enlace fija (debido a la ley de volumen), las correlaciones locales y las estadísticas espectrales relevantes se preservan en $H_{eff}$.
• Aplicabilidad Amplia: El método es aplicable a una variedad de fenómenos de ruptura de ergodicidad, incluyendo localización de Stark, fragmentación del espacio de Hilbert y localización sin desorden.
• Futuro: Abre la puerta a combinar estas técnicas con aprendizaje automático y su implementación potencial en procesadores cuánticos para la preparación variacional de estados excitados.

En resumen, el trabajo transforma una herramienta variacional estándar (DMRG) en un detector espectral de alta precisión para fenómenos de termalización y localización, permitiendo el estudio de sistemas cuánticos de muchos cuerpos en regímenes previamente inaccesibles para simulaciones numéricas exactas.